与球有关的组合体问题

法三：设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 R2－r2，
2 2 2 r ＋ R － r 2 2 2 2 2 2 ∴S 圆柱侧＝2πr· 2 R －r ＝4π r R －r ≤4π ＝ 2π R 2
2 (当且仅当 r ＝R －r ，即 r＝ 2 R 时取“＝”)．
2 2 2
2 ∴当 r＝ 2 R 时，S 圆柱侧最大为 2πR2. 此时 S 球表－S 圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.
例3求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表 面积
A B O D
C
求正多面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
4.求棱长为 a 的正四棱锥的外接球的体积。 5.三棱锥A – BCD的两条棱 AB = CD = 6， 其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积。 6.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在 半球的底面圆内，若正方体的一边长为 1，求半 球的表面积和体积。A
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正 方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表 面面积之比为( ) 3 3 1: 2: 3 A. 1:2:3 B. C. 1: 4: 9 D. 1: 8: 27
A A D1 D1 A1 D D B OO C1 B1 C C B 中截面

A
对角面 C1

.
C
A VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD +ຫໍສະໝຸດ BaiduVO-BCD
2 1 3 VA BCD 2 6 1 2 3 3 4 1 D r S全 3 2 2 3 r 3
O


B C
r 6 2
S球 8 5 2 6



1 注意：①割补法，② V多 面 体 S 全 r内 切 球 3
球与多面体的内切、外接
一、 球体的体积与表面积
4 3 ① V球 R 3 二、球与多面体的接、切
②
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球 的球面上，则称这个多面体是这个球的内接 多面体，这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的 球面相切，则称这个多面体是这个球的外切 多面体，这个球是这个多面体的内切球 。
6 O 5
5
D
A1
C1

B
5 5 C
6 E
A
O
C
7.如图，半径为R的球O中有一内接圆
柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积
与该圆柱的侧面积之差是__________． 2πR2
法一:设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱 高为2Rcos α，圆柱底面半径为Rsin α，∴S圆柱侧 ＝2π·Rsin α· 2Rcos α＝2πR2sin 2α.当sin 2α＝1时， S圆柱侧最大为2πR2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－
2πR2＝2πR2.
法二：设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 R2－r2.
2 4π r ∴S 圆柱侧＝2πr· 2 R2－r2，S′圆柱侧＝4π R2－r2－ 2 2. R －r
2 令 S′圆柱侧＝0，得 r＝ 2 R. 2 2 当 0<r< 2 R 时，S′>0；当 2 R<r<R 时，S′<0. 2 ∴当 r＝ 2 R 时，S 圆柱侧取得最大值 2πR2. 此时 S 球表－S 圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.
O
C1
A1
A1
B1
正方形的对角线等于球的直径。 球的外切正方体的棱长等于球直径。 球的内接正方体的对角线等于球直径。
例2.正三棱锥的高为 1，底面边长为 的全面积和它的内切球的表面积。
,求棱锥
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =