集合考点和题型归纳

集合考点和题型归纳
一、基础知识
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：
N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．
(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .
A B ⇔⎩⎨⎧
A ⊆
B ，A ≠B .
既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不
属于A .
(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .
两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎨⎧
A ⊆
B ，
A ⊇
B .
A 中任意一个元素都符合
B 中元素的特性，B 中任意一
个元素也符合A 中元素的特性．
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.
∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．
3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．
(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．
求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .
二、常用结论
(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .
(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .
(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B . 考点一 集合的基本概念
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
(2)已知a ，b ∈R ，若⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1
D ．±1
[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.
(2)由已知得a ≠0，则b
a ＝0，所以
b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中
元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.
[答案] (1)B (2)C
[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.
2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98
C ．0
D ．0或9
8
解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a ＝0时，x ＝2
3
，符合题意．
当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝9
8，
所以a 的值为0或9
8
.
3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为 .
解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：（5，6］
考点二 集合间的基本关系
[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A B
D ．B A
(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． [解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C.
(2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.
(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－m ≥－1，
m ≤3，
－m <m .
所以0<m ≤1.
综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1] [变透练清]
1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．
解析：若A ⊆B ，由⎩
⎨⎧
－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，
∴m 的取值范围为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－5
2，此时B＝
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
2，
1
2
，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
答案：[－2,2)
考点三集合的基本运算
考法(一)集合的运算
[典例](1)(2018·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝()
A．{－1,1}B．{0,1}
C．{－1,0,1}D．{2,3,4}
(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为()
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤2}
[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，
∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．
(2)依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，
因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D
考法(二) 根据集合运算结果求参数
[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－4,3)
B ．[－3,4]
C ．(－3,4)
D ．(－∞，4]
(2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )
A ．3
B ．2
C ．2或3
D ．3或1
[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B. (2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A.
[答案] (1)B (2)A
[题组训练]
1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}
D ．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．
2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )
A.⎝⎛⎭⎫1
2，100 B.⎝⎛⎭⎫
12，2 C.⎣⎡⎭
⎫1
2，100 D ．∅
解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭
⎫1
2，100.
3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪
1
2
a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭
⎫2
3，＋∞ D ．(1，＋∞)
解析：选A 因为A ∩B ≠∅，
所以⎩
⎨⎧
2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.
[课时跟踪检测]
1．(2019·福州质量检测)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.
2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{2,6} B ．{3,6} C ．{1,3,4,5}
D ．{1,2,4,6}
解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．
3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}
D ．{x |0＜x ＜2}
解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}， ∴∁R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．
4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )
A ．M ∩N ＝M
B ．M ∪(∁R N )＝M
C ．N ∪(∁R M )＝R
D ．M ∪N ＝M
解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .
5．设集合A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
12
≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1
2 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1
D ．[－1,1]
解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <2，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．(－∞，1]
C ．[1，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2. 7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )
A ．mn
B ．m ＋n
C ．n －m
D ．m －n
解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．
8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B
A ∪
B 中的元素个数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B
A ∪
B ＝⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素． 1
2
9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.
解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．
答案：{－1,0}
10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为 ________．
解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．
答案：{x |－5≤x ≤1}
11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________．
解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．
联立得方程组⎩
⎪⎨
⎪
⎧
y ＝3x 2－3x ＋1，
y ＝x ，解得⎩⎨⎧
x ＝13
，y ＝1
3
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
⎝⎛⎭
⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．
答案：2
12．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________． 解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4， 即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，
由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.
答案：(4，＋∞)
13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1)分别求A∩B，A∪(∁U B)；
(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2<x<4}＝{x|2<x≤3}．易知∁U B＝{x|x≤2或x≥4}，所以A∪(∁U B)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．
(2)由B∪C＝B，可知C⊆B，画出数轴(图略)，
易知2<a<a＋1<4，解得2<a<3.
故实数a的取值范围是(2,3)．。