集合考点和题型归纳

集合考点和题型归纳

一、基础知识

1．集合的有关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．

元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：

N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．

2．集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．

(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .

A B ⇔⎩⎨⎧

A ⊆

B ，A ≠B .

既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不

属于A .

(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .

两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎨⎧

A ⊆

B ，

A ⊇

B .

A 中任意一个元素都符合

B 中元素的特性，B 中任意一

个元素也符合A 中元素的特性．

(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.

∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．

3．集合间的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．

(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．

求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .

二、常用结论

(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .

(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .

(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B . 考点一 集合的基本概念

[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

(2)已知a ，b ∈R ，若⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1

D ．±1

[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.

(2)由已知得a ≠0，则b

a ＝0，所以

b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中

元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.

[答案] (1)B (2)C

[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]

1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.

2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98

C ．0

D ．0或9

8

解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a ＝0时，x ＝2

3

，符合题意．

当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝9

8，

所以a 的值为0或9

8

.

3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2

解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5

考点二 集合间的基本关系

[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0

D ．B A

(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )