2021-2022年高考数学二轮复习第二部分讲重点小题专练作业8理

2021年高考数学二轮复习第二部分讲重点小题专练作业8理
一、选择题
1．(xx·福建八校联考)已知集合A ＝{x|y ＝（1－x ）（x －2）}，B ＝{y|y ＝log 2x ，1
2≤x
≤4}，则A∩B＝( ) A ．(－1，2] B ．(1，2) C ．(1，2] D ．[1，2]
答案 D
解析 通解：由(1－x)(x －2)≥0得1≤x≤2，所以A ＝{x|1≤x≤2}，因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，当1
2≤x ≤4时，－1≤y≤2，所以B ＝{y|－1≤y≤2}，故A∩B＝[1，2]．故
选D.
优解：易知1∈A，1∈B ，故排除B ，C ，又0∉A ，故排除A ，故选D.
2．(xx·湖北四校联考)若a ＝(12)15，b ＝(15)－1
2
，c ＝log 15
10，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a>b>c
B ．a>c>b
C ．c>b>a
D ．b>a>c
答案 D
解析 0<(12)15<(12)0＝1，即0<a<1，(15)－12＝512>50
＝1，即b>1，又c<0，所以b>a>c ，故选D.
3．(xx·杭州质检)若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax＋by ＋c≤3x＋4y ＋5，则( )
A ．a ＋b －c 的最小值为2
B ．a －b ＋c 的最小值为－4
C ．a ＋b －c 的最大值为4
D ．a －b ＋c 的最大值为6
答案 A
解析 由题意可得－5≤(a－3)x ＋(b －4)y ＋c≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c≤5，则2≤a ＋b －c≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确；C 错误；－6≤a－b ＋c≤4，则a
－b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.
4．(xx·江西九校联考)已知A(1，2)，B(2，11)，若直线y ＝(m －6
m )x ＋1(m≠0)与线段AB 相交，
则实数m 的取值范围是( ) A ．[－2，0)∪[3，＋∞) B ．(－∞，－1]∪(0，6] C ．[－2，－1]∪[3，6] D ．[－2，0)∪(0，6]
答案 C
解析 由题意得A(1，2)，B(2，11)在直线上或两侧，即(m －6m －2＋1)·(2m－12
m －11＋1)≤0，
即1≤m－6
m
≤5，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C.
5．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，7x ＋y －17≤0，9x －y －7≥0，则z ＝4x －6y 的最小值为( )
A ．－33
B ．－10
C ．－8
D ．10
答案 B
解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，7x ＋y －17≤0，9x －y －7≥0，
作出可行域如图中阴影部
分
所示．由⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，
7x ＋y －17＝0，解得A(2，3)，目标函数z ＝4x －6y
可
化为y ＝23x －z
6
，
由图可知，当直线y ＝23x －z
6过点A 时，直线在y 轴上的截距最
大，
z 取得最小值，且z min ＝4×2－6×3＝－10，故选B.
6．(xx·广东五校诊断一)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋y －3≤0，3x －y ＋3≥0，x －2y ＋1≤0的解集记为D ，有下面四个命题：
p 1：∀(x ，y )∈D，2x ＋3y≥－1； p 2：∃(x ，y )∈D，2x －5y≥－3； p 3：∀(x ，y )∈D，y －12－x ≤1
3；
p 4：∃(x ，y )∈D，x 2
＋y 2
＋2y≤1. 其中的真命题是( ) A ．p 1，p 2
B ．p 2，p 3
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
答案 C
解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋y －3≤0，3x －y ＋3≥0，x －2y ＋1≤0表示的区域，如图中阴影部分
所
示，其中A(0，3)，B(－1，0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，x －2y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝1，即C(1，1)，对于p 1，因为2×(－1)＋0≤－1，
故p 1是假命题，排除A ；对于p 2，将C(1，1)代入2x －5y ＋3＝0得到2×1－5×1＋3＝0，说明点C(1，1)在2x －5y ＋3＝0上，故p 2是真命题，排除D ；对于p 3，因为3－12－0＝1>13，故p 3是假命
题，排除B ，故选C.
7．(xx·合肥质检)若a ，b 都是正数，则(1＋b a )(1＋4a
b )的最小值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
答案 C
解析 因为a ，b 都是正数，所以(1＋b a )(1＋4a b )＝5＋b a ＋4a
b ≥5＋2
b a ·4a
b
＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确．
8．(xx·广东综合测试)已知命题p ：∃x>0，e x
－ax<1成立，q ：函数f(x)＝－(a －1)x
在R 上是减函数，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 作出y ＝e x
与y ＝ax ＋1的图像，如图．当a ＝1时，e x
≥x ＋1恒成立，故当a≤1时，e x
－ax<1不恒成立；当a>1时，可知存在x∈(0，x 0)，使得e x
－ax<1成立，故p 成立，即p ：a>1，由函数f(x)＝－(a －1)x
是减函数，可得a －1>1，得a>2，即q ：a>2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件，选B.
9．(xx·武汉四月调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y≥0，x ＋2y≤4，x －2y≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大
值为16
3，则实数a 的值为( )
A ．3 B.14
3
C ．3或14
3
D ．3或－11
3
答案 D
解析 约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示，当0<a<2，直线z ＝x ＋ay 过点C(3，12)时，z 取得最大值，即3＋12a ＝163，a ＝143(舍)；
当a>2，直线z ＝x ＋ay 过点A(43，43)时，z 取得最大值，即163＝43＋
4
3
a ⇒a
＝3；当－1<a<0，直线z ＝x ＋ay 过点C(3，12)时，z 取得最大值，即163＝3＋a 2⇒a ＝14
3(舍)；当
－2<a<－1，直线z ＝x ＋ay 过点C(3，12)时，z 取得最大值，即163＝3＋a 2⇒a ＝14
3(舍)；当a<－2
时，直线z ＝x ＋ay 过点B(－2，－2)时，z 取得最大值，即163＝－2－2a ⇒a ＝－11
3.综上，a ＝3
或－11
3
.故选D.
10．(xx·江西五市三次联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x≥1，y ≥2，x ＋y≤4，若点P(2a ＋b ，3a －b)在该
不等式组所表示的平面区域内，则b ＋2
a －1的取值范围是( )
A ．[－12，－7]
B ．[－7，－9
2
]
C ．[－12，－9
2]
D ．[－12，－2]
答案 C
解析 因为点P(2a ＋b ，3a －b)在不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x≥1，y ≥2，x ＋y≤4所表示的平面区域内，所以
⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b≥1，3a －b≥2，
2a ＋b ＋3a －b≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b≥1，3a －b≥2，5a ≤4，
其表示的平面区域是以A(45，－35)，B(45，25)，C(35，－1
5
)为顶点的三角形区域(包括边界).b ＋2a －1可看作是可行域内的点与点M(1，－2)连线的斜率，所以k MB ≤
b ＋2a －1≤k MC ，即－12≤b ＋2a －1≤－9
2
. 11．(xx·石家庄质检)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2
＋y 2
＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2
取得最大值时a 的值为( ) A.12 B.32
C.34
D.34
答案 D
解析 因为圆心到直线的距离d ＝
24a 2
＋b
2
，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2
＝
2
4－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a)1＋2b 2
≤122·12
·[(22a)2
＋(1＋2b 2)2
]＝1
42[8a 2＋1＋2(4－4a 2
)]＝9
42，当且仅当⎩⎪⎨⎪
⎧8a 2＝1＋2b 2
，4a 2＋b 2
＝4
时等号成立，此时a ＝3
4
，故选D. 12．(xx·杭州质检)已知命题p ：∃a 、b∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1
b ＝3；命题q ：∀x ∈
R ，x 2
－x ＋1≥0恒成立，则下列命题是假命题的是( ) A ．(綈p)∨(綈q) B ．(綈p)∧(綈q) C ．(綈p)∨q D ．(綈p)∧q
答案 B
解析 对命题p ：由于(1a ＋1b )·(a＋b)＝2＋b a ＋a
b
≥2＋2
b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝1
2
时取得等
号，故
1
a
＋
1
b
＝3为假命题；命题q：由于x2－x＋1＝(x－
1
2
)2＋
3
4
≥0，故命题为真命题．从而綈p 真，綈q为假，故(綈p)∧(綈q)为假．
13．(xx·福州质检)不等式组
⎩⎪
⎨
⎪⎧
2x－y＋1≥0，
x－2y＋2≤0，
x＋y－4≤0
的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件：
①∀(x，y)∈D，y≥ax；②∃(x，y)∈D，x－y≤a.
则实数a的取值范围为( )
A．[－2，1] B．[0，1]
C．[－2，3] D．[0，3]
答案 A
解析根据约束条件，可得可行域D如图中阴影部分(△ABC及其内部)所示．由
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－2y＋2＝0，
x＋y－4＝0，
解
得
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝2，
y＝2，
所以点B的坐标为(2，2)．由
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x－y＋1＝0，
x＋y－4＝0，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝1，
y＝3，
所以点C的坐标为(1，3)．因为∀(x，y)∈D，y≥ax，且过原点的直线y＝ax的斜率为a，由图可知，a≤k OB，所以a≤1.由∃(x，y)∈D，x－y≤a，设z＝x－y，则a≥z min.当目标函数z＝x－y过点C(1，3)时，z＝x－y 取得最小值，此时z min＝1－3＝－2，所以a≥－2.综上可知，实数a的取值范围为[－2，1]，故选A.
14．设实数x，y满足约束条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧3x－y－6≤0，
x－y＋2≥0，
x≥0，
y≥0，
若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为10，则a2＋b2＋2a的最小值为( )
A.
21
13
B.
22
13
C.
36
13
D.
24
13
答案 C
解析方法1：由题意知，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分
所示，因为a>0，b>0，所以由可行域得，当目标函数过点(4，6)时z 取最大值，所以4a ＋6b ＝10.a 2
＋b 2
＋2a ＝(a ＋1)2
＋b 2
－1的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点(a ，b)到点(－1，0)的距离的平方减去1，那么其最小值是点(－1，0)到直线4a ＋6b ＝10的距离的平方减去1，则a 2
＋b 2
＋2a 的最小值是(|4×（－1）－10|
16＋36
)2－1＝3613.
方法2：由题意知，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为a>0，b>0，所以由可行域得，当目标函数过点(4，6)时z 取最大值，所以4a ＋6b ＝10，a ＝5－3b 2，所以a 2＋b 2
＋2a ＝
(5－3b 2)2＋b 2＋5－3b ＝13b 2
4－212b ＋454，当b ＝2113时，a 2＋b 2＋2a 取得最小值3613. 二、填空题
15．(xx·福建质检)已知函数f(x)＝x 2
(2x
－2－x
)，则不等式f(2x ＋1)＋f(1)≥0的解集是________． 答案 [－1，＋∞)
解析 因为f(－x)＝(－x)2
(2－x
－2x
)＝－x 2
(2x
－2－x
)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，不等式f(2x ＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x ＋1)≥f(－1)．易知，当x>0时，函数f(x)为增函数，所以函数f(x)在R 上为增函数，所以f(2x ＋1)≥f(－1)等价于2x ＋1≥－1，解得x≥－1.
16．(xx·湖北四月调研)某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y>5，x －y<2，
x<7，则该单位计划栽种这两种树的棵数最多为________． 答案 12
解析 本题考查简单的线性规划问题．作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分中的整点所示(不包含边界)，设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，由图易得使得y ＝－x ＋z 在y 轴的截距最大的点为x ＝7，2x －y －5＝0交点附近的整点，易知当目标函数过点(6，6)时取得最大值，所以该单位计划栽种这两种树的棵树最多为12.
17．(xx·海口调研)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤3，
y ≥－1，
x －y ＋3≥0，x ＋2y －9≤0
表示的平面区域为M ，若直线y ＝k(x ＋2)上存在
M 内的点，则实数k 的最大值是________． 答案 2
解析 由题意知，可行域为如图所示的五边形ABCDE 及其内部，联立方程
组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，x ＝－1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，即B(－1，2)，又直线y ＝k(x ＋2)过定点(－2，0)，则当直线y ＝k(x ＋2)过点B(－1，2)时，k 取最大，则k 的最
大值为2.
18．(xx·陕西质检一)点(x ，y)满足不等式|x|＋|y |≤1，Z ＝(x －2)2
＋(y －2)2
，则Z 的最小值为________． 答案 92
解析 |x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z ＝(x －2)2
＋(y －2)2
的几何意义是点(x ，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P(2，2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为(|2＋2－1|2
)2＝92.
19．(xx·广东综合测试)已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧21－x
，x ≤0，1－log 2x ，x>0，若|f(a)|≥2，则实数a 的取值范围
是________．
答案 (－∞，1
2]∪[8，＋∞)
解析 当a≤0时，1－a≥1，2
1－a
≥2，所以|f(a)|≥2成立；当a>0时，由|f(a)|≥2可得|1－
log 2a|≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得0<a≤1
2或a≥8.综上，实数a 的取值范围
是(－∞，1
2
]∪[8，＋∞)．
20．(xx·石家庄月考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0x ＋y －3≥0y≤2表示的平面区域为M ，若函数y ＝a x
(a>0，且a≠1)
的图像经过区域M ，则a 的取值范围是________． 答案 (0，1)∪(1，2] 解析
如图，平面区域是三角形，其中点A(1，2)，点B(3，0)，显然当0<a<1时，函数图像经过所给区域，当a>1时，函数y ＝a x
的图像经过区域必需满足条件a 1
≤2，即a ≤2.所以所求的a 的取值范围是(0，1)∪(1，2]．
(xx·郑州二次预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( ) A ．72 B ．120 C ．192 D ．240
答案 D
解析 ①若末位数字为2，因为含有2个4，所以有5×4×3×2×1
2＝60种情况；②若末位数字为
6，同理有
5×4×3×2×1
2
＝60种情况；③若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有
5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．。