理论力学经典课件-拉格朗日方程

2 aC = gsi α n 3
=0
m sinα δx - F δx MIC g IR
δx
R
例 题 2
离心调速器
的质量; 已知: 已知: m1-球A,B 的质量; m2-重锤C 的质量; 重锤C 的质量; l-杆件的长度; 杆件的长度; ω- O1 y1轴的旋转角速度. 轴的旋转角速度. 的关系. 求: ω- α 的关系. 解: 不考虑摩擦力,这一系统 不考虑摩擦力, 的约束为理想约束; 的约束为理想约束;系统具有一 个自由度. 个自由度.取广义坐标 q = α 1,分析运动,确定惯性力 分析运动,
ri =ri (q , q2,, qN ,t) 1
∑F δ r ∑ma δ r = 0
i= 1 i i i= 1 i i i N k k
n
n
∑F δ r = ∑Q δq
1 i= i i 1 k=
n
Qk——广义力
N n r r i mr ( mr mai δ ri = ∑ ii ∑ δqk = ∑ ∑ ii i )δqk ∑i qk i= 1 k= k 1 q k= i= 1 1 i= 1 n n N
(m + m )g 2 ω = 1 m lcosα 1
2
例题3 质量为m 三棱柱ABC 例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上. 通过滚轮搁置在光滑的水平面上. 质量为m 半径为R 质量为m2,半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下 无滑动地滚下. 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下.
r δri = ∑ i δqk k= k 1 q
N
ri ri ∑Fi δ ri∑miai δ ri= ∑(Qk ∑mi q )δqk =0 i= 1 i= 1 k= 1 i= 1 k
n n N n
r Q ∑ ii i = 0 (k =12, N) mr , , k qk 1 i=
n
r mi i ∑ ir q i= 1 k
n rd ri ri r d r r i i i i = ∑ i = (r ) ∑ ir m m i i q = q qdt k k q q 1 1 i= q dt k k i= k k n r r d n i = ∑ r m ∑ ir i m i i k i=1 dt i=1 q qk n
δrA FIA m1g l
C
O1
x1
δα
l α α l
A
δxA = l cosαδα δyA = l sinαδα δxB =l cosαδα δyB = l sinαδα δyC = 2l sinαδα
ωB
δrC
δrB FIBl m1g源自m2g y12mlsinαω2lcosαδα2m glsinαδα2m glsinαδα= 0 1 1 2
如果将位矢对任意一个广义坐标 求偏导数, 如果将位矢对任意一个广义坐标 qj 求偏导数,再对时间求 导数, 导数,则得到
N d r 2ri 2r i i = +∑ qk dt qj qjt k=1 qjqk
r i qk
=
d ri q dt k
第二个拉格朗日关系式
n n r r d d r mi i = ∑ i (r i ) ∑ ir ( i ) m m r ∑ i q i=1 dt i q i=1 i dt q i= 1 k k k n
O1 l α α l FIA m1g l
C A
x1
ωB
l m1g m2g y1
FIB
球A,B绕 y轴等速转动;重锤静止不动. 轴等速转动;重锤静止不动. 球A,B的惯性力为
FA = FB = mlsinαω2 I I
2,令系统有一虚位移δα.A,B,C 三处的 虚位移分别为δ 虚位移分别为δrA,δrB, δrC . 3,应用动力学普遍方程 δrA FIA m1g l
(i =12,, n) ,
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
i
xi
mi )δxi +(F m i ) δyi +(F mi )δzi ] = 0 ix yi iy zi iz i =12,, n ,
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统. 适用于具有理想约束或双面约束的系统. 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统,也适用于 既适用于具有定常约束的系统, 具有非定常约束的系统. 具有非定常约束的系统. 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统,也适用于 既适用于具有完整约束的系统, 具有非完整约束的系统. 具有非完整约束的系统. 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统,也适用于具有 既适用于具有有势力的系统, 无势力的系统. 无势力的系统.
(m + m )a 2 1 ar = 1 m cosα 2
解:5,求解联立方程
1 3 sinα + (a1cosα ar ) = 0 g 2
(m +m )a 2 1 ar = 1 m cosα 2
m gsin α 2 2 a = 1 2 3(m +m )- m cos α 2 2 1 2 2gsinα(m +m ) 1 2 ar = 2 3(m +m )- m cos α 2 2 1 2
例 题1
已知: m ,R, f , α . 已知:
MIC
δx
C
α
FIR
求:圆盘纯滚时质心的加速度. 圆盘纯滚时质心的加速度. 解:1,分析运动,施加惯性力 分析运动,
aC
α
F = maC IR
MIC = JC α
1 2 其中: 其中: JC = mR , aC = Rα 2
mg
2,本系统有一个自由度, 本系统有一个自由度, 令其有一虚位移 δx. 3,应用动力学普遍方程
y A δx OC
FI 2 r
MI2
D C2
FI 2 e
F = ma I1 1 1
F =m a I2e 2 1
C1
FI1
F = m ar I2r 2
MI2 = J2 α2
1 J2 = m R2 2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = R 2 α
(F1 + F2e )δx + F2rcosα δx = 0 I I I
1 n ri 1 n T 2 ri ) = ∑ (mvi ) = ∑mri q = 2 ∑q (miri k k k i 2 i=1 q qk i= 1 i= 1
n
ri T ∑mri q = q i= 1 k k
n
δxA = l cosαδα δyA = l sinαδα δxB =l cosαδα δyB = l sinαδα δyC = 2l sinαδα
m2g y1
3,应用动力学普遍方程
FA δxA + FB δxB +m g δyA I I 1 +m g δyB +m g δyC = 0 1 2
C
O1
x1
δα
l α α l
A
FA δxA + FB δxB +m g δyA I I 1 +m g δyB +m g δyC = 0 1 2
根据几何关系,有 根据几何关系,
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
(i =12,, n) ,
∑(F ma )δ r = 0
i i i i
(i =12,, n) ,
—— 动力学普遍方程
任意瞬时作用于具有理想,双面约束的系统上的 任意瞬时作用于具有理想, 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零. 等于零.
∑(F ma )δ r = 0
i i i i i
n n r d d r i ) ∑ ir ( i ) = ∑ i (r m mi i dt qk dt qk i= 1 i= 1 n
ri N ri ri = +∑ qk t k=1 qk
qk =
dqk 广 速 义 度 dt
ri ri 和 仅 时 和 义 标函 , 为 间 广 坐 的数 t qj
y A a1 C1 ae C2 α
D α2 ar B
求:1,三棱柱后退的加速度a1; 三棱柱后退的加速度a OC 2,圆轮质心C2相对于三棱 圆轮质心C 相对于三棱 柱加速度a 柱加速度ar. 解:1,分析运动 三棱柱作平动, 三棱柱作平动,加速度为 a1. 圆轮作平面运动,质心的牵连 圆轮作平面运动, 加速度为a 加速度为ae= a1 ;质心的相对加 速度为a 圆轮的角加速度为α 速度为ar;圆轮的角加速度为α2.
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问
题,即:已知主动力求系统的运动规律. 已知主动力求系统的运动规律. 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时,重 求解系统运动规律时, 要的是正确分析运动,并在系统上施加惯性力. 要的是正确分析运动,并在系统上施加惯性力. 应用 动力学普遍方程 ,需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移,并正确计算相应的虚功. 惯性力作用点的虚位移,并正确计算相应的虚功. 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力,因此, 中不包含约束力,因此, 不需要解除约束,也不需要将系统拆开. 不需要解除约束,也不需要将系统拆开.
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δ ri
系统的总虚功为
(i =1,2,, n)
mai )δ ri = 0 i (i =12,, n) ,
∑(F +F
i i
N i
系统的总虚功为
∑(F +F