(山东专用)2021版高考数学一轮复习练案(57)第八章解析几何第八讲曲线与方程(含解析)

[练案57]第八讲 曲线与方程

A 组基础巩固

一、单选题

1．(2019·云南质量检测)已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( D )

A ．x 2

＋y 2

＝2

B ．x 2＋y 2

＝4 C ．x 2

＋y 2

＝2(x ≠±2)

D ．x 2

＋y 2

＝4(x ≠±2)

[解析] MN 的中点为原点O ，易知|OP |＝1

2|MN |＝2，∴P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为

半径的圆，除去与x 轴的两个交点，即P 的轨迹方程为x 2

＋y 2

＝4(x ≠±2)，故选D.

2．方程x －1lg(x 2

＋y 2

－1)＝0所表示的曲线图形是( D )

3．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D )

A ．双曲线

B ．椭圆

C ．圆

D ．抛物线

[解析] 连接MF ，由中垂线性质知|MB |＝|MF |，

即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等． ∴点M 的轨迹是抛物线，∴D 正确．

4．(2019·金华模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )

A ．2x ＋y ＋1＝0

B ．2x －y －5＝0

C ．2x －y －1＝0

D ．2x －y ＋5＝0

[解析] 设Q (x ，y )，∵|PM |＝|MQ |，∴M 为线段PQ 的中点，∴则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.

5．(2019·四川雅安调研)设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点

O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是( B )

A ．圆

B ．两条平行直线

C ．抛物线

D ．双曲线

[解析] 设P (1，a )，Q (x ，y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，

ay

x ×1

＝－1，x ＝－ay ，∵|OP |＝|OQ |，∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2，而a 2＋1>0，∴y 2＝1，∴y

＝1或y ＝－1，∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．

6．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”，以下曲线不是．．

“好曲线”的是( B ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2

＋y 2

＝9 C.

x 225＋y 2

9

＝1

D ．x 2＝16y

[解析] M 点的轨迹是双曲线 x 216－y 2

9＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M 点的轨迹必

有公共点．四个选项中，只有圆x 2

＋y 2

＝9与M 点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M 点的轨迹都有公共点，所以圆x 2

＋y 2

＝9不是“好曲线”．

7．(2019·大同模拟)设点A 为圆(x －1)2

＋y 2

＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( D )

A ．y 2

＝2x B ．(x －1)2＋y 2

＝4 C ．y 2＝－2x

D ．(x －1)2

＋y 2

＝2

[解析] 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)， 连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.

又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2

＋|PA |2

＝2， 即|PM |2

＝2，∴(x －1)2

＋y 2

＝2.

8．已知F 是抛物线y ＝14x 2

的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是

( A )

A ．x 2

＝2y －1 B ．x 2

＝2y －116

C ．x 2

＝y －12

D ．x 2

＝2y －2

[解析] 把抛物线方程y＝1 4

x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，设P(x0，y0)，PF的中点为M(x，y)．

由中点坐标公式得

⎩⎪

⎨

⎪⎧x＝x02，

y＝

y0＋1

2

，∴

⎩⎪

⎨

⎪⎧x0＝2x，

y0＝2y－1，

又∵P(x0，y0)在抛物线y＝

1

4

x2上，

∴2y－1＝

1

4

(2x)2，即x2＝2y－1，故选A.

9．(2019·江西省萍乡市模拟)已知动圆C经过点A(2,0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是( D )

A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

[解析]

设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|CA|2＝|BC|2＝|BE|2＋|CE|2，∴(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为y2＝4x，y2＝4x为抛物线．

二、多选题

10．当α∈(

π

4

，

3π

4

)时，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示的轨迹可以是( ACD ) A．两条直线B．圆

C．椭圆D．双曲线

[解析] 当α∈(

π

4

，

π

2

)时，sin α∈(

2

2

，1)，

1

sin α

∈(1，2)，cos α∈(0，

2

2

)，1

cos θ

∈(2，＋∞)，

1

cos α

>

1

sin α

>0.

方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为

x2

1

sin α

＋

y2

1

cos α

＝1，