42应用留数定理计算实变函数定积分

§4.2 应用留数定理
计算实变函数定积分
在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计
算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需
要计算菲涅尔积分
cos(x2 )dx， sin(x2 )dx；热传导问
0
0
题计中算需积要 分计0 (算sin0x)e/xaxd2xco等s(。bx)我dx们；在阻高尼等振数动学问中题已中经需知要
R1 R1
R2
若上述极限存在，这一极限便称为 f (x)dx的值。
而当R1=R2→∞时极限存在的话，该极限称为积分
f (x)dx 的主值，记为：
P
f (x)dx lim
R
f (x)dx
R R
上下限相等并同时→∞
本类型积分计算的是积分主值，如
何计算？作如图所示半圆形回路l
R
f (z)dz f (z)dz f (z)dz
{
z
zeimz 2 a
2
在上半平面所有奇点留
数和}
[Re sf (ia)]
lim
z ia
(
z
ia)
zeimz z2 a2
ema
2
I
1 a2
2
2
ema
2a2
(1 ema )
作业： P63-64： 1－1，6 2－2、6 3－3、5
l
R
CR
2i{ f (z)在l所围半圆内各奇点的留 数之和}
R
f (x)dx f (z)dz
R
CR
只需证明 lim f (z)dz 0 R CR
dz
lim f (z)dz lim zf (z)
R CR
R CR
z
| dz |
lim | zf (z) |
R CR
|z|
lim max | zf (z) | R
(1) n 1 i 2 ni (n 1)!22n1
n(n
1). . . (2n
2)
n(n 1)...(2n 2) (n 1)!22n1 i
(2n 2)! [(n 1)!]2 22n1
i
I
dx 0 (1 x2 )n
1 dx
(2n 2)!
2
(1 x2 )n
22n1
[(n
1)!]2
lim 1 1 ei9 / 4 zz2 4z3 4a3
I i[Re sf (z1) Re sf (z2 )]
i
1 4a3
ei3
/4
1 4a3
ei9 / 4
2
2a3
例7：计算I
(x
2
x2 a2 )( x2
b2
)
dx
,(a>0,b>0)
的值。
解：∵
f
(z)
(z2
z2 a2 )( z 2
R
R
lim [ max | zf (z) |] 0 R
f (z)在上半平面内
I f (x)dx 2i所有奇点的留数和
例4：计算
dx 1 x2
解：(x)=1， (x) =1+x2，在实轴上无零点，
而
f
(z)
1
1 z
2
1 (z i)( z i)
，具有单
极点±i，+i在上半平面，则
eimz z2 a2
有两个单极点±ai，其中
ai在上半平面，则
lim
zai
z ai
eimz z2 a2
lim
z ai
eimz z ai
ema 2ai
0
cos mx x2 a2
dx
i ema
2ai
ema
2a
特殊情形：实轴上有单极点的情形 f (x)dx
条件：①f(x)在实轴上有有限个单极点；
2 R(cos x，sin x)dx 2i 0
n
Re sf (zk )
k 1
zk为f(z)在单位圆内的奇点
例1：计算 I 2 dx
0 1 cosx
(0 1)
I
|z|11
dz / iz (z z1)
/
2
2 i
dz
|z|1 z2 2z
2 i 2 i 1 2 1 2
为偶函数，且分母多项
式的次数高于分子多项式次数两次，
它在上半平面有z1 ei / 4和 z2 ei3 / 4
两个单极点，所以
I i[Re sf (ei / 4 ) Re sf (ei3 / 4 )]
i
1 4ei3 / 4
1 4ei9 / 4
i(ei3 / 4 ei9 / 4 ) 2
4
4
类型三： F(x) cos mxdx
G(x) sin mxdx
0
0
条件： ①F(x)是偶函数， G(x)是奇函数，积分
区间是[0，∞]； ② F(x)，G(x)在实轴上无奇点，在上半
平面除有限个奇点外是解析的；
③当z在上半平面或实轴上→∞时，F(x)
和G(x)一致地→0。
F (x) cosmxdx 1 F (x)eimxdx
CR
CR
F (Rei )e e mRsin imRcos Rei id 0
max | F (z) | emRsin Rd 0
当z在上半平面及实轴上→∞时，F(z)一致地→0， 所以max|F(z)|→0，从而只需证明
lim emRsin Rd 即 2 lim / 2 emRsin Rd
(4)计算辅助曲线上函数F(z)的积分值，通常选
择辅助线使得积分简单易求，甚至直接为零。
设法将实积分
b
a
f
(x)dx与复变函数回路积分相联
系。
基本思想：
(1)补上一段l2，使得l2上 的积分容易计算；
(2)自变数变换，把l1变成 另一复平面上的回路。
类型一：I 2 R(cos x，sin x)dx 0
R 0
R 0
是有界的。
在0 / 2范围内，有0 2 / sin ，
/ 2 emRsin Rd e / 2 2mR / Rd (1 emR )
0
0
2m
当R →∞时，上式→有限值，则约当引理成立。
如果m为负数，则约当引理为
lim F (z)eimzdz 0
R CR
C'R是CR对于实轴的映像。
Re sf (i) lim[(z i) f (z)] zi lim 1 1 zi z i 2i
dx 1 x2
2i 1
2i
例5：计算 I
dx 0 (1 x2 )n
，（n为正整数）
解：∵ f (x) 1 是偶函数
(1 x2 )n
I 1 dx
2 (1 x2 )n
而 f (z) 1
例6：计算
I
dx 0 x4 a4
解：∵ f(x)是偶函数
I
dx 0 x4 a4
1 2
dx x4 a4
令z4+a4=0，则z4=-a4，即
z aei( / 4k / 2) (k 0，1，2，3)
也就是说
f (z)
1 z4 a4
有4个单极点，其
中，z1 aei / 4 和z2 aei3 / 4在上半平面
条件： ①被积函数是三角函数的有理式； ②区间是[0，2π]
变数代换令z=eix，x∈ [0，2π]，
作变换
c os x
1 2
(z
z 1)
sin
x
1 2i
(z
z 1)
dx
1 iz
dz
I
|z|1
R
z
z 2
1
，z
z 2i
1
dz iz
令
f
(z)
1 iz
R
z
z1 2
，z
z1 2i
由留数定理得：
其中
z1
1
(1
1 2 )在|z|=1内，则z1
处的留数为
Re
sf
1
(1
1
2
)
2 4(1 2 )3/ 2
I
2i
2
i
2
Re
sf
( z1 )
1
(1 2 )3/ 2
例3：计算 I
2
dx
0 1 2 cosx 2
(0 1)
解：令z=eix，则
1 2 cosx 2 (z )(1 z)
b2)
的分母多项式
的次数高于分子多项式次数两次，它
Hale Waihona Puke Baidu
在上半平面有z1=ai和z2=bi两个单极点
所以
I 2i[Re sf (ai) Re sf (bi)]
2i
2i(a
a 2
b2
)
b 2i(b2
a2
)
/(a b)
例8：计算 I
0
1 x4 1
dx
的值。
解：∵
f (z)
1 z4 1
I
1 2
dx x4 a4
i[Re sf (z1) Re sf (z2 )]
Re
sf
(aei / 4 )
lim
z z1
z
aei / 4
1 z 4 a4
lim z z1
1 4z3
1 4a3
ei3 / 4
Re
sf
(aei3 / 4 )
lim
zz2
z
aei3 / 4
1 z 4 a4
0
2
G(x) sin mxdx
1
G(x)eimxdx
0
2i
要计算右边的积分，需要用到约当引理。
约当引理
如果m为正数，CR是以原点为圆心而位于上半平
面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上→∞时，
F(z)一致地→0，则
lim F (z)eimzdz 0
R CR
证明： F(z)eimzdz F(z)eimxmydz
|z|1
z2
1 4z
1
dz
2z
被积函数
f
(z)
z2
1 4z
1
在|z|=1内只有单极
点 z 2 3，故
I 2 2i Re sf (2 3)
i
4 lim [z (2
z2 3
3)]
z
2
1 4z
1
2
3
类型二： I f (x)dx
(反常积分)
条件： ①区间(-∞，∞)；
②f(z)在实轴上无奇点，在上半平面上
该积分在力学和量子力学中很重要
例2：计算 I 1
2
2
dx
0 (1 cos x)2
解：令z=eix，则
(0 1)
I 1
2
dz / iz
|z|1 [1 (z z1) / 2]2
1
2i
|z|1 ( z 2
zdz
2z /
1) 2
2
i
2
f (z)dz
|z|1
f(z)有两个2阶极点，z 1 (1 1 2 )
以上两式均已化为类型二，其中条件3已放宽， 由约当引理保证，所以
F (x) cos mxdx i{F (z)eimz在上半平面留数和 } 0
G(x) sin mxdx {G(z)eimz在上半平面留数和 } 0
例：计算
0
cosmx x2 a2
dx (a>0)的值。
解：F (z)eimz
道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，
有的很难，甚至不能计算。原因在于被积函数往往
不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛
顿—莱布尼兹公式计算。
可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可 以转化为复变函数的环路积分(注意到当积分路
径沿实轴时，z=x即对应于实积分)，再利用留数
定理，则积分显得方便易求。
利用留数定理计算实积分 f (x)dx一般可采用如下
步骤：
(1)添加辅助曲线，使积分路径构成闭合曲线； (2)选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解
析的被积函数F(z)，使得满足F(x)=f(x)，通常 选用F(z)=f(z)，只有少数例外；
(3)计算被积函数F(z)在闭合曲线内的每个孤立
奇点的留数，然后求出这些留数之和；
1 a2x
x a2(x2
a2)
且
sin mx
dx
0x
2
sin mx dx 1 sin mx dx 1 sin mx dx
0 x(x2 a2 )
a2 0 x
a2 0 x2 a2
1
a2
2
sin mx 0 x2 a2
dx
而
0
x sin mx x2 a2
dx
1 在上半
(1 z2 )n (z i)n (z i)n
平面具有n阶极点+i，则
Re
sf
(i)
lim
zi
(n
1 1)!
d n1[(z i)n dz n 1
f
(z)]
lim
zi
1 d n1[(z i)n ] (n 1)! dzn1
(n)(n 1)...(2n 2) (2i)2n1 (n 1)!
除有限个奇点外是解析的；
③当z在上半平面和实轴上→∞时， zf(z)一致地→0
若 f (x) (x) ，(x)和 (x)为互质多 (x)
项式，上述条件意味着 (x)无实的零 点， (x)的次数至少比(x) 高两阶。
所求积分通常理解为下列极限：
I f (x)dx lim
R2 f (x)dx
②满足类型二的其它条件；
结果：
f (x)dx 2i Re sf (z) i Re sf (z)
1
2
1Re sf (z) 的求和范围是上半平面 2 Re sf (z)的求和范围是在实轴上
例8：计算
sin mx 0 x(x2 a2 ) dx
(m>0,a<0)的值。
解：
1 x(x2
a2)
z
I 1
dz
i |z|1 (z )(1 z)
在|z|=1内，
f
(z)
(
z
dz )(1
z)
，以z=ε为一阶极点
Re sf ( ) 1
1
1 z z 1 2
I
1 i
2i
1
1
2
1
2
2
例4：求 I 2 d 的值
0 2 cos
解：令z=eiθ，则
I
1 dz
|z|1
2
z2
1
iz
2 i