函数与方程专题

函数与方程专题
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).()
(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.()
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.()
2.(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
C.(－∞，1)∪(2，＋∞)D.(－∞，1]∪[2，＋∞)
8.(2019·北京燕博园联考)已知函数f(x)＝ 若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()
A.(－2，2)B.(－2，1)C.(0，2)D.(1，3)
2
1
0
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
6.(2019·上海黄浦区月考)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.
【例1】(1)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为()
A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)
(2)设函数y＝x3与y＝ 的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.
在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点
4.(2019·德州质检)若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()
A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1]D.[1，＋∞)
5.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos 在[0，π]的零点个数是________.
A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)
【例2】(1)(一题多解)函数f(x)＝ 的零点个数为()
A.3B.2C.1D.0
(2)(2019·安庆二模)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝ 且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有()
x
1
2
3
4
5
f(x)
－4
－2
1
4
7
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()
A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(4，5)
3.(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正百度文库的是()
A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点
(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.
【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)
一、选择题
1.已知函数f(x)＝ 则函数f(x)的零点为()
A. ，0B.－2，0C. D.0
2.(2019·岳阳二模)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()
A.0B.1C.2D.3
【训练1】(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()
A.(a，b)和(b，c)内B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(－∞，a)和(c，＋∞)
(2)函数f(x)＝lnx－ 的零点所在的区间为()
A. B. C.－ D.－
6.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则()
A.a<b<cB.a<c<b
C.b<c<aD.b<a<c
7.已知函数f(x)＝ 则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是()
A.(1，2)B.(－∞，－2]
3.函数f(x)＝2x－ －a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()
A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)
4.函数f(x)＝ lnx＋x－ －2的零点所在的区间是()
A. B.(1，2)C.(2，e)D.(e，3)
5.(2019·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()
A.(－∞，－1)B.(－∞，1)C.(－1，0)D.[－1，0)
(2)已知函数f(x)＝ g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()
A.[－1，0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)
【训练3】(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝
(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.
A.3个B.2个C.1个D.0个
【训练2】(1)函数f(x)＝3x|lnx|－1的零点个数为()
A.1B.2C.3D.4
(2)(2019·淄博调研)设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是()
A.4B.3C.2D.1
考点三 函数零点的应用
【例3】(1)已知函数f(x)＝ (a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()