实际问题中二次函数的最值问题

第2课时实际问题中二次函数的最值问题

自学目的

【知识与技能】

1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.

2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.

【过程与方法】

经历优化问题的探究过程,认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.

【情感态度】

体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增加对数学的理解和学好数学的信心.

【自学重点】

能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值. 【自学难点】

二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.

自学过程

一、情境导入，初步认识

问题1同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3

①x= 时，y有最值，其值为；

②当-1≤x≤4时，y最小值为，y最大值为 .

答案:①1,小，-4；②-4，5

【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.

二、思考探究，获取新知

自学点1最大面积问题

阅读教材P30动脑筋，回答下列问题.

1.若设窗框的宽为xm，则窗框的高为 m,x的取值范围是 .

2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？

3.如何由关系式求出最大面积？

答案：1.83

2

x

0

8

3

2.S=-3

2

x2+4x,0

8

3

3.S max=8

3

m2.

例1如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？

解：设矩形纸较短边长为a,设DE=x，则AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当

x=-

21

222

a

a

-

=

⨯

时，y最小值=2×（

1

2

a）2-2a×

1

2

a+a2=

1

2

a2

即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.

【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.

自学点2 最大利润问题

例2 预习教材P31例题

【自学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函

数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.

例3某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?

【分析】找出进价,售价,销售,总利润之间的关系,建立二次函数,再求最大值.列表分析如下:

关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.

解:设降价x元，总利润为y元，由题意得

y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.

当x=0.5时，总利润最大为225元.

∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.

三、运用新知，深化理解

1.如图，点C是线段AB上的一个支点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )

A.当C是AB的中点时,S最小

B.当C是AB的中点时,S最大

C.当C为AB的三点分点时,S最小

D.当C是AB的三等分点时,S最大

第1题图第2题图

2.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是 .

3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）.

①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

②求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】 cm,

cm2

3.解：①45+260240

10

-

×7.5=60（吨）.

②y=(x-100)(45+260

10

x

-

×7.5).

化简，得y=-3

4

x2+315x-24 000.

③y=-3

4

x2+315x-24 000=-

3

4

(x-210)2+9 075.

此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.

④我认为,小静说得不对.

理由:当月利润最大时,x为210元，每月销售额W=x(45+260

10

x

-

×7.5=-

3

4

(x-160)2+19 200.当x为

160元时，月销售额W最大.∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.

【自学说明】1.先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.2.要分清利润,销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.

四、预习小结

这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?

能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围,并能求出实际问题的最值.