《高等数学》教学课件：第1章_数列极限

1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
❖数列的概念
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的
实数xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
数列举例:
1 2
,
2 3
,
3 4
,
,
n n1
;
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先 给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常 数a.
如上例
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只要 n 100时,
有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
lim
n
xn
a
或
xna
(n).
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
或说数列{xn}是发散的,
习惯上也说lim n
x
n
不存在.
•极限定义的简记形式
lim
n
xn
a
0,
NN,
当nN时,
有|xna|
.
lim
n
xn
a
0,
NN,
当nN时,
有|xna|
.
❖数列极限的几何意义
任意给定a的邻域(a, a),
1|
1 n
,
所以
lim
n
n
(1)n1 n
1
.
分析:
|xn1| |
n(1)n1 1| n
1 n
.
对对于于>>00,,要要使使|x|xnn11||,,
只只要要11
nn
,,
即即nn11
..
lim
n
xn
a
0,
NN,
当nN时,
有|xna|
.
例例22. 证明 lim (1)n 0 . n (n 1)2
证明 因为 0, N [1 1] N, 当 nN 时, 有
第一章 二、数列极限
（1） 数列极限概念 （2） 收敛数列的性质
❖ 概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
无限接近于1.
❖数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为
lim
n
xn
a
.
例如
nlinlmimnnnn1111, , nlinlmim212n1n00, ,
limlimnn((1)n1)1n11.1 . nn n n
2, 4, 8, , 2n , ;
{
1 2n
}
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
, ;
1, 1, 1, , (1)n1, .
1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数 xnf(n), nN .
❖数列的极限 观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题: 当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 nຫໍສະໝຸດ Baidu
1, 1000
给定
1 10000
,
只要
n
10000时,
有
1
xn
1
, 10000
给定 0, 只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正
数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
|xna |<
总成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为
•存在 NN, 当n<N时, 点xn一般落在邻域(a, a)外 •当n>N时, 点xn全都落在邻域(a, a)内
(
)
a a a
lim
n
xn
a
0,
NN,
当nN时,
有|xna|
.
例例11. 证明 lim n(1)n1 1 .
n
n
证证明明 因为 0, N [1] N, 当 nN 时, 有
|xn1|
|
n
(1)n1 n
SΔ 1/2 * a * b * sinα
sin2θ 2sinθ * cosθ
π
n
如图所示 , 可知
r
An
n
r2
sin
π cos n
π n
(n 3, 4, 5, )
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
注意：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn
❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
0,
NN,
当nN时,
有|xna|
.
例3 设|q|<1, 证明等比数列
1, q , q2, , qn1,
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语 言
刻划它.
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意 小的正数.
|xn0|
|
(1)n (n 1)2
0|
(n
1 1)2
1 n 1
,
所以 lim (1)n 0 . n (n 1)2
分析:
|xn0|
|
(1)n (n 1)2
0|
1 (n 1)2
1 n 1
.
对对于于00,,
要要使使|x|xnn00||,,
只只要要 11
nn11
,,
即即nn1111 ..
lim
n
xn
a