地图的数学基础02

第六节 正等角圆锥投影
正等角圆锥投影又称为兰勃特正形 投影。
假想用一个轴线与地球椭球旋转轴 重合的圆锥套在椭球上，把地球椭 球的经纬线投影到圆锥面上，然后 沿着圆锥的一条母线（经线）将圆 锥面切开展成平面，就得到正圆锥 投影。
变形性质为等角的，称为正等角圆 锥投影
我国新编的1:100万地形图就是采用双标准线正等角 圆锥投影，是正等角圆锥投影中的一种。
3’45″
2’30″ 9216
2304
576 64
16 4
1
坐标网
经纬线网
z 由经线和纬线所构成的坐标网，亦称地理坐标网 z 每幅图的内图廓为经纬线。 z 1∶50 万和1∶100 万地形图上应绘有经纬线网。
内图廓上绘制经纬网的加密分划短线。 z 在1∶1 万、1∶2.5 万、1∶5 万、1∶10 万和
表2-9 基本比例尺地形图分幅和图幅间的数量关系
比例尺
图幅大小
经差
纬差
图幅间的数量关系
1∶100万
6°
4°
1
1∶50万
3°
2°
4
1
1∶25万
1°30’
1°
16
4
1
1∶10万
30’
20’
144
36
9
1
1∶5万
15’
10’
576
144
36
4
1
1∶2.5万
7’30″
5’
2304
576
144 16
4
1
1∶1万
1∶20（25） 万地形图上，图内不绘经纬线网， 应当在图角处注出相应度数。 在内外图廓间绘制 经纬网的加密分划短线。
方里网
方里网是由两组互相垂直且平行于坐标 轴的直线组成，也称为直角坐标网。
每一条直线至坐标轴的距离均为整公里 数。但在不同比例尺地形图上，方里网 的间距是不同的（表2-10）。
为此，规定：
z 每个投影带西边最外一行1:10万地形图的范围 （即经差30‘）内包含的1:10万、1:5万、1:2.5 万地形图均需加绘西部邻带的方里网
z 每个投影带东边最外一行1:5万地形图的范围 （即经差15‘）和一行1:2.5万地形图（即经差 7.5‘）的图面上也需加绘东部邻带的方里网
邻带图幅拼接使用 时，可将邻带方里网 连绘出来，即把邻带 坐标延伸到本带来， 从而使两幅图具有统 一的直角坐标系统
对投影公式加以补充，
故称为高斯-克吕格投
图3-31 高斯—克吕格投影构成示意图
影。
高斯-克吕格投影的基本条件
中央经线（椭圆柱与椭球体的切线）的 投影为直线，而且是投影的对称轴
投影后没有角度变形，即同一地点各方 向的长度比不变（或者说两微分线段所 组成的角度在投影中保持不变）
中央经线上没有长度变形
子午圈曲率半径：
M=
ae(1
−
e2) 1
3
(1 − e12 sin2 B )2
纬圈曲率半径：
r=
ae cos B
1
(1 − e12 sin2 B )2
K
ρ
=
tanα ⎜⎜⎝⎛ 45° +
B
2
⎟⎟⎠⎞
K
Fra Baidu bibliotek
ρ
=
tanα ⎜⎜⎝⎛ 45° +
B
2
⎟⎟⎠⎞
αK
r
tanα ⎜⎜⎝⎛ 45°
+
B
2
⎟⎟⎠⎞
0.00025
0.00009
0.00036
0.00012
0.00046
0.00013
0.00054
0.00014
0.00059
0.00015
0.00061
3° 0.00000 0.00004 0.00016 0.00034 0.00057 0.00081 0.00103 0.00121 0.00134 0.00138
为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的 限度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的 投影。
投影分带的规定
为了控制投影变形不至过大，我国 规定：
z 1∶1 万、1∶2.5 万、1∶5 万、 1∶10 万、1∶25 万、1∶50 万比例 尺地形图，均采用高斯-克吕格投影。
+ 4η 4 ) + −18tg 2ϕ
""
+ tg 4ϕ
)
+
""
x、y ——平面直角坐标系的纵、横轴坐标
ϕ、λ ——椭球面上地理坐标的经纬度（分别自赤道和投影带中央经线起算）
s ——自赤道至纬度 的经线弧长 N ——卯酉圈曲率半径（据纬度由制图用表查取）
η —— η 2 = e'2 cos2 ϕ ，其中e’为地球的第二偏心率
我国领土位于720E-1360E，60带：13-23共11个投影带； 30带：24-45共22个投影带
应用本投影编制地形图时，每幅图所包括的 范围大小是一定的。我国规定国家基本地形 图图幅是按经纬线划分，以国际规定的 1∶100 万地形图为基础，其他各种比例尺地 形图的分幅以及图幅之间的数量关系见表2-9。
此投影无角度变 形，中央经线长度比 为0.9996，距中央经 线约±180km处的两 条割线上无变形。亦 采用分带投影方法： 经差6°或3°分带。 长度变形 < 0.04%
4.4 世界地图投影
正轴等角圆柱投影 设想以圆柱面为投影面，使圆柱面与地球表面相切或相
割，将地球表面上的经纬线投影到圆柱面上，再把圆柱面沿 一条母线剪开展为平面而成。
L0=(6n-3)0 (东半球) L0=(6n-3)0-3600（西半球） 3°分带：从东经1°30’的经线开始。每隔3°
为一带，全球划分为120 个投影带。
图2-20 表示出6°带与3°带的中央经线与带号 的关系。
6°带的中央经线都是3°带的中央经线， 可从3°带直接转换成6°带，不需计算。
我国在北半球，X 坐标皆为正 值。Y 坐标在中央经线以西为负 值，运用起来很不方便。
为了避免Y 坐标出现负值，将各 带的坐标纵轴西移500 公里，即 将所有Y 值都加500 公里，如图 2-22 所示。这样，全部坐标都表 现为正值了。
高斯-克吕格直角坐标
yA = 245 863.7 m yB = - 168 474.8 m
表2-10 地形图上方里网间距表
比例尺 1 ∶ 10000 1 ∶ 25000 1 ∶ 50000 1 ∶ 100000
方里网间距（ cm ） 10 4 2 2
相应实地长（ km ） 1 1 1 2
在高斯-克吕格投影上，规定以中 央经线为X 轴，赤道为Y 轴，两 轴的交点为坐标原点。X 坐标值 在赤道以北为正，以南为负；Y 坐标值在中央经线以东为正，以 西为负。
1
cos2
ϕ
(1 +
η
2
)λ2
+
1
cos4
ϕ
(2
−
tg
2ϕ
)λ4
−
1
cos4
ϕλ4
2
6
8
中央经线上没有长度变形，λ=0，μ=1
沿纬线方向，距中央经线越远变形越大
沿经线方向，纬度越低变形越大
高斯-克吕格投影长度变形情况见下表
高斯-克吕格投影6°带内长度变形表
纬度
90° 80° 70° 60° 50° 40° 30° 20° 10° 0°
第三讲 地图投影（2）
石家庄铁道学院 路清献
第五节 高斯-克吕格投影及应用
我国现行的大于1:50万比例尺的各种地形 图，都采用高斯-克吕格投影。
本节从应用的角度对高斯-克吕格作简要介绍
高斯-克吕格投影是等角横切椭圆柱投影
它是以椭圆柱作为投影面，使地球椭球体的某一条经 线与椭圆柱相切，然后按照等角条件，将中央经线东
0° 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
长度变形
经差
1°
2°
0.00000
0.00000
0.00000
0.00002
0.00002
0.00007
0.00004
0.00015
0.00006
投影概念
假想圆锥轴与地球椭球体旋转轴重合并套在椭球体上， 圆锥面与地球椭球体相割，将经纬网投影到圆锥面上并 展开。其经线表现为辐射的直线束，纬线投影成同心圆 弧。
圆锥面与椭球面相割的两条纬线，称为标准纬线。采用 双标准纬线的相割，比单标准纬线的相切，其投影变形 小而均匀。
x = ρS − ρ cos δ y = ρ sin δ
绘有邻带方里网的区域范围是 沿经线带状分布的，称为投影 的重叠带。
通用横轴墨卡托投影 —— UTM 投影
以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈， 按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投 影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称 Universal Transverse Mercator—— UTM 投影。
高斯-克吕格投影的中央经线和赤道为互相垂直的 直线，其他经线均为凹向并对称于中央经线的曲 线，其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的 曲线，经纬线成直角相交。
角度没有变形。中央经线长度比等于1，没有长度 变形。其余经线长度比均大于1，长度变形为正， 距中央经线愈远变形愈大，最大变形在边缘经线与 赤道的交点上；面积变形也是距中央经线愈远，变 形愈大。
z 1∶2.5 万—1∶50 万比例尺地形图采 用经差6°分带，1∶1 万比例尺地形 图采用经差3°分带。
6°分带：从0°子午线起，自西向东每隔经差 6°为一投影带，全球分为60 带，各带的带号 用自然序数1，2，3，…，60 表示。即以东经 0°—6°为第1 带，其中央经线为3°E，东经 6°—12°为第2 带，其中央经线为9°E，其 余类推。我国领土位于东经72°—136°之 间，共包括11 个投影带，即13—23 带。中央 经线
正轴等角圆柱投影
4.4 世界地图投影
由荷兰地图学家墨卡托（Mercator Gerardus，1512—1594）于1569年所创 设，故又名墨卡托投影。
特点: 不仅保持了方 向和相对位置的正确 ，而且使等角航线在 图上表现为直线。这 一特性对航海具有重 要的实用价值。
墨卡托投影
等角航线：是地球表面上与经线相交 成相同角度的曲线。在地球表面上除 经线和纬线以外的等角航线，都是以 极点为渐近点的螺旋曲线。
根据上述条件，可推导出高斯-克吕格投影的直 角坐标基本公式：
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x y
= =
s+
λN
λ2 N
sin 2
cosϕ +
ϕ cosϕ + λ3N cos3
6
λ4N sin ϕ
24
ϕ(1− tg 2ϕ
cos3
+η 2
ϕ(5 − tg ) + λ5N
120
2ϕ +
cos5
9η 2 ϕ (5
yA通 = 20 745 863.7 m yB通 = 20 331 525.2 m
邻带坐标网
高斯克吕格投影的经线向本投 影带的中央经线收敛，所以过 每一点的经线方向与坐标纵轴 构成一定的夹角，且这个夹角 随着纬度的增高而加大。
当相邻两带的相邻图福拼接使 用时，两幅图面上的方里网不 统一，形成折角。拼接使用地 图不方便。
西两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将
其展成平面而得（图3-31）。
由于这个投影是由德国 数学家、物理学家、天
文学家高斯（Oarl
Friedrich Gauss， 1777—1855）于19 世纪
20 年代拟定，后经德国
大地测量学家克吕格 （JohannesKrüger， 1857—1923）于1912 年
P
=
m2
= n2
=
⎜⎜⎝⎛
αρ r
2
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
αK rU α
2
⎟⎟⎠⎞
ω =0
e1
U
=
tan⎜⎜⎝⎛ 45°
+
B
2
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
1 1
− e1 sin B + e1 sin B
⎟⎟⎠⎞ 2
指定区域边纬线和中纬线长度变
形绝对值相等的正等角圆锥投影
K ρ = Uα
过椭球面上一点的法 线，可作无限个法截 面，其中一个与该点子 午面相垂直的法截面同 椭球面相截形成的闭合 的圈称为卯酉圈。在图 中PEE’即为过P点的卯 酉圈。卯酉圈的曲率半 径用N表示。
高斯-克吕格投影的变形分析
高斯-克吕格投影没有角度变形
面积变形通过长度变形表达，长度变
形：
μ =1+
等角航线在图上表现为直线。这 一特性对航海具有很重要的意义。
大圆航线：地球面上两点间最短距离 是通过两点间的大圆弧，也称为大圆 航线。
4.4 世界地图投影
墨卡托投影
4.4 世界地图投影
等角航线 在 图上表现为直 线。这一特性 对航海具有很 重要的意义。 地球面上两点 间最短距离是 通过两点间的 大圆弧，也 称为大圆航线
单标准纬线
α = sin B0
K
=
M
cot B0
tanα ⎜⎜⎝⎛ 45°
+
B0
2
⎟⎟⎠⎞
双标准纬线
K ρ = Uα
δ = αl
x = ρs − ρ cos δ
y = ρ sin δ
α
=
lg r2 − lg r1 lg U 1 − lg U 2
K
=
r1U
α
1
=
r2U
α 2
α
α
m
=n
=
αρ r
=
αK rU α