隐式差分方程课件

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（2.49.2）
这是一个隐式差分格式（如图2.8所示）。
m-1,n+1 m,n+1 m+1,n+1
图2.8
m-1,n m,n m+1,n
2 x
n m
1 1 n n n n n n (1 r )U m1 r (U m1 U m1 ) (1 r )U m r (U m1 U m1 ) 1 1 2 2 （2.44）
由于格式（2.44）中包括六个结点，故也可 称为六点格式（如图2.6所示）。
m-1,n+1 m,n+1 m+1,n+1
m-1,n+1 m,n+1 m+1,n+1
1 2 2 2 x 替代 D x h
图2.5：
m,n
为了求得第（n+1）时间层上的 的值， 必须通过解线性代数方程组。这是一个隐 式差分格式，必须联合其初边值条件求解。 格式（2.41）通常称为古典隐式格式。 Dx , Dx2 我们也可以通过直接用差分算子代替 u u u 的方法，即 ( )
x 12 x 1 1 u h 1 u n 2 （ ） ( ) m （h 4 k 2） 2 a t 12 x a t 1 2 1 u n 2 1 2 1 1 n1 n ( ) m 2 x [ 1 (um um ) (h 2 k 2 ) 2 n k x a t h am 2 2h
表2.2
tn t1 t2 t4 t8 t16 t80 t160 t320 t 640 t800
Sr
0.994 497 915 630 0.489 026 104 192 0.978 172 634 773 0.956 821 703 419 0.915 507 772 134 0.643 146 895 793 0.413 637 929 568
这是一个六点差分格式（如图2.7所示），称为加权六点差分格式。

m-1,n+1 m,n+1 m+1,n+1
图2.7：
1
m-1,n m,n m+1,n
显然，当 0时，加权六点格式为古典显示格式； 1 当 2 时，加权六点格式为Crank-Nicolson隐式格式； 当 1 时，加权六点格式为古典隐式格式。 加权六点格式亦可直接由差商代替导数得到
2.3.1 古典隐式格式
现在对热传导方程 n 1 2 n 推导其最简单的隐式差分逼近——古典隐式格式。由 um exp( kDx )um exp( k D )u u 故
2 x n 1 m n m 2 (1 k Dx
u 2u t x 2
1 2 4 n n k Dx )u m1 u m 2
式中左边如果仅保留二阶导数项，且以 ，则得差分 k n n (1 2 x2 )U m1 U m 格式 h n n n n 或者 rU m11 (1 2r )U m1 rU m11 U m （2.41） 格式用图2.5表示，其截断误差阶为 (k 2 h 2 ) ,与古典差分格式相同。
t k n n n 2u n 1 u m1 2u m1 u m1 1 1 ( 2 )m x h2
n 1 m n 1 m n m
n U m1
代入微分方程，得到格式（2.41）。
2.3.2 Crank-Nicolson隐式格式
exp( 1 1 n n k L)u m1 exp( k L)um 2 2
（2.45） 它称为Douglas差分格式，具有截断误差阶 (k 2 h 4 )。
1 1 2 n 1 1 1 2 n [1 (r ) x ]U m [1 (r ) x ]U m 2 6 2 6
例2.1 解初边值问题
u 2u t x 2 u t 0 s in x u (0, t ) u ( , t ) 0
{
0 x ;0 t T 0 x 0t T
应用（1） Crank-Nicolson差分格式，（2） Douglas差分格式解上述问题。对每一种情况， 令 h 20, r 1 20 （r的这个值对Douglas格式 有最小的截断误差），由初值条件和边值条件通 n U m 的值。一般 过上述二个格式的每一个逐层求出 而言，当由第n层去求第（n+1）层的解时，二个 格式的每一个都需解一线性代数方程组，其系数 是三对角阵，可用追赶法求解（见2.4）。已知上 述定解问题的理论解，记为 S r ， 有 u e t sin x 记 SCN , S D 分别为用高速数字计算机解出的CrankNicolson格式的解，而 ECN Sr SCN , ED Sr S D 分别 x 表示它们对精确解的误差，在 ，时间层n 2 上， tn nk 。 它们的值由表2.2给出。
（2.42） 1 两边仅保留前二项，用 h 代替 D ，则得差分格式 1 1 (1 r )U (1 r )U （2.43） 2 2 这是一个隐式差分格式，称为Crank-Nicolson差分格式， 截断误差阶为 (k 2 h 2 ) ，也可写为
2 2 x
2 x
2 x
n 1 m
n n (1 r x2 )U m1 [1 (1 )r x2 ]U m
n n n n n n (1 2r )U m1 r (1 )(U m 1 U m1 ) r (U m1 U m1 ) [1 2r (1 )]U m ,0 1（2.46） 1 1 或者
2.3 隐式差分格式
与显式差分格式不同，隐式差分格式中 包括了（n+1）时间层上二个或二个以上结 n 1 n 1 n 1 点处的未知值（例如 U m1 , U m , U m1 ）， 使用隐式差分格式和使用显式差分格式求 解完全不同。相对而言，使用隐式差分格 式求解，每时间层包含有较多的计算工作 量。从后面对差分格式的稳定性分析可知， 隐式格式的优点在于，其稳定性要求对步 长比的限制大为放宽，而这正是我们所期 望的。
图2.6
m-1,n m,n m+1,n
n n n n n n n n 也可将( u )n 2 um1 um ( 2u )n 2 1 [ um11 2um1 um11 um1 2um um1 ] m m t k t 2 2 h2 h2 1 1
代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。
基于如同Crank-Nicolson格式一样的六个网 格结点可获得另一精度较高的差分格式，如在 2 Dx 的项，即有 前式（2.42）中仅保留直到
(1
由式(2.19.3),可令 则可得 代入上式，则有如下差分格式：
1 1 2 n 2 n k Dx )u m1 (1 k Dx )u m 2 2 1 2 1 2 n 2 n Dx u m 2 x (1 x )u m h 12 1 2 1 2 1 2 Dx 2 x (1 x ) h 12
0.171 096 336 778
0.629 273 956 459 0.012 108 818 740
0.000 564
0.000 194 0.000 100
-0.000 000 001 417
-0.000 000 000 485 -0.000 000 000 257
2.3.3 加权六点隐式格式
1 2 n1 n x (um um ) 2 2h
1
am k
n
1 2
n n (um1 um )
1 1 2 1 n n x [ 1 (um1 um )] (h 4 k 2 ) 2 n 12 r h am 2
n )U m ]
1 2 x [(1 2
1 6ram
ECN
0.000011 0.000 022 0.000 040 0.000 079 0.000 151 0.000 531 0.000 683
ED
0.000 000 000 026 -0.000 000 000 051 -0.000 000 000 101 -0.000 000 000 198 -0.000 000 000 379 -0.000 000 000 331 -0.000 000 001 712
2 2 4 1 n 2 m 2 2 n n x2 (u m1 u m ) (
u 2u a ( x, t ) 2 t x
)m
2

h2 (
)m
2
(h 4 k 2 )
（2.48）
令
代入式（2.4百度文库），则 因此得差分方程
1 ra
1 n 2 m n n (U m1 U m )
Crank-Nicolson隐式差分格式是解热传导方程（2.26） 的常用的差分格式，为了推导它，由式（2.24），有 由 得
2 L Dx
[1
1 1 1 1 1 1 2 2 n 2 2 n k Dx ( k Dx ) 2 ]u m1 [1 k Dx ( k Dx ) 2 ]u m 2 2 2 2 2 2
n n U m1 U m 1 2 n 1 1 2 n 2 x U m (1 ) 2 x U m k h h
2.3.4 系数依赖于x,t的一维热传导方程的一 个隐式格式的推导
考虑方程 （2.47） 的差分逼近。 1 已知 x 2 sinh( hDx ) 2 h4 2 2 2 2 由其Taylor展开式可得 x h Dx Dx (h 6 ) 124 据此，可得 1 1 1 2u n 1 u n
n
n )U m1 ] 1 2
1 2 x [(1 2
1 6ra
1 n 2 m
（2.49.1）
格式（2.49.1）具有截断误差阶 (h k ) ，可写 成更方便的形式
4 2
1 n 2 2 n 2 1 1 n 2 2 n 1 1 n 2 2 n 2 1 1 n 2 2 n [1 am x (am ) ram x ]U m [1 am x (am ) ram x ]U m 12 2 12 2
前面，我们已经推导了热传导方程（2.26）的古典显示格式，古 典显示格式及Crank-Nicolson格式等。实际上，它们都可以作为本 节推导的加权六点隐式格式的特殊情形。 n 2 n u m1 exp( k Dx )u m 由 2 n 2 n exp( k Dx )u m1 exp((1 ) k Dx )u m ,1 1 得 1 1 2 4 n 2 4 n [1 k Dx 2 k 2 Dx ]u m1 [1 (1 ) k Dx (1 ) 2 k 2 Dx ]u m 即 2 2 1 2 2 两边去掉高于二阶导数的项，且用 h 2 x 代替 Dx ，则得差分格式