一、计数过程与泊松过程

k
[ t ] e t , k! ( k 0,1,2, )
k
EX.1 设{N( t ), t≥0)是参数为λ的泊松过程,
事件A在(0,τ]时间区间内出现n次，试求:
P{N(s)=k N(τ)=n}, 0<k<n,0<s<τ
解
PN ( s ) k , N ( ) n 原式 P{ N ( ) n}
= E{N(s)[N(t) －N(s)]}+E[ N2(s)]
=E{N(s)}E{N(t) －N(s)}+E[ N2(s)]
s t s [s s ] s 2st
2
C ( s, t ) R( s, t ) m( s )m( t ) s st s t
t
称λ为事件的 到达率
λ是单位时间内事件出现的平均次数. 均方差函数 C(s,t)=λmin(s,t)， 相关函数 R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st. 证：因泊松过程{N( t ), t≥0)是平稳独立增量过程， 不妨设 t > s >0 R(s,t)=E{N(t)N(s)}= E{N(s)[N(t) －N(s)+ N(s)]}
记
Wn Ti ,
i 1
n
则
Ti Wi 1 Wi来自称Wn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Tn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Tn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{T}=1/λ. 证 (1) 因 {T1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
(2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )；
(4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间隔(s, t]内事 件出现的次数. ) s ) t
一类很重要的计数过程是Poisson过程.
Poisson过程数学模型： 电话呼叫过程 设N ( t )为[0, t) 时间内到达 的呼叫次数, 其状态空间为 E={0，1，2，…} 此过程有如下特点： 1) 零初值性：N( t )=0; 2) 独立增量性：任意两个不相重叠的时间间隔 内到达的呼叫次数相互独立;
RN 1 ( s , t ) RN 2 ( s , t ) E[ N 1 ( s )]E[ N 2 ( t )] E[ N 2 ( s )]E[ N 1 ( t )]

2 1 min( s, t ) 1 st
2 2 min( s, t ) 2 st 2 2 ) st
X ( u) exp{ 1te 1te
iu
iu
} ( 1 2 )t }
由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性 定理知X(t)不是泊松过程.
2. 时间间隔与等待时间的分布 N(t) 是跃度为1 的阶梯函数
W1
W2
W3
W4
…
t
用Tn表示事件A第n－1次出现与第n次出现的 时间间隔.
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] t t t e P t e e 0 dt P 0 0 1
解得
假设
t
p1 ( t ) te
n 1
t
t t Pn 1 t e n 1!
泊 松 过 程
一、计数过程与泊松过程
在天文，地理，物理，生物，通信，医学， 计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机 事件流的计数问题，如： 盖格记数器上的粒子流； 电话交换机上的呼唤流； 计算机网络上的（图象，声音）流； 编码（密码）中的误码流；
交通中事故流； 细胞中染色体的交换次数，… 均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2, … 定义1：随机过程{N(t), t≥0}称为计数过程 (Counting process),如果N(t)表示在[0, t]内事 件A 出现的总次数. 计数过程应满足： (1) N( t )≥0;
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
2o 当n≥1, 根据全概率公式有 pn (t h) pn (t ) p0 (h) pn1 (t ) p1 (h) t t+h ]( ]
pn (t h) (1 h) pn (t ) hpn1 (t ) o(h)
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s<t, N(t) －N(s) ～P(λ(t－s)),即
[( t s )] ( t s ) P [ N ( t ) N ( s )] k e , k! k 0,1,2, 注 特别有 P{ N (t ) k } P [ N (t ) N (0)] k
Pn t h Pn t oh Pn t Pn1 t h h dPn t P t P t n n 1 令h 0, 得 dt 两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
( t ) t P[ N (t0 t ) N (t0 )] n e , n 0,1,2, n! 证 记 Pn (t ) PN (t ) n P [ N (t ) N (0)] n
n
P{ N (t 0 t ) N (t 0 ) n}
1o 由条件(2)～(4)，得：
(1)
Po(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0, N(t+h) － N(t)=0｝ = P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0}
=Po(t)[1－λh+o(h)]
P0 t h P0 t oh P0 t h h dP0 t P0 t 令 h 0, 得 dt 条件1N 0 0 P0 0 1,
n P N ( s) k , N () N ( s) n k n! e ()
e
s (s)
k
k!
e
( s ) [( s)]
n k
(n k )!
n! e () n
n! s s 1 k ! ( n k )!
即 Fn t PTn t 1 e t , t 0.
定理2 参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},事件A第 n 次出现的等待时间服从Γ分布,其概率密度为：
t (t ) n 1 e , f W t ( n 1)! n 0,
解
1 ） m X (t ) E[ N1 (t )] E[ N 2 (t )] ( 1 2 )t ,
RX ( s, t ) E{[ N1 ( s ) N 2 ( s )][ N1 (t ) N 2 (t )]}
E[ N 1 ( s ) N 1 ( t )] E[ N 2 ( s ) N 2 ( t )] E[ N 1 ( s ) N 2 ( t )] E[ N 2 ( s ) N 1 ( t )]
= P{N(t)=0}= e－λt
T1=s
与s 无关
t+s
故T2与T1相互独立，且T2也服从均值为1/λ 的指数分布.
(3) 对于一般 n＞1 和t＞0,以及 r1，r2，…，
rn-1>0,有 P{Tn>t |Ti=ri ,1≤i≤n－1} =P{N(t+r1+,…,+rn－1) －N(r1++r2+…+rn－1)=0} = P{N(t) －N(0)=0}= e－λt.
k 1


t
k!
e
t
k
e

t
,t 0
k
t
n 1
k 1!

k n
t
k!
e t ,
e
t
t
( n 1)!
,
t 0.
3. 到达时间的条件分布
定理3 设{N( t ),t≥0}是Poisson过程，已知在 (0, t]时间内A出现n 次,这n 次到达时间W1,W2,…, Wn的联合条件分布密度为 n! 0 t1 t n n, f ( t1 , t 2 , , t n N ( t ) n ) t 其他. 0,
2 1 2 st
2 ( 1 2 ) min( s, t ) ( 1
2 1 2 st .
2) 根据泊松分布的可加性知 X(t)=N1(t) +N2(t), t>0, 是强度为λ1+λ2的泊松过程. 3) X(t)=N1(t) －N2(t)的特征函数为
独立和的 特征函数
一般地有 C(s,t)=λmin(s,t) R(s,t)=λmin(s, t)+λ2st.
2
EX.2 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2 的相互独立的泊松过程,
1) 令X(t)=N1(t) －N2(t)，t>0,求X(t)的均值函数 和相关函数. 2) 证明 X(t)=N1(t) +N2(t), t>0, 是强度为 λ1+λ2的泊松过程. 3) 证明 X(t)=N1(t) －N2(t)，t>0,不是泊松过程.
k
n k

k Cn
s s 1
k
n k
,
k 0,1,2,, n.
二、齐次泊松过程的几个结论 1. 数字特征
因对t 0, N(t)～P(λt). 均值函数 mt EN t t
方差函数 Dt t
有
E N t
3) 齐次性：在(s, t)时间内到达的呼叫次数仅与 时间间隔长度t－s 有关，而与起始时间 s 无关; 4）普通性：在充分小的时间间隔内到达的呼 叫次数最多仅有一次，即对充分小的Δt,有
P{ N (t ) 0} p0 (t ) 1 t o(t ),
P{ N (t ) 1} p1 (t ) t o(t ),
FT1 t 1 P T t 1 e t ,
t0
即T1 服从均值为1╱λ的指数分布.
(2) 由泊松过程的平稳独立增量性,有
P{T2>t|T1=s}=P{在(s,t+s)内事件A不出现|T1=s }
=P{N(t+s) －N(s)=0} T2
= P{N(t) －N(0)=0}
成立
n 1
代入(2)式有
d [e Pn ( t )] (t ) t e pn 1 ( t ) dt ( n 1)!

t C e Pn t n !
t
n
利用初始条件 Pn 0 0, 可证得 n t t Pn t e n ! 对一切n≥0均成立. 定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义： 定义2′设计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件： (1) N(0)=0；
证
t 0; t0
注：在排队论中称Wn 服从爱尔朗分布。 因Wn是事件A 第 n次出现的等待时间,故 ｛Wn≤t}={N(t)≥n}={(0, t)内A至少出现n次}
Fw n ( t ) P Wn t
n t f wn t FW
k n
k n
P{ N ( t ) 2}
其中λ＞0.
k 2
pk ( t ) o( t ),

定义2.设计数过程{N( t ), t≥0} 满足： (1 )N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0； (4) P{N(h)≥2}=o(h). 称{N( t ),t≥0)是参数(或速率,强度)为λ的齐次 泊松过程. 定理：齐次泊松过程{N( t ),t≥0}在时间间隔 (t0, t0+t]内事件出现n 次的概率为: