复变函数第二章第二节初等解析函数

该 性 质 是 实 变 指 数 函 数 e x所 没 有 的 .
1
例1 设 z x iy, 求(1) ei2z ; (2) ez2 ; (3)Re(e z );
解 因 为 e z e x iy e x (cos y i sin y ) 所以其模 ez e x , 实部 Re(ez ) e x cos y.
有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式
cos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , (1) sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 ,
sin2 z cos2 z 1.
(2)
cos( x yi) cos x cos yi sin x sin yi, sin( x yi) sin x cos yi cos x sin yi.
24
例 求 cos(1 i)的值.
解 cos(1 i ) ei(1i ) ei(1i ) e1i e1i
2
2
1[e1(cos1 i sin1) e(cos1 i sin1)]
2
1 (e1 e)cos1 1 (e1 e)i sin1
2
2
cos1cosh1 i sin1sinh1.
当 π时, arg(ei ei ) π ,
2
当 π时, arg(ei ei ) π 2π.
2
13
z
例4 求函数 f (z) e5 的周期.
解 ez 的周期是2ki,
z
z 2ki
z 10ki
f (z) e5 e5 e 5
f (z 10ki),
z
故函数 f (z) e5 的周期是10ki.
14
二、三角函数和双曲函数
1. 三角函数的定义 因为 eiy cos y i sin y, eiy cos y i sin y,
将两式相加与相减, 得
cos y eiy eiy , 2
sin y eiy eiy . 2i
现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变
数取复值的情况.
15
我们定义余弦函数为cos z eiz eiz , 2
的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都
是有界函数, 但在复变三角函数中,
sin z 1与 cos z 1不再成立.
2020/3/18
26
小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:
4
2.指数函数的基本性质 (1) 对实数z x,ez定义与通常实指数函数定义一致.
(2) | ez | ex; Argez y 2k，k 0, 1, 2, ;ez 0.
(3) 指数函数w ez在整个复平面是解析，且有：
(ez )' ez
(4) 运算法则:ez1ez2
ez1 z2
,ez1 e z2
cos z的零点为z (n 1) ,(n 0, 1, ).
20
其他复变数三角函数的定义
正切函数
tan z sin z , cos z
余切函数
cot z cos z , sin z
正割函数 secz 1 , cos z
余割函数 csc z 1 . sin z
注1 在复平面上分母不为零的点解析,且
正弦函数为sinz eiz eiz . 2i
容易证明, sin z 是奇函数, cosz 是偶函数. sin(z) sin z, cos(z) cos z.
正弦函数和余弦函数都是以 2 为周期的. sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
16
例9 求 f (z) sin5z 的周期.
为简便，常用下面记号
ez e x (cos y i sin y)
3
指数函数的定义等价于关系式:
| exp z | e x ,
(其中k为任何整数)
Arg(exp z) y 2k,
指数函数exp z 可以用ez 来表示. e z e x (cos y i sin y )
注 意 ez 没 有 幂 的 意 义,只 是 代 替 exp z 的 符 号 .
1. 指数函数具有周期性 ( 周期为2πi ) 2. 三角正弦与余弦不再具有有界性 3. 双曲正弦与余弦都是周期函数
27
ex1x2 [cos( y1 y2 ) i sin( y1 y2 )] ez1z2
( 5 ) 指 数 函 数 w e z是 周 期 为 2 i的 周 期 函 数 ：
根据加法定理, 可以推出exp z 的周期性, exp z 的周期是2ki,
即 e z 2 k i e z e 2 k i e z . (其中k为任何整数)
的定义完全一致.
注1 无论是复三角函数还是复双曲函数,都是由复
指数函数表示.
23
容易证明, sinh z 是奇函数, coshz 是偶函数.
它们都是以 2i 为周期的周期函数,
它们的导数分别为 (sinh z) cosh z,
(cosh z) sinhz.
并有如下公式:
cosh yi cos y, sinh yi i sin y.
故tan(z ) tan z,等价于
e2i(z) e2iz , 故必有 e2i 1,
所以 k.(k为整数)
2. 双曲函数的定义
我们定义双曲余弦函数为cosh z ez ez , 2
双曲正弦函数为sinhz ez ez , 2
双曲正切函数为tanh
z
ez ez
ez ez
.
当 z 为实数 x 时, 它与高等数学中的双曲函数
2sin sin 2i cos sin
2
2
2
2
2sin
2
sin
2
i cos
2
12
2sin
2
cos
π
2
i
sin
π
2
因为 0 2π, sin 0,
2
上式就是复数ei ei 的三角表示式.
所以 Arg(ei ei ) π 2kπ,
2
=ez1 。 z2
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2，则
e ez1 z2 ex1 (cos y1 i sin y1) ex2 (cos y2 i sin y2 )
ex1ex2 [(cos y1 cos y2 sin y1 sin y2 )
i(cos y1 sin y2 sin y1 cos y2 )]
(6)、指数函数的渐进性态：z 时，无极限，但有
lim ez lim ex ;
z
x
zx0
lim ez lim ex 0
z
x
zx0
注 (1) ez仅是记号无幂的意义.
(2) 数分中的微分中值定理不能推广到复函数中来.
如 ez ez2i
但(ez ) ' ez 0
例3 求出下列复数的辐角主值: (1)e2i ; (2)e23i ; (3)e34i ; (4)e34i ; (5)ei ei
解 因为sin(z 2) sin z,
所以 sin(5z 2) sin5z,
又因为
sin(5z
2)
sin 5
z
2 5
所以
sin5 z
2 5
sin 5z,
故 f (z) sin5z 的周期是 2 . 5
17
正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. (sin z) cos z, (cos z) sin z.
7
(1) ei2z ei2( xiy) e2 xi(12 y) , ei2z e2x;
(2) e z2 e( xiy)2 e x2 y2 2 xyi , ez2 ex2y2 ;
1
1
(3) e z e x yi
e ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x
2
x
y
2
i
x
y 2 y
2
1
Re(e z )
x
e x2 y2
cos
① 处处可导且有 ex ex;
② 对任意的实数 x1, x2 , 有 ex1x2 ex1 ex2 ; ③ 对任意的实数 x R ,有 ex 0。
现在我们将指数函数的定义域推广到整个复 数集中，使其尽可能将这些特性保持下来。即新 的指数函数应满足
① 处处可导且有 ez ez;
② 当Im z 0 即 z为实数时有 ez ex
11
(3)e34i ; Arge34i 4 2k, arg e34i 4 2;
(4)e34i ; Arge34i 4 2k, arg e34i 4 2;
(5)ei ei cos i sin (cos i sin )
(cos cos ) i(sin sin )
第二节 初等解析函数
将一元实变初等函数u f (x) 推广为初等复变
函数 f (z) 的要求： ① 当 z x 为实数时， 有 f (z) u f (x)
完全与原实变函数相同。 ② 尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变
初等函 数的某些重要性质(如连续性、可导性等等
一、指数函数
初等实指数函数 ex 的一些重要性质：
f z ex cos y i sin y
定义 设 z x iy，则复变数 z 的指数函数定义为 exp(z) e x (cos y i sin y)
显然
Re(exp(z)) e x cos y Im(exp( z)) e x sin y exp(z) e x
Arg(exp(z)) y 2k (k 0, 1,)
x2
y
y2
.
8
例2 对任意复数z,若ez ez ,则必有
2ki(k为整数). 证明 对z 0, a bi有
e e0 1, ea (cosb i sin b) 1 于是 ea 1, cosb i sin b 1
所以 a 0, cosb 1, sin b 0,
因此 a 0, b 2k (k为整数) 故必有 a bi 2ki.(k为整数)
3.初等复变函数：基本初等复变函数经过加、减、乘、 除、乘方和开方等基本运算，或经历有限次复合运算， 所形成的复变函数称为初等复变函数,简称为复变函数.
思考题: 实变三角函数与复变三角函数在性质上有
哪些异同?
思考题答案
两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是
类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数
(0 2π). 解 因 为 e z e x iy e x (c o s y i s in y )的 辐 角
Argez y 2k (k为整数) 其辐角主值arg ez 为区间(-,]内的一个辐角. (1) Arge2i 1 2k, arg e2i 1; (2) Arge23i 3 2k, arg e23i 3;
当 y 时, sin yi , cos yi .
(注意：这是与实变函数完全不同的)
19
例 解方程 sin z 0
解
sin z
e iz
eiz 2i
e2iz 1 2ieiz
0
e2iz 1
e2iz e2ki
z k.
(k 0, 1, 2,)
sin z的零点为z n ,(n 0, 1, ).
18
当 z 为纯虚数 yi 时,
cos yi e y e y cosh y, 2
sin yi e y e y i sinh y. 2i
(3)
cos( x yi) cos x cosh y i sin x sinh y, sin( x yi) sin x cosh y i cos x sinh y.
(tan z) sec2 z, (cot z) csc2 z,
(sec z) sec z tan z, (csc z) csc z cot z,
注2 正切,余切的基本周期为
正割,余割的基本周期为2
例 对任意复数z,若tan(z ) tan z,则必有 k (k为整数).
证明 由定义 tan z sin z e2iz 1 , cos z i(e2iz 1)