一阶线性微分方程齐次

P 6x y Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
例3. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
变方程为 y2 x dx dy 3 y2 ( ydx xdy) 0 两边乘积分因子 y2
x dx y2 dy 3( ydx xdy) 0
用凑微分法得通解:
1 x2 y1 3 xy C 2
例4. 设 f ( x) 是连续函数，且满足
f ( x) 2 x f (t)dt x2 1, 0
2 可分离 全微分 (4) xy y 2 xy ; 齐次 伯努利
例2. 求下列方程的通解
(1)
y
1 y2
e y3x

0;
(3)
y
1 2x
y2
;
(2) x y x2 y2 y ;
(4)
y


6x3 3x y2 3x2 y 2 y3
.
提示: (1) 因 e y3x e y3ex , 故为分离变量方程:
化方程为 d y 3(x 1)2 y2
d x 2y (x 1)
令t=x–1,则
dy dy dt dy dx d t dx d t
dy 3t2 y2 dt 2ty
(齐次方程)
令y=ut
可分离变量方程求解
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
F

x,
y,
dy dx


0
1. y f (x, dy ), 或 dx
x f ( y, dy ), dx
解法 令 p dy , dx
2. F (x, dy ) 0 或 F( y, dy ) 0
dx
dx
解法 参数法
三个标准类型: 可分离变量方程, 线性方程, 全微分方程
xx
xu 1 u2
(3)
y

2x
1
y2
调换自变量与因变量的地位
,化为
dx 2x y2, dy
用线性方程通解公式求解 .
(4)
y


6x3 3x 2
3xy2 y 2y3
方法 1 这是一个齐次方程 .
方法 2 化为微分形式
令u y x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
)
dx
a1 x b1 y c1
解法 令 x X h, 化为齐次方程． y Y k，
（其中h和k是待定的常数）
(3) 一阶线性微分方程
dy P( x )y Q( x ) dx 当Q( x) 0, 齐次． 当Q( x) 0, 非齐次.
解法 齐次方程 分离变量法 非齐次方程 常数变易法 积分因子法
求 f ( x).
x
解： 令 F( x) 0 f (t)dt
则 F( x) 2F( x) x2 1, F(0) 0
因此
F ( x) 是初值问题
y 2 y x2 1 的解。

y(0) 0
（1）公式法
若 1 (P Q y
Q) x

f (x)
若
1 P
(Q x

P ) y

g(
y)
则
(
x)

e
f
(
x )dx
;
则 ( y) e g( y)dy .
（2）观察法
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子．
（3）分组求积分因子法
（7）一阶隐式方程
形式
y2ey3 d y ex dx
通解 1 ey3 ex C 3
(2) xy x2 y2 y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y 1 y 2 y
xx
xu 1 u2
x 0 时，y 1 y 2 y
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
二、典型例题 例1. 判断下列方程的类型
(1) ( x y)dx xdy 0; 齐次 线性 全微分
(2) x2dy 2 y2dx 0; 齐次 可分离 伯努利 (3) (1 xy)dx ( 1 x2 x)dy xdx ydx ;
注意： 全微分方程 P Q y x
解法 （1）直接凑微分法 （2）线积分法 （3）偏积分法
(6) 可化为全微分方程的方程
若 ( x, y) 0连续可微函数，且可使方程 ( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
微分方程.则称 ( x, y)为方程的积分因子.
一、主要内容 1、七种类型的一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
(2) 齐次型方程 dy f ( y ) dx x
解法 作变量代换 u y x
可化为齐次的方程
dy
ax by c
f(
(4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
源自文库
提示: (1) 原方程化为
令u=xy,得
d u u ln u dx x
(2) 将方程改写为
(分离变量方程)
dy 1 y y3 d x 2x ln x 2x
(伯努利方程) 令 z y2
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
(4) 伯努利(Bernoulli)方程
dy P( x )y Q( x )yn (n 0,1)
dx 解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y1n ,
(5) 全微分方程
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
其中 du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy