求反函数的步骤

2
1
4
2
:
:
y
x
R 除以2 R
这个新函数的自变量是__y____，对应的函数值是___x____。
（2）函数 y x 1 的定义域是_[_-1_,_+__)__，值域是_[_0_,_+__)__。
如果由 y x 1 解出x=__y_2___1___,则对于y在[0，+)上 的任一个值，通过式子x=_y__2 __1____,x在[-1,+)上有_唯__一__确__定___
3.若y=f(x)的反函数是y=f –1(x),则函数y=f –1(x) 的反函数就是y=f(x)，它们是互为反函数。 4.并非所有的函数都有反函数[如填空(3)]。 5.反函数原函数的关系：
作业： P.68---- 69. 1、2.
（ x ? A ），记作
x f 1 ( y) 按照习惯，对换x,y 改写成 y=f-1(x)
如： 函数f(x)=2x(x∈R)的反函数是_f__1(_x_)__1_2_x_(x___R_)_.
函数 f (x) x 1 (x 1) 的反函数是 f-1(x)=x2-1 (x≥0)
例1.求下列函数的反函数：
(1)y 3x 1(x R); (2)y x3 1(x R); (3)y x 1(x 0);(4)y 2x 3 (x R,且, 1)
x1
解:(3)由 y x 1 ，解得 x ( y 1)2
而函数 y x 1(x 0) 的值域是 {y y 1}
所以，函数 y x 1(x 0) 的反函
数是
y (x 1)2 (x 1)
例1.求下列函数的反函数： (1)y 3x 1(x R); (2)y x3 1(x R);
(3)y x 1(x 0);(4)y 2x 3 (x R,且, 1)
例2.求函数 y 1 1 x2 (1 x 0) 的反函数
例3. (1)求函数y=x2-1 (x≤0)的反函数； (2)求函数y=x2-2x-1 (x≤1)的反函数.
是否任何一个函数都有反函数？
（3）函数y=x2的定义域是___R__，值域是__[0__,+___)__。如果由
y=x2解出x=______y___,对于y在[0,+)上任一个值，通过式子
反函数与原函数的关系：
原函数
反函数
表达式： y=f(x)
y=f –1(x)
定义域：
A
C
值域：
C
A
例1.求下列函数的反函数：
(1)y 3x 1(x R); (2)y x3 1(x R);
(3)y x 1(x 0);(4)y 2x 3 (x R,且x 1) x1
y f (x) x f 1( y) y f 1(x)
(1)反解: 把y=f(x)看作是x的方程，解出x=f –1(y);
(2)互换：
将x,y互换得y=f –1(x),并注明其定义域 （即原函数的值域 )。
注：必须由原函数的值域来确定反函数的定义域
课堂练习：
P68. Ex.1 ---- 4.
（1）函数y=2x的定义域是____R__,值域是____R___。如果由
xy=2x1解y出，xx=在__R_12上__y有__唯_, _这一__样确__对定__于的y值在和R它上对任应一，个故值x，是通__y过__式的子函数。 2
原函数: y=2x
新函数：x 1 y 2
1
2
2
4
:
:
x
y
R 乘以2 R
称为原函数 y wenku.baidu.com 1 (x≥-1) 的反函数.
反函数的概念
函数 y f (x) （ x ? A ）中，设它的值域为C 。我们根据这个函
….. 数中的 x ， y 的关系，用y 把 x 表示出，得到x j ( y) 。如果对 于…y 在…C 中…的任…何一…个值…，通…过…x j…(y)…， x…在 A…中都…有唯. 一 的…值和…它对…应，…那么…，x… j(…y) 就…表示…y 是…自变…量，…x 是…自变. 量 …… y 的函数。这样的函数x j ( y) （ y ? C ）叫做函数 y f (x)
(3)y x 1(x 0);(4)y 2x 3 (x R,且, 1) x1
解: (2)由 y x3 1 ，解得 x 3 y 1
而函数 y x3 1(x R) 的值域是 R，
所以，函数 y x3 1(x R) 的反函
数是
y 3 x 1 (x R)
x1
解:(4)由 y 2x 3 ，解得 x y 3
x 1
y2
而函数 y 2x 3 的值域是 {y R y 2}
x 1
所以，函数 y 2x 3 (x R, 且 x 1)
x 1
的反函数是
y x 3 (x R, x2
且
x 2)
求反函数的步骤：
解:(1)由 y=3x-1 ，解得 x y 1 3
而函数 y 3x 1(x R) 的值域是R， 所以，函数 y 3x 1(x R) 的反函数是
y x 1 (x R)
3
例1.求下列函数的反函数：
(1)y 3x 1(x R); (2)y x3 1(x R);
x y, x在R上有_两___个_值和它对应，故x不___是_y的函数。
这表明函数y=x2没有反函数！
并非所有的函数都有反函数！
小结：
1.反函数的概念及记号；y=f(x)的反函数记
为
y=f –1(x)
2.求反函数的步骤：
(1)反解:把y=f(x)看作是x的方程，解出
x=f –1(y);
(2)互换：将x,y互换得y=f –1(x),并注明其 定义域（即原函数的值域 )。
反函数
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且 对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对 应法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的
函数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义 域，和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。
记为： y=f(x)
完成下列填空：
的值和它对应，故x是__y__的函数。
原函数：
表达式： y x 1
定义域： [-1,+) 值域： [0,+)
新函数：
x y2 1
[0,+) [-1,+)
在(1)中，我们称新函数
x

1 2
y
(y∈R)
为原函数y=2x(x∈R) 的 反函数.
同样，在(2)中，也把新函数 x y 2 1 (y≥0）