从高中定理教学谈数学史的渗透案例

从高中定理教学谈数学史的渗透案例

数学定理教学通常是指数学公理、定理、法则、公式等内容的教学。数学定理属于数学的基础知识范畴，是各种数学问题的表达形式，更是数学逻辑推理的基础。将数学史知识融入数学定理教学，使学生在感悟历史的同时，可以更深入地理解数学定理，提高学习的有效性。

案例：正弦定理的证明

正弦定理是从以前初中教材逐步分离并划归到高中教材的一部分内容。学生在初中直角三角形部分的习题中见过正弦定理的结论，并且有一些学生能用面积法来证明。从知识体系上看，应属于三角函数这一章。结合数学史进行如下的设计：

1创设情景，激发兴趣

早在1671年，两个法国天文学家就已经估算出了地球与月球之间的距离，那时没有先进的仪器，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？在数学发展历史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被用于解决许多测量问题。今天我们学习的正弦定理在解三角形中就有着重要应用。

2正弦定理的由来

13世纪阿拉伯数学家、天文学家、哲学家纳西尔丁（1201～1274）在《论完全四边形》中的卷3，论述了平面三角函数，用平面圆定义

弧的正弦，第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论述了正弦定理。

3证明方法

在新教材中，正弦定理的引入是按照从特殊到一般的原则，即先从特殊的直角三角形中观察得到结论，然后猜想，该结论对任意三角形是否也能成立？接着便通过计算机演示当任意三角形某一个顶点位置发生改变时，其三边的长度与它的对角的正弦值之比始终相等，使学生对定理的结论有了进一步的认识。

总结正弦定理的证明，可以有四种方法让学生尝试。

证法一（等高法）分析：我们是应用直角三角形得此等式的，从而学生很容易想到在斜三角形中构造直角三角形，利用三角函数的定义通过找等量关系达到证明的目的。

证明在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c.作CH⊥AB垂足为点H

4几种证明方法与数学史发展的关联

这几种证明方法的产生与数学的发展有着密切的关联。

13世纪阿拉伯数学家纳西尔丁在《论完全四边形》中，首次明确陈述了正弦定理。该著作于15世纪传入欧洲，促进了三角学的创立和传播。三角学在文艺复兴时期得到迅速发展。哥白尼的学生雷题库斯是把三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一人。在这样的数学发展基础上，我们认为正弦定理的证法一（等高法），证法二（等面积法）得到了实现。

16世纪最壮观的数学成就是代数学的重要进展。其中，最伟大的数学家是法国的韦达（Vieta，1540～1603），他首次将代数变换应用于三角学中，并讨论了正弦、余弦等的一般公式，具体给出了将cosnx表示成cosx的函数（n11）。答案公布后，震惊了数学界。笛卡尔（Descartes，1596～1650）是法国杰出的哲学家、物理学家和数学家。笛卡尔接受并继承了文艺复兴以来新的数学观，特别是他继承和发展了韦达等人的先进数学思想，充分看到了代数思想的重要性和普遍性，为寻求一种能把代数应用到几何中去的新方法思考了二十年。他主张代数与几何结合起来，各取所长，用代数的方法去研究几何问题。在这样的数学发展基础上，正弦定理的证法三（外切圆法）得到了实现。

1637年，笛卡尔在他的《几何学》中，提出了坐标几何的思想，并用于解决几何问题，创立了解析几何。主要表现在：几何问题代数化；将变量引入数学，从而完成了数学史上最丰富、最有效的辩证法

思想和数学方法的创举。解析几何的创立使正弦定理的证法四（向量法）得到了实现。

在进行正弦定理教学的过程中，将数学思维的发展过程呈现给学生，使学生站在前人的肩膀上经历数学家思维的过程，会促进智力的发展。

案例反思根据数学发展的规律以及人的认知规律，从特殊的直角三角形出发推广到一般情形，从三角函数的定义出发，然后到利用数形结合、数形变换思想来证明定理，从而有效地激发学生积极思考、自主探索，体验数学发现和创造的历程，品尝学习数学的乐趣。这样数学史就自然地融入了数学课堂教学中，这是新课改的需要，同时，也对我们教师的业务水平提出了更高的要求。

“数学定理的发现往往有其现实背景，定理教学必须重视这些背景，忽视背景的定理教学，犹如把定理悬于空中，难以被学生理解和应用。”笔者认为，教材中缺乏数学史与具体教学内容结合的阐述，又因为高考的制约等因素，阻碍了教师使用数学史进行教学的热情，影响了新课程理念的落实。本案例作为数学史视野下正弦定理的教学设计，在这一方面作了很好的探讨，说明我们应把数学史当作改进教学的工具。