专题64 函数与导数检测卷(解析版)

阶段复习检测(二) 函数、导数及其应用

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x

D ．y ＝x ＋1

x

【答案】A [函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．] 2．已知f ⎝⎛⎭⎫1

2x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．7

4

B ．－74

C ．43

D ．－43

【答案】A [令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝7

4.]

3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C [由x 2＋1＝1，得x ＝0，由x 2＋1＝3，得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．]

4．(2018·山东日照期中)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x ，x ≥0，

－x ，x ＜0

若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )

A ．－3

B ．±3

C ．－1

D ．±1

【答案】D [当a ≥0时，f (a )＝a ，则a ＋f (－1)＝a ＋1＝2，解得a ＝1.当a ＜0时，f (a )＝－a ，则－a ＋f (－1)＝－a ＋1＝2，解得a ＝－1，综上a ＝±1.]

5．(2019·贵州贵阳月考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝f ′1

x ＋x ，则f ′(1)＝( )

A ．－1

B ．－12

C ．12

D ．1

【答案】C [由f (x )＝

f ′1

x ＋x ，得f ′(x )＝－

f ′1

x 2＋1，故f ′(1)＝－f ′(1)＋1，即f ′(1)＝1

2

.]

6．(2018·山东日照期中)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2

，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜a

D ．b ＜c ＜a

【答案】C [∵b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.2＝20.2

＜21.2

＝a ，∴a ＞b ＞1，又∵c ＝2log 52＝log 54＜1，∴c ＜b ＜A ．] 7．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )

【答案】C [曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，∴g (x )＝cos x ，则函数y ＝x 2g (x )＝x 2·cos x ，设f (x )＝x 2·cos x ，则f (－x )＝f (x )，cos(－x )＝cos x ，∴y ＝f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、B ．令x ＝0，得f (0)＝0.排除D ．]

8．(2018·山师大附中二模)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1－2a x ＋3a x ＜1，ln x x ≥1的值域为R ，则实数a 的范围( )

A ．(－∞，－1)

B ．⎣⎡⎦⎤

12，1 C ．⎣

⎡⎭⎫－1，1

2 D ．⎝⎛⎭

⎫0，1

2 【答案】C [因为函数f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

1－2a x ＋3a

x ＜1，

ln x x ≥1的值域为R ，所以⎩

⎪⎨⎪⎧

1－2a ＞0，

1－2a ＋3a ≥0 解

得－1≤a ＜1

2

.]

9．(2019·山东胶州月考)已知点P 在曲线y ＝4

e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值

范围是( )

A ．⎣⎡⎭⎫0，π4

B ．⎣⎡⎭⎫

π4，π2 C ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4

D ．⎣⎡⎭⎫3π4，π

【答案】D [由题意，函数y ＝4

e x ＋1，则y ′＝－4e x e x

＋1

2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4

e x

＋1e

x ＋2

≥－1，且y ′＜0，当且仅当e x ＝1

e

x ，即x ＝0时等号成立，即斜率k ＝tan α∈[－1，0)，又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.] 10．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4

B ．－2

C ．4

D ．2

【答案】D [由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2， 则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：

∴11．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A ．3 B ．4 C ．6

D ．5

【答案】A [设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27

R 2，要使用料最省，只须使

圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小．由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R . ∴S ′＝2πR －54π

R 2，令S ′＝0，

得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小．]

12．已知函数f (x )＝a ＋x ln x 在(0，＋∞)上有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

2e

C ．⎝

⎛⎭⎫－∞，2

e D ．⎝

⎛⎭⎫－∞，2e 【答案】B [函数f (x )＝a ＋x ln x 在(0，＋∞)上有且仅有1个零点，即y ＝－a 和g (x )＝x ln x 在(0，＋∞)只有1个交点，g ′(x )＝

12x

ln x ＋

1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1

2

ln x ＋1，令g ′(x )＞0，解得x ＞e －2，令g ′(x )＜0，解得0＜x ＜e －2，故g (x )在(0，e －2)递减，在(e －2，＋∞)递增，故g (x )min ＝g (e －2)＝－2e ，在(0，e －

2)时，g (x )＜0，在x ≥

1时，g (x ) ≥0，故－a ＝－2e ， 即a ＝2

e

时，1个交点，－a ≥0即a ≤0时，1个交点．]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．(2019·山东潍坊月考)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x

的定义域为________.

【答案】[0，3] [由题意，函数f (x )的定义域为[0，2]，即x ∈[0，2]，又由函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x ，则满足⎩⎪⎨⎪⎧

0≤12x ≤2，8－2x ≥0

解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0，3]．]

14．(2019·山东淄博模拟)函数y ＝x e x 的最小值是____________.

【答案】－1

e

[y ′＝e x ＋x ·e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，∵x <－1时，y ′<0， x >－1时，y ′>0， ∴x ＝－1是