模糊数学方法及其应用

(4)最大最小法
rij ( xik x jk ) / ( xik x jk )
k 1 k 1 m m
(i, j 1,2,, n)
符号 ∧和∨分别表示两个元素取小和取大。 例如:
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x1 (0.1 0.2 0.3) x2 (0.4 0.5 0.6)
(x (x
xk( j ) 1 nj
( j) x ik i 1 nj
( j) k
( j) (k 1,2,, m); x ( j ) ( x1( j ) , x2( j ) ,, xm )
1 n xk xik (k 1,2,, m); x ( x1 , x2 ,, xm ) n i 1
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式中“○”表示矩阵的合成运算，类似矩阵乘法 运算，但要将元素的相乘改为求最小值、相加改为 求最大值。例如:
1 2 1 2 3 14 28 2 3 4 2 4 28 56 3 6 1 2 1 2 3 3 3 2 3 4 2 4 3 3 3 6

k 1
xik x jk 0.1 0.2 0.3 0.6 r12 0.6 / 0.6 1.0
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上述(4)、(5)、(6)三种方法要求xij≥0,否则,要进行 适当变换。
2.距离法 (1)绝对值倒数法
1 m rij M / | xik x jk | i 1
k 1 k 1 m m
(i, j 1,2,, n)
x1 (0.1 0.2 0.3) x2 (0.1 0.2 0.3)
2 ( xik x jk ) 2(0.1 0.2 0.3) 1.2
m
(x
k 1
k 1 m
ik
x jk ) 0.2 0.4 0.6 1.2 r12 1.2 / 1.2 1.0
矩阵RR叫做R矩阵的截矩阵(λ≥0.6)
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3.分类 由模糊等价矩阵的λ截矩阵可知,当rij=1时,i与j应 为同类,否则为异类。 让λ由大到小变化，可形成动态聚类图。
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二、最佳阀值λ的确定 对于不同的λ∈[0,1]，可得不同的分类方案，从而 形成一种动态聚类图。这对全面了解对象的分类情 况是比较形象和直观的。但有的实际问题需要选择 某个阀值λ，确定一个具体的分类，这就是确定阀 值λ的问题。 1.按实际需要确定 在动态聚类过程中，调整λ的值以得到适当的分 类。另外，也可由熟悉专业的专家确定阀值λ，得 到阀值λ水平上的分类。
(1)数量积法
1 rij 1 M
i=j
x
i 1
m
ik
x jk
i ≠j
i , j=1,2,…,n
其中 M max( xik x jk )
i j k 1
m
显然|rij|∈[0,1] ,若rij<0, 令rij’=(rij+1)/2,则rij’∈[0,1]。
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(2)夹角余弦法 见相似性度量聚类中的相似系数。 (3)相关系数法 见相似性度量聚类中的相关系数。
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为了解决模糊集的识别问题，需要一个度量模糊 集与标准模糊集靠近程度的指标，这就是下面要介 绍的隶属度和贴近度。 二、隶属度和贴近度 1.隶属度 (1)模糊向量及其内外积 若0≤ai≤1(i=1,2,…,n),则称向量a=(a1,a2,…,an)为模 糊向量。设a，b是模糊向量，则分别称:
a b (ai bi )
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定义F-统计量为:
F
j 1 nj r
n
r
j
x x
( j)
x
2
/(r 1) /(n r )
表征了类与类之 间的距离 表征类内样品间 的距离

j 1 i 1
( j) i
x
( j) 2
F越大,表明类间的差异越大,分类效果就越好。
x ( j) x
xi( j ) x ( j )
i 1 n
a b (ai bi )
i 1
n
为向量a与b内积和外积。符号 ∧和∨分别表示两 n n 表示和取大、小运算。 个元素取小和取大。i i 1 1
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例如设:
a (0.1,0.5,0,0.6), b (0.2,0,0.7,0.3)
a 0.1 0.5 0 0.6 b 0.2 0 0.7 0.3
一、数据标准化 1.原始数据 设论域U是n个被分类对象构成的集合,每个对象 又有m个描述对象特征的变量,它们的观测值构成原 始数据矩阵: 4
x11 x 21 X xn1
x1m x22 x2 m xn 2 xnm x12
2.极差正规化 求模糊矩阵时要求将数据压缩到区间[0,1]上，为 此对原始数据进行极差正规化处理。 极差是变量观测值的最大值与最小值之差，即
x j max xij min xij
1i n 1i n
( j 1,2, , m)
极差正规化是变量的每个观测值减去观测值的最 小值再除以极差。变换公式为： 5
xi j ( xi j min xi j ) / x j (i 1 , 2 , , n ; j 1 , 2 , , m)
矩阵乘法运算
矩阵○运算
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相似性度量的相关、相似系数矩阵满足自反性和 对称性，但不一定满足传递性。 对于传递性,可先计算R○R(记作R2),然后看其是否 满足传递性。若不满足,经过R○R=R2, R2○R2=R4 …运 算,可将R改造成满足传递性的模糊等价矩阵。
2.模糊等价矩阵的λ截矩阵 设R=[rij]n×n是模糊等价矩阵，对任意λ∈[0,1]，称 Rλ=[rij(λ)]n×n为R=[rij]n×n的λ截矩阵，其中:
1i n
由上可知，对原始数据正规化处理以后，变量最 大值为1，最小值为0，即新数据在区间[0,1]内。
二、模糊相似矩阵 模糊相似矩阵是进行模糊聚类的基础。下面介 绍建立模糊相似矩阵的常用方法。
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矢量或点: Xj=(xj1 xj2 … xjm) Xi=(xi1 xi2 … xim)
1.相似系数法
k 1 k 1 m
ik
x jk ) 0.1 0.2 0.3 0.6 x jk ) 0.1 0.2 0.3 0.6 r12 0.6 / 0.6 1.0
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ik
(5)算术平均最小法
rij 2 ( xik x jk ) / ( xik x jk )
0.27 0.30 0.68 0.62 1.00 0.69
0.22 0.25 0.56 0.59 0.69 1.00
将R中≥0.6的元素改为1,其它元素改为0
1.00 1.00 0.00 RR= 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00
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(6)几何平均最小法
rij ( xik x jk ) / xik x jk
k 1 k 1 m m
(i, j 1,2,, n)
x1 (0.1 0.2 0.3) x2 (0.1 0.2 0.3)
(x
k 1 m
m
ik
x jk ) 0.1 0.2 0.3 0.6
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2.用F-统计量确定λ的最佳值
设对应于λ的分类数为r，第j类的样品数为nj , j类 ( j) ( j) 的样本记为: x1( j ) , x2 ,, xn
j
( j) ( j) 第j类的聚类中心为向量: x ( j ) ( x1( j ) , x2 ,, xm )
第j类中第k个变量的平均值: x
②有待识别归类的对象，并且它所属的类必然是 若干标准模型之一。 22
对于这类模型识别问题，可据模型的界线对待识 别对象进行归类，是标准集对标准集的识别。
2. 模糊模型识别
模糊模型识别是指标准模型库中的模型是模糊的 (模型间没有明显的界线)。如据电测或气测资料,建 立的储层含油气性(油层、油气层、油水同层、气 层、含水油层、干层等)标准模型库,又如由不同沉 积相岩样观测值构成的岩样标准模型库,它们中的 模型都是模糊的。因此,根据测井信息或者岩样的 观测值判断钻穿储层的含油气性、岩样的沉积相是 一个模糊集对标准模糊集的识别问题。
( j) 2 ( x x ) k k 为: x k 1 m
( j)
与 x 的距离。
为第j类中样品 xi( j ) 与 x ( j ) 的距离。
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F服从自由度为r-1，n-r的F分布。
假设各类差异不明显，对于给定的检验水平 α，
查 Fα(r-1, n-r) 分布表，得临界值 Fα ，若 F>Fα, 则认
i=j
i ≠j i , j=1,2,…,n
适当选取M，使得0≤rij≤1。 (2)欧氏距离 见相似性度量聚类中的相似系数。
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(3)切比雪夫距离
dij xik x jk
k 1
m
Baidu Nhomakorabea
(i, j 1,2,, n)
建立模糊相似矩阵的其他方法,就不再介绍了。 三、聚类
1.模糊等价矩阵 给定U上的一个模糊关系Rij=[rij]n×n, 若它满足: (1)自反性(rij=1 )； (2)对称性(rij=rji )； (3)传递性( R R R )； 则称R是U上的一个模糊等价矩阵。
k 1 m k 1 m
m
ik
x jk ) 0.1 0.2 0.3 0.6 x jk ) 0.4 0.5 0.6 1.5 r12 0.6 / 1.5 0.4
ik
x1 (0.1 0.2 0.3) x2 (0.1 0.2 0.3)
(x (x
为各类之间有明显的差异。
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§2 模糊模型识别
一、基本概念 1. 模型识别
简单讲,模型识别就是根据研究对象具有的某些 特征对其进行识别并归类。如采集的植物标本识别 它属于哪个纲目;又如拨打电话号码识别对应的电 话机。这种模型识别具有2个本质的特征:
①事先已知若干标准模型(称为标准模型库), 模 型具有明显的界线;
0.1 0 0 0.3
0.1 0.5 0.2 0 0 0.6
0.7 0.3
0.2 0.5 0.7 0.6
取大→0.3
a b 0 .3
取小→0.2
a b 0.2
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(2)模糊向量集合族 ~ ~ ~ 设 A1, A2 ,, An是论域U上的n个模糊子集，称以模 ~ ~ ~ 糊集 A1, A2 ,, An为分量的模糊向量为模糊向量集合族, 记为: ~ ~ ~ ~
2
1965年美国控制论专家 L.A.Zadeh 提出这一概 念后，模糊数学得到迅速发展并应用到各个领域， 地学种主要用于矿产资源评价，各种地质现象的分 类、识别、决策和模拟。
在此介绍油气勘探中常用的模糊聚类分析和模糊 识别。
3
§1 模糊聚类分析
模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上，对 分类对象进行定量分类的方法。 主要内容 数据标准化 建立模糊相似矩阵 动态聚类
第十一章 模糊数学方法及其应用
§1 模糊聚类分析(参考内容) §2 模糊模型识别(参考内容)
1
前言
模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性” 现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异 的中间过渡界线的“不分明性”。如储层的含油气 性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭 的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定 义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可 以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数 值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进 行推断或识别。
r
( ) ij
1, rij 0 , rij
15
R=
1.00 0.89 0.42 0.41 0.27 0.22
0.89 1.00 0.46 0.45 0.30 0.25
0.42 0.46 1.00 0.77 0.68 0.56
0.41 0.45 0.77 1.00 0.62 0.59