线性代数第5章 矩阵的特征值与矩阵的对角化
线性代数第五章特征值和特征向量矩阵的对角化
(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值
特征向量保持不变
10
证：(2)∵AX=X A(AX)=A(X) =(AX)=(X)
A2X=2X
再继续施行上述步骤m2次,就得
AmX=mX m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于 m的特征向量.
(4)当A可逆时, 0 ∵AX=X A1(AX)=A1(X) =A1X
1
1
1
1
3 2
3 1
3
3
1 3
2 3
5100 2
1 3
5100
5100
1 1
5100 1 5100 2 5100 1
5100 1 5100 1 5100 2
33
5.3 实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵特征值的相关性质 2.求正交矩阵的方法
34
共轭矩阵 如果A=(aij)为复矩阵时,用 aij 表示aij的
1=5: 解方程组 (5IA)X=0
4 2 2 1 0 1 5IA= 2 4 2 →0 1 1
2 2 4 0 0 0
1 基础解系: P1 1
1
对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10)
2=3= 1 : 解方程组 (IA)X=0
2 2 2 1 1 1 IA= 2 2 2 →0 0 0
k11+k22=0 (2) (2)2(1)k1(12)=0 ∵12 ,0 ∴k1=0 同理可得k2=0
∴与线性无关
推广 设1,2,,r是矩阵A的对应于不同特 征值1,2,,r的特征向量,则1,2,,r线性
无关.
定理 如果1,2,,r是矩阵A的不同特征值, 而(i=1i,12,,i2,,r)的, 线是性ikAi无的关对的应特于征特向征量值,则i向量组 也11线,性12,无,关1.k1,21,22,, 2k2,,r1,r2,,rkr
线性代数居余马第5章 特征值与特征向量
5.1.2 特征值和特征向量的性质
定理5.1 若x1, x2 是A属于λ0的两个的特征向量，则 定理 k1x1+ k2x2也是A属于λ0的特征向量(其中 k1, k2是任意常数， 但 k1x1+ k2x2 ≠0 )。 证： x1，x2 是齐次线性方程组(λI− A) x=0的解，所以， ， ， k1x1+ k2x2 也是(λI− A) x=0 的解，故当 k1x1+ k2x2 ≠0 时，也是A的属于λ0 的特征向量。 (λ I− A) x=0的解空间 解空间称为A的关于λ的特征子空间 特征子空间，记作Vλ 。 解空间 特征子空间 dimVλ=n −r (λI− A)
λ1 λ2 A( x1 , x2 ,L, xn ) = ( x1 , x2 ,L, xn ) O λn
(1)
(2)
得
A xj = λj x j ( xj≠0, j=1,2,L,n)
(3)
即x1, x2,L, xn是A的n个线性无关的特征向量(因为P可逆，所以 x1, x2,L, xn线性无关)。必要性得证。
性质2 性质 矩阵A和AT的特征值相同。 证： det(λI− A) =det (λ I − A)T = det ((λ I)T−AT)= det (λ I − A T) *定理 定理5.3 设A是n阶矩阵，若 定理
∑a
i =1
n
ij
< 1 ( j = 1, 2 , L , n )
∑a
j =1
n
ij
i =1 i =1
− a12 L − a1n − a22 L − a2 n = ( −1) n A , 即 c = ( −1) n A n L L L − an 2 L − ann
线性代数知识点总结(第5章)
线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。
|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λi E-A）≤k i（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第四节 对称矩阵的对角化
矩阵因 PA ,对使称P,因-故1AAP 对= 称,,其故中 是以 A 的 n 个特征
值为对角1p1元T =素(的1对p1p)角T1T=矩=(阵A(p.11p)1T)T= =p1(TAApT1)=T p=1TpA1TA, T = p1TA
于是证明从略于.是
1 p1Tp2 = p11TpA1pT2p2==p1pT1(TA2p2 =) =p1T2(p21pTp2 2) ,= 2 p1Tp
的基础解系, 设为 pi1 , pi2 , , pini
( i = 1, 2, ···, s). 并把它们正交化、单位化，仍记
为 pi1 , pi2 , , pini ，以这些向量为列构
造矩阵
P ( p11,p12,, p1n1,p21,p22,, p2n2 ,, ps1,ps2,,psns ),
1
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
单击这里求特征多项式
3 2 0
|A E| 2 2 2
0 2 1
例 18
设
A
A0101010111
1 1,
,
1 1 1 1 00
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
方法评单注击这里求特征多项式
角矩阵 矩=角阵di矩aPg阵(,使1,矩P·=·-·阵1d,AiaPPng)=(,相使1似,,P··其，-·1,A中从Pn而)=相是A似-以 , 其，AE中从的而n是A个-以 与 - E值=与为di对ag角-(元1E-值素=为的d, i·对·a对·g,角(角n元1矩-素阵)的,.相··对·似, 角.n矩-当阵).相似. 当 是 A 的 k 重是特A征的值时 k 重，特1征, ·值··,时n，这1n, 个···特, 征n 这 n 个特
线性代数 第五章第三节 实对称矩阵的对角化
a x 0 ,即
T 1
x1 x 2 x 3 0.
它的基础解系为 1 0 1 0 , 2 1 . 1 1
把基础解系正交化，即为所求．即取
a2 1, a3 2
[ 1 , 2 ] [ 1 , 1 ]
1
1.
其中 : [ , ] 1, [ , ] 2 , 于是得
1 2 1
0 1 1 1 1 1 a 2 0 , a3 1 0 2 . 2 2 1 1 1 1
线性性
2 2
( k i i , )
i 1
m
( 4 )( , ) 0
( 5 )( 0 , ) 0
定义：实数
正定性 等号成立当且仅当 0
k
i 1
m
i
( i , )
( , )
a1 a 2 a n
2
称为向量的长度（或模，或范数）
1
Q , Q 1 ，或 1 。
T
例3 设Q ( 1 , 2 , , n )是n阶实矩阵，则 Q 是正交矩阵的充分必要 条件是 1 , 2 , , n 是 R
n1
的规范正交基。
证明：Q是n阶实矩阵， Q是正交矩阵 Q Q QQ
T T
E Q QE
T
(方阵可逆的性质)
T 1 T 2 T E Q Q T n
( 1 2 n )
T i
T 1 1 T 2 1 T n 1
线性代数重点知识总结
说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。
2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。
3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。
第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。
2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。
总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。
第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。
2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。
4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。
5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。
第三章 线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。
2020-2021学年线性代数之矩阵的相似对角化例题
4
-
1 2
1 6
(2) 取 Q 1, 2, 3
1 2
0
1 6
-2 6
1 3
1 , 使 Q1AQ .
3 1 3
(3)
Ak
Pk P1
1 P
1
P
1
4k
或 Ak QkQ1 QkQT
▲ 结论：设 是 n 阶方阵 A 的特征值 . 则：
(1)
f
()
amm
a m1 m1
a1
a0 是
f ( A) am Am am1Am1 a1A a0E
的特征值，特征向量 与 A 相同 .
(2)
( )
amm
a m1 m1
a1
a0
a
是
( A) am Am am1Am1 a1A a0E aA1
§2. 相似矩阵
例1：设
A
3 1
31
(1) A 是否能相似对角化? 若能, 求出相似变换矩阵P. (2) 求 A10.
解: (1) A 的特征值为 1 2, 2 4 A 可以相似对角化
1 2 时, 对应特征向量为x1 11; 2 4 时, 对应特征向量为x2 11
则取 P (x1, x2 ) 11
则 A* 3A 2E (A) 9
例5：设 A 是 n 阶矩阵，证明： (1) 若 A2 A ，则 A 的特征值是 1 或 0； (2) 若 A2 E ，则 A 的特征值是 1 或 -1； (3) 若 A 是正交矩阵，则 A 的特征值是 1 或 -1。
证明: 设 是 A 的特征值，则
(1) 2 1或 0 . (2) 2 1 1 . (3) A-1 AT 1 1.
(2)
线性代数 第五章 相似矩阵与二次型 第3节
又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值.
推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 diag(1, 2,n )
相似 则 1 ,2 ,,n 是A 的n 个特征值。
三、相似变换矩阵的求法
问题：
对一个 n 阶方阵 A，是否存在相似变换
1
矩阵
P,
使
P 1 AP
2Байду номын сангаас
求特征向量 将 1 5 代入 (E - A)X 0
得
42xx1 124xx2 222xx3 300
解得特征向量
1 X11 1
2x1 2x2 4x3 0
1
再将 2 1 代入 (E - A)X 0
得
2 x1 2 x1
2x2 2x2
2x3 2x3
0 0
2 x1 2x2 2x3 0
于是有 Api i pi i 1,2,, n.
可见 i 是A的特征值,而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量.
反之, 如果 n 阶方阵 A 有n 个线性无关的特征向量 P1, P2 ,, Pn 满足 APi iPi , i 1,2,, n
那么令 P (P1, P2 ,, Pn ) 则 P 可逆，且 P 1 AP diag(1 ,2 ,n )
1
则A有3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角化.
例设
1 A 2
2 1
2 2
判断A是否可以对角化，
2
2
1
若可以对角化，求出可逆阵P，
使得 P 1 AP 为对角阵，并求 A100
解 （1）求特征值 1 2 2
E A 2 1 2 5 12
2 2 1
解得 : 1 5, 2 3 1
线性代数第五章第二节 矩阵可对角化的条件(2014版)
a 3
2 3
b 3
1 1 1
此时
A
2E
0 0
0 0
0 0
则方程组 (A 2E)x 0 的基础解系为
1 1
p1
1 0
,
p2
0 1
A的另一特征值 3 1 4 5 2 2 6
5 1 1
A
6E
2 3
2 3
21
1
0
1
3
0 1 2
3
0
0
0
1
方程组(A
-
6E)
这是一个复杂的问题上面仅对有n个线性无关特征向量的n阶方阵作了回答而一般方阵问题较困难故我们不作一般讨论下面仅对实对称矩阵加以讨把一个矩阵化为对角阵不仅可以使矩阵运算简化而且在理论和应用上都有意义
§5.2 矩阵可对角化的条件
若方阵A与对角阵相似，则称A可对角化.
n阶方阵A是否与对角阵=diag(1, 2,···, n )相似,
1 1 0
0
1 0 1 0
2k 2k
1
1
3
1
1
4 1 1 3 1
1 0
0
1
2k
1
1
1
3
2k E, 当k为偶数
2k1 A,
. 当k为奇数
（4）由特征值与特征向量的性质可得，f(A)的特征值
为 f (1) f (2) (2)3 2 (2) 5 1 f (2) f (3) f (4) f (2) (2)3 2 2 5 9. 且f(A) 的与特征值 f (i ) 对应的特征向量仍然为
取 pi (i 1, 2,3, 4.)
1 1 1 1 1
P
(
5对称矩阵的对角化
其中对角矩阵的对角元素含r1 个1 , ,rs 个s ,恰
是A的n个特征值.用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
理4.8( 如上)可得：
4
r 对应特征值 ( i 1,2, ,s ),恰有 个线性无
i
i
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri 个
单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs n知,
这样的特征向量共可得 n 个.
由定理4.7知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这 n 个单位特征向量两两正交.
7
对 1 2,解A 2Ex 0,由
2 0 0 1 0 0 A 2E 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0
得基础解系
0
1 1
1
8
对 2 3 4 ,解A 4 E x 0 ,由
0 0 0 0 1 - 1 A 4E 0 -1 1 0 0 0
（4）若Ａ为ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵Ｐ，使得
P1AP
12
2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 1. 求A的特征值;
2. 由A i E x 0 ,求 出A的 特 征 向 量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
13
思考题
设n阶实对称矩阵A满足A2 A,且A的秩为r,
定 理4.9 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P ,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值 为 对角 元
素 的 对 角 矩 阵.
证明 设A的互不相等的特征值为 1,2 , ,s ,
矩阵的特征多项式与对角化认识矩阵的特征多项式与对角化的计算方法
矩阵的特征多项式与对角化认识矩阵的特征多项式与对角化的计算方法矩阵是线性代数中重要的概念，我们经常会遇到矩阵的特征多项式与对角化的计算问题。
本文将从理论与计算两个方面对矩阵的特征多项式和对角化进行深入探讨。
一、特征多项式特征多项式是矩阵的一个重要性质，它能帮助我们求解矩阵的特征值和特征向量。
给定一个n阶矩阵A，我们可以定义其特征多项式为：P(λ) = |A - λI|其中，λ是一个变量，I为n阶单位矩阵。
我们可以将特征多项式展开，得到一个关于λ的多项式，通常称之为特征方程。
特征多项式的计算方法有很多种，最常用的是行列式的方法。
我们可以将矩阵A减去λI，然后求其行列式，得到特征多项式。
特征多项式的阶数为n，根据代数基本定理，特征多项式总共有n个根，也就是说特征多项式的所有根就是矩阵的特征值。
二、对角化对角化是线性代数中一个重要的概念，对角化能够将一个矩阵转化为一个对角矩阵，从而简化矩阵的计算。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1 * A * P = D，其中D为对角矩阵，那么我们称矩阵A是可对角化的。
对角化的计算方法有很多种，其中最常用的是特征向量的方法。
当一个矩阵A是可对角化的时候，我们可以通过求解特征向量来计算对角矩阵D和可逆矩阵P。
首先，我们需要求解矩阵A的特征向量，然后将特征向量组成一个矩阵P，特征向量按列排列成矩阵P的列向量。
接着，我们将特征向量按照特征值的顺序排列，组成对角矩阵D。
最后，我们可以得到可逆矩阵P = [v1, v2, ..., vn]，使得P^-1 * A * P = D。
需要注意的是，并非所有的矩阵都可以被对角化，只有满足一定条件的矩阵才能进行对角化操作。
对角化的条件主要包括：矩阵可逆、矩阵特征值互不相等、特征向量线性无关等。
结论本文详细介绍了矩阵的特征多项式与对角化的认识以及计算方法。
特征多项式是矩阵特征值和特征向量的关键，通过计算特征多项式可以获得矩阵的特征值。
线性代数 5-2矩阵相似对角化
数学科学学院 陈建华
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4.2 矩阵相似对角化
• 相似矩阵 • 矩阵可对角化条件 • 矩阵对角化的应用 • 实对称矩阵特征值和特征向量的性质 • 实对称矩阵的对角化
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一、相似矩阵
引例
⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ,A = ⎜ , B =⎜ , 设 P =⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ −1 2 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 0 1⎠
| AB + A − B − E |=| ( A − E )( B + E ) |=| A − E || B + E | =| A − E || A + E |=| A2 − E |=| E |= 1
例2 设n阶矩阵A,B ,则下列结论正确的是（ ） (A) 矩阵A,B有相同的特征值，则它们相似 (B) 矩阵A的非零特征值个数与它的秩相等 (C) 若矩阵A,B相似，则它们与同一个对角形矩阵相似 (D) 若A 可对角化，且A,B相似，则它们与同一个对角形矩阵相似
⎛ λ1 ⎜ λ2 ⎜ = ( α 1 , α 2 ,⋯ , α n ) ⎜ ⎜ ⎝
PΛ
AP = P Λ ⇒ P −1 AP = Λ
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⇒
P AP = Λ ⇒ AP = P Λ
⎛ λ1 ⎜ ⎜ α , α , , α ⋯ ( ) n = 1 2 ⎜ ⎜ ⎝
−1
P = (α1 , α 2 ,⋯ , α n )
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α1 , α 2 分别是矩阵A 的属 例3.已知A是 3 阶方阵， -1 和1的特征向量，Aα 3 = α 2 + α 3 证明： 于特征值 于特征值-1 -1和
线性代数第5章 特征值及特征向量
A 123 2, A A A1 2 A1
( A) A 3 A 2 E 2 A1 3 A 2 E
的三个特征值为 (i ) 21 3i 2 ( i 1,2,3) i 计算得 (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 3
B 的特征值为 1 3, 2 3 3
对于 1 3 ，解方程组 (1 E B ) x 0
4 2 2 1 0 1 1 E B 3 E B 3 4 1 0 1 1 2 2 4 0 0 0
解 (1) a+2+2=4+1+1 |A|=4*1*1 (2) |A-4E|=0
|A-2E|=0
a 2 . b 1 a 3 . b 0
4 40 a 2 2 a 0 b 1 3 b 0
的特征值。
例1
解
设n阶方阵A有n个特征值1，2，….，n，求|A+3E|.
则 设A有特征值 ， A 3E
3
所以，A+3E的特征值： 4，5，…..，n+3
(n 3)! | A 3E | 3!
例2 设3阶矩阵A的三个特征值为 1,1,2
求 A 3 A 2 E 解 A的特征值全不为零，故A可逆。
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
若数 和 n维非零列向量 X，使得
注意
AX X 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值， X 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。 （1） A 是方阵
线性代数第五章特征值
第六节 用配方法化二次型成标准形
第七节 正定二次型
常见问题
1.将线性无关向量组化为正交单位向量组 2.求方阵的特征值与特征向量
3.已知A的特征值，求A的“多项式”的特征值 和行列式
4.方阵的对角化（WHEN & HOW） 5.对称阵的正交对角化 6.二次型的矩阵、秩、标准形、规范形、正惯性 指数、正定性 7.矩阵的相似、正交阵、正定性
线性代数
孙 志 人 南京师范大学计算机学院 二Ο一二年十二月廿八日
§7 正定二次型
一、惯性定理 二、正(负)定二次型的概念 三、正(负)定二次型的判别 四、小结、思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
则 y C x 0,
故
i -1
f x f Cy ki yi2 .
n
x ki yi2 0. f
n i 1
必要性
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量) 时,
f Ces k s 0.
. 显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾
的秩为 . 2．设 A 为 n 阶方阵, 且 det A 2, 则
2 1．二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 xx1 4 x1 x2 2 x1 x3
1 1 det ( A) A . 3 2 0 0 1 0 0 3．已知矩阵A 2 x 2 与B 0 2 0 相似, 3 1 1 0 0 y 则x ,y .
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特征向量为 kp1 (k 0)
为
x1 x2
x3 0
0
即
x1 x2
x3 0
对 2 3 2 ，解 方程组
取 x3 为自由未知量，并令 x3 =c
x1 则 x2
x3
c 0 即 c
x1 x2 x3
1
c
10
取
p1
1 0 1
而
(A 2E)x 0
4
A
2E
0
1 0
1 0
P的列向量组 p1, p2 ,..., pn 就是与特征值 1,2 ,...,n 相对应
的A的线性无关特征向量。
推论. 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值，则A相 似于对角阵。
若A可对角化，求对角阵及相似变换矩阵P的方法，如下：
（1）求出A的全部特征值 1,2 ,...,n ，得到对角阵的 主对角线上的元素。
1 0
同解方程组为 x1 x2 0 ，取基础解系为 p2 (1,1)T , 取
则有
1
P
(
p1 ,
p2
)
2
1
1 1
1 2 A 4 3
P1 AP
5 0
0 1
23
第三节 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵的对角化 相关示例
一. 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵总是可以对角化的，且相似变换矩阵 可取为正交矩阵。
特征向量在中的位置要相对应，即对角阵中第i行j列的特 征值i ，相应的特征向量 pi 应位于P中的第i列。
二. 相关示例
例.
设
A
1 4
2 3
求P，使 P1AP为对角矩阵。
解：（1）求A的特征值及相应的线性无关特征向量。
A E 1 2 2 4 5 ( 5)( 1) 4 3
A为二阶矩阵，有两个不同特征值 1 5,2 1
( ) a0 m a1 m1 ... am1 am
（其中 a0 ,a1,...,am 为数，E为单位矩阵，可认为E A0） (iii) 若A可逆，则 A1 有特征值 1 1 注：当可逆时，由性质2(iii)可知，性质2(i)中的为
负整数时也成立，性质2(ii)中某些项含有的负整数幂时也 成立。
（2）求出A的与1,2 ,...,n相应的线性无关特征向量 p1, p2 ,..., pn ，则 P ( p1, p2 ,..., pn ) 就是相似变换矩阵。
并且有
1 0 ... 0
P 1
AP
0
2
...
0
... ... ... ...
0
0
...
n
应当注意：特征值在对角阵中排列的顺序与相应的
r1 (1) r2 3
1 0
1 1
1
0
r3 4r1
1 0
1 1
1
0
4 1 4
0 3 0
r1 r2 r3 3r2
1 0 0
0 1 0
1
0
0
2 1 1
A
0
2 0
4 1 3
1 0 1
0 1
0
0 0 0
R( A E) 2 ，基础解系含
故对应于1 1的全部
3－2=1个向量，同解方程组
则
x1 1
x2 c1
x3
c2
4 c1 1
4 c2
即
x1 1 4 1 4
x2 x3
c1
1 0
c2 A
02 01
1 2
1 0
Байду номын сангаас
取 p2 1 4, 1, 0T , p3 1 4, 0, 1T
4 1 3
故相应于2 3 2的所有特征向量为 k2 p2 k3 p3（k1, k2不同时为0）
第5章 矩阵的特征值与矩阵的对角化
第一节 矩阵的特征值和特征向量
方阵的特征值和特征向量 有关示例和性质
一. 方阵的特征值和特征向量 定义1. 设A为n阶矩阵，如果有数 及n维列向量
0使得关系式
A
（1）
成立，则称 为A的特征值， 称为A的对应于特征值
的特征向量。
（1）式可写成
( A E) 0
0 1
1 1
0 0 0
1 2 r1
1 0
0 1
1 2 2
1A
2
2 2 5 4
0 0 0 2 4 5
同解方程组为
令 1 0 1 2
x1
1
x2
2
x3
x3 0
0
基础解系为
3
(
1 2
, 1,1)T
单位化得
0 1
1
0 0 0
2
5
P
(
p1 ,
p2
,
p3
)
1 5
0
2 45
1 3
n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。
定理4. 设A是n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵 P，使得
1 0 ... 0
P1AP
PT AP
0
2
...
0
... ... ... ...
0
0
...
n
其中1,2 ,...,n 是A的全部特征值（是实数）。而
P ( p1, p2 ,..., pn )
这表明齐次线性方程组
(A E)x 0
（2）
有非零解 x
(A E)x 0
（2）
方程组（2）是n个方程n个未知数的齐次线性方程 组，它有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于0， 即
AE 0
设 A (aij )nn ，则（3）式成为
a11 a12 ...
a21 a22 ...
...
4 45
2 3
5 2
45 3
p3
3 3
则P为正交矩阵，使得 1 0 0
( 1 , 2 , 2 )T 3 33
P 1 AP 0 1
0
0 0 10
作业
P111：习题5.1 P115：习题5.2 P120：习题5.3
1.(1) 1.(4) 2.(1)
定理1. 实对称矩阵的特征值为实数。
定理2. 设 1,2 是实对称矩阵A的两个特征值， p1, p2是相应的特征向量。若 1 2 ，则 p1与p2 正交。
实对称矩阵对应于不同的特征值的特征向量必正交。
定理3. 设A为实对称矩阵，如果 0 是特征方程 AE 0
的k重根，则相应于0 的特征向量中恰有k个是线性无关的。
(ii)对每个特征值 i ，解齐次线性方程组 ( A i E)x 0
其非零解就是相应于 i 的A的特征向量。
二. 有关示例和性质 求下列矩阵的特征值和特征向量：
2 1 1
A
0
2 0
4 1 3
2 1 1 解：（1） A E 0 2 0
4 1 3
2 1 1
A
0
2 0
4 1 3
定理. 设方阵A有m个互不相等的特征值 1,2 ,...,m , 则相应于这些特征值的特征向量 p1, p2 ,..., pm 必线性无关。
14
15
第二节 相似矩阵与矩阵的对角化
矩阵的相似和对角化 相关示例
一. 矩阵的相似和对角化 定义. 设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使
P1AP B
（4）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们都 可逆时，它们的逆矩阵也相似.
定理. n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件
是A具有n个线性无关的特征向量。并且当
1 0 ... 0
P
1 AP
0
2
...
0
... ... ... ...
0
0
...
n
时，对角阵的对角元素 1,2 ,...,n 就是A的全部特征值，
2 AE 2
2
2
5
4
2 4
5
r3 r2
2
2 0
2
5 1
2 4
1
r3
(1
)
(1
)
2
2
2
5
2 4
0 11
c2 c3
2 (1 ) 2
4
9
2 4
0 01
2 2 2
A
2
5 4
2 4 5
2 4 2 (1 ) 2 9 4
0 01
2 2 2
A
2
5 4
2 4 5
2 (1 )
故A可对角化。
1
5
时，解方程组 (
A
5E)x
0
: 1
A
1 4
2 3
A 5E
4
4
2 r2 r1 2 2 r1 (2) 0
1
0
2 r1
1 1 2
0
0
同解方程组为
x1
1
2
x2
0
，即基础解系为 1
p1 ( 2 ,1)T
2 1时，解方程组 ( A E)x 0 :
A
E
2 4
2 r2 2r1 1 4 r1 2 0
2 1 (2 )
4 3 (2 )( 2 2)
( 1)( 2)2
矩阵A的特征值为 1 1,2 3 2 对于 1 1，解方程组
[ A (1)E]x 0
即
(A E)x 0
2 1 1 1 0 0 1 1 1
A
E
0
2
0 0
1
0
0
3 0
4 1 3 0 0 1 4 1 4
（1）
则称A与B相似，记作 A B，（1）式称为由A到B的相