高三理科数学第一次模拟试题及答案

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高三数学第一次模拟测试试题理含解析试题

2021届高三数学第一次模拟测试试题理〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.设z =-3+2i ，那么在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】先求出一共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--那么32,z i =--对应点〔-3，-2〕位于第三象限．应选C ．【点睛】此题考点为一共轭复数，为根底题目．2.设集合{}22|560,{|10}A x x x B x x =-+>=-<，那么A B =〔〕A. (,1]-∞B. (1,1)-C. (,1)-∞-D. (,1)(3,)-∞-+∞【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A 和B ，再求AB 得解.【详解】由题得{}2|560{|3A x x x x x =-+>=>或者2}x <，{|11}B x x =-<<，所以A B =(1,1)-.应选：B【点睛】此题主要考察集合的化简和运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度. 3.某组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)[)[)20404060608080100，，，，，，，.假设低于60分的人数是15人，那么该班的学生人数是〔〕A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】B 【解析】【分析】根据频率分布直方图求得低于60分的人所占的比例再求解总人数即可. 【详解】易得低于60分的人所占的比例为()200.0050.010.3⨯+=. 故该班的学生人数是15=500.3人. 应选：B【点睛】此题主要考察了频率分布直方图的应用,属于根底题型.0m n <<，那么以下结论正确的选项是〔〕A. 22m n >B. 0.50.5m n <C. 22log log m n >D. 0.50.5log log m n >【答案】D 【解析】试题分析：对于A,考察指数函数2xy =为增函数,所以22mn ,A 错误；对于B,考察指数函数0.5xy =为减函数,所以0.50.5m n >,B 错误；对于C,考察对数函数2log y x =在定义域上为增函数,所以22log log m n ,C 错误；对于D,考察对数函数0.5log y x =在定义域上为减函数,所以0.50.5log log m n >,D 正确.选D.考点：指数函数、对数函数的单调性.5.关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有以下三个正确的判断：①假设甲未被录取，那么乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者者甲未被录取，或者者乙被录取.那么三人中被录取的是〔〕 A. 甲 B. 丙 C. 甲与丙 D. 甲与乙【答案】D 【解析】【分析】分别就三人各自被录取进展分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】假设甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即假设乙、丙未全被录取，那么甲被录取，命题②成立，那么乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，那么乙被录取，三个命题能同时成立；假设乙被录取，命题②成立，那么丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即假设乙、丙未全被录取，那么甲被录取，三个命题能同时成立；假设丙被录取，命题②成立，那么乙未被录取，命题③成立，那么甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立. 综上所述，甲与乙被录取. 应选：D.【点睛】此题考察合情推理，考察分类讨论思想的应用，属于中等题.6.向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，假设()()m n m n +⊥-，那么λ=〔〕 A. 4- B. 3-C. 2-D. 1-【答案】B 【解析】【详解】∵()()m n m n +⊥-，∴()()0m n m n +⋅-=. ∴，即22(1)1[(2)4]0λλ++-++=，∴3λ=-,，应选B. 【考点定位】向量的坐标运算【此处有视频，请去附件查看】7.()0,απ∈，2sin 2cos21αα=-，那么sin α=( )A.15C.【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的平方关系可求出sin α的值. 【详解】()0,απ∈，sin 0α∴>，2sin 2cos21αα=-，即()24sin cos 12sin 1ααα=--，整理得1cos sin 2αα=-，所以221cos sin 2cos sin 1sin 0ααααα⎧=-⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，解得sin 5α=.应选：D.【点睛】此题考察利用同角三角函数的根本关系和二倍角公式求值，在解题时要结合角的取值范围判断所求值的符号，考察计算才能，属于中等题.8.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩，给出以下四个命题： ①该函数的值域为[]1,1-； ②当且仅当()22x k k Z ππ=+∈时，该函数获得最大值；③该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当()3222k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <. 上述命题中正确命题的个数为〔〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题③的正误；作出函数()y f x =在区间[]0,2π上的图象，结合该函数的周期可判断命题①②④的正误.综合可得出结论. 【详解】由题意可知(){}max sin ,cos f x x x =，对于命题③，3max sin ,cos 3332f πππ⎛⎫⎧⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，4441max sin ,cos 3332f πππ⎛⎫⎧⎫==-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，那么433f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()y f x =不是以π为周期的周期函数，命题③错误；由于()()(){}{}()2max sin 2,cos 2max sin ,cos f x x x x x f x πππ+=++==，所以，函数()y f x =是以2π为周期的周期函数.作出函数()y f x =在区间[]0,2π上的图象如以下图〔实线局部〕所示：由图象可知，该函数的值域为22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，命题①错误；当()2x k k Z π=∈或者()22x k k Z ππ=+∈时，该函数获得最大值，命题②错误；当且仅当()3222k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <，命题④正确. 应选：A.【点睛】此题考察有关三角函数根本性质的判断，作出函数的图象是关键，考察数形结合思想的应用，属于中等题. 9.偶函数()2f x π+，当(,)22x ππ∈-时，13()sin f x x x =+．设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，那么〔〕 A. a b c << B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】【详解】因为函数2f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数，所以ππ()()22f x f x -+=+，即函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，即()(2π)f x f x =-，又因为当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()13sin f x x x =+，所以函数()f x在(,)22ππ-上单调递增，在π3π(,)22上单调递减，因为213π<-<，所以(2)(π1)(1)(3)f f f f >-=>，即b a c >>；应选D.10.0m >，0n >，假设直线()()1120m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，那么m n+的取值范围为〔〕A. )2⎡++∞⎣B. )2,⎡+∞⎣C. 2,2⎡+⎣D. (0,2+【答案】A 【解析】【分析】1=，化简得出1m n mn ++=，利用根本不等式可得出关于m n +的二次不等式，结合0m n +>可求出m n +的取值范围.【详解】将圆的方程化为HY 方程得()()22111x y -+-=，该圆的圆心坐标为()1,1，半径为1，由于直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，1=，化简得1m n mn ++=，由根本不等式可得212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，即()()2440m n m n +-+-≥，当且仅当m n =时，等号成立，0m >，0n >，0m n ∴+>，解得2m n +≥+因此，m n +的取值范围是)2⎡++∞⎣. 应选：A.【点睛】此题考察利用直线与圆相切求参数的取值范围，解题的关键就是利用根本不等式构造不等式求解，考察运算求解才能，属于中等题.11.设12,F F 分别为双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于,M N 两点，且满足120MAN ∠=，那么该双曲线的离心率为〔〕A. 3C.23【答案】A 【解析】【分析】先求出M ，N 的坐标，再利用余弦定理，求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】设以12F F 为直径的圆与渐近线by x a=相交于点M 的坐标为0(x ，00)(0)y x >，根据对称性得N 点的坐标为0(x -，0)y -，∴0022200b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩；解得(,)M a b ，(,)N a b --；又(,0)A a -，且120MAN ∠=︒，∴由余弦定理得222224()cos c a a b b b =+++-120︒，化简得2273a c =， c e a ∴==应选：A ．【点睛】此题考察了双曲线的HY 方程与几何性质的应用问题，解题时应熟记它的几何性质是什么，属于根底题．12.定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，假设当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，那么实数m 的取值范围是〔〕A. []2,3B. []1,3C. []1,4D. []2,4【解析】【分析】先将不等式转化为函数最值问题，再根据函数解析式以及单调性求对应函数最值，最后解不等式得结果.【详解】因为当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，所以()2min 142m f x m ≥-+，当[)[)4,2,40,2x x ∈--+∈时，()()()112424f x f x f x =+=+ ()()[)[)2342144,40,1411,41,242x x x x x +-⎧⎡⎤+-++∈⎪⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩当[)40,1x +∈时，()()()211114444416f x x x ⎡⎤=+-+≥-⨯=-⎣⎦，当[)41,2x +∈时，()342111424x f x +-⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭，因此当[)4,2x ∈--时，()2min1113442m f x m m =-≥-+∴≤≤，选B. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数别离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上详细的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意别离参数法不是万能的，假如别离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用别离参数法.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13.曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 【答案】y=2x ﹣e 【解析】'ln 1y x =+，'|ln 12x e y e ==+=，所以切线方程为2()y e x e -=-，化简得20x y e --=.14.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，假设1AB AC ==，12AA =，120BAC ∠=，那么此球的外表积等于__________. 【答案】8π 【解析】由题意可知，直三棱柱111ABC A B C -的高为1h AA =，利用正弦定理求出ABC ∆的外接圆半径r ，然后利用公式222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出该直三棱柱的外接球半径R ，最后利用球体的外表积公式即可计算出该球的外表积.【详解】由题意可知，直三棱柱111ABC A B C -的高为12h AA ==，在ABC ∆中，1AB AC ==，那么该三角形为等腰三角形，又120BAC ∠=，30ABC ∴∠=，设ABC ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理得122sin sin 30AC r ABC ===∠，1r ∴=.设直三棱柱111ABC A B C -的外接球半径为R ，那么2222h R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因此，该球的外表积为248R ππ=. 故答案为：8π.【点睛】此题考察球体外表积的计算，涉及多面体的外接球问题，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.15.如图，抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，依次交12,C C 于,,,A B C D 四点，那么AB CD ⋅的值是__________．【答案】1 【解析】由题得11||||||11AB AF BF x x =-=+-=，同理2||CD x =，由此可以求出AB CD ．【详解】抛物线21:4C y x =的焦点为(1F ，0)，直线l 经过1C 的焦点(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么11||||||11AB AF BF x x =-=+-=，同理2||CD x =，∴12||||cos ,1AB CD AB CD AB CD x x =<>==．故答案为：1【点睛】此题考察直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，那么4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用根本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，那么4a c +的最小值为9.点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.三、解答题：一共7017～2122、23题为选考题，考生根据要求答题. 17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,2,1ABCD PA AD AB ===,AM PD ⊥于点M ，连接BM .〔1〕求证：PD BM ⊥；〔2〕求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值. 【答案】〔1〕见解析〔26【解析】【分析】〔1〕证明PD ⊥平面ABM 即证明PD BM ⊥；〔2〕如下图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量方法求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值.【详解】〔1〕证明：PA ⊥平面,ABCD AB ⊂平面,ABCD PA AB ∴⊥.四边形ABCD 为矩形，,,AB AD AD PA A AD ∴⊥⋂=⊂平面,PAD PA ⊂,平面PAD ,AB ∴⊥平面PAD .PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥.,,AM PD AB AM A AB ⊥⋂=⊂平面,ABM AM ⊂平面ABM ,PD ∴⊥平面ABM .又BM ⊂平面ABM ,PD BM ∴⊥；〔2〕如下图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，那么(0,0,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,1,1)A P B C D M .(1,2,0),(0,1,0).(1,0,0)AC AM CD ∴===-.设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由,n M n AC A ⊥⊥可得20x y y z +=⎧⎨+=⎩；令1z =，得2, 1.(2,1,1)x y n ==-∴=-. 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，那么|2|6sin |cos ,|316||CD n CD n CD n α⋅-=<>===⨯. ∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为63.【点睛】此题主要考察空间位置关系的证明，考察空间角的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.18.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233AD AB AC =+．〔1〕求a 及角A 的大小；〔2〕求||AD 的值．【答案】(1) 7a =23AD =【解析】试题分析：〔1〕由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理化简可得即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=，从而得1cos 2A =-．又()0,A π∈，所以23A π=，由余弦定理得a =〔2〕由1233AD AB AC =+，得221233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以23AD =．试题解析：〔1〕由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+，即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=，在ABC ∆中，sin 0B >，所以1cos 2A =-．又()0,A π∈，所以23A π=．在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b cbc =+-=++=，所以a =〔2〕由1233AD AB AC =+，得221233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以23AD =． 19.数列{}n a ，{}n b 满足11a =，112b =，1122n n n a a b +=+，1122n n n b a b +=+. 〔1〕证明：数列{}n n a b +，{}n n a b -为等比数列；〔2〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：103n S <. 【答案】〔1〕见证明；〔2〕见证明【解析】【分析】〔1〕将题中条件分别相加和相减，结合等比数列的定义，即可得证．〔2〕根据〔1〕结论可求出1344n nn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么前n 项和n S 为两个等比数列的前n 项和之和，代入公式，即可求解．【详解】〔1〕依题：11122122n n n n n n a a b b a b++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相加得：()1134n n n n a b a b +++=+，∴{}n n a b +为等比数列，两式相减得：()1114n n n n a b a b ++-=-，∴{}n n a b -为等比数列. 〔2〕由上可得：13324n n n a b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，11124n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭②，两式相加得：1344n nn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133114444131144nn n S ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--1310441331144<+=--.【点睛】此题考察了等比数列的证明与求解，与等比数列的求和与放缩.旨在考察考生的根本运算才能，方程思想，对式子的构造感知才能，以及体会式子之间的协作互助性并利用之. 20.函数()22()22ln 4f x x x x x x =--+.〔1〕求()f x 在x e =处的切线方程〔e 为自然对数的底数〕；〔2〕设32()33()g x x x x f x =-++，假设1212,(0,)x x x x ∈+∞≠且，满足()()128g x g x +=，求证：121x x <.【答案】〔1〕()241340e y e e x ---+=〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕求出导函数()f x '，切线方程为()'()()y f e f e x e -=-，化简即可；〔2〕先由导数确定()g x 在(0,)+∞上单调递增，不妨设120x x <<，那么()()12g x g x <，又()()128g x g x +=，()14g =，那么()()()121g x g g x <<，于是1201x x <<<，这是重要的一个结论，构造函数1()()()G x g x g x=+()01x <<，求出()G x '，可确定()G x 在(0,1)上递减，于是()(1)8G x G >=，于是1()8G x >，下面只要证明211()()g g x x >即可。

四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析

四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}23100,{33}A xx x B x x =+-<=-<<∣∣，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}x x -<<∣C.{33}x x -<<∣D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i + C.1i-+ D.1i --3.设函数()()()121log 2(1)31x x x f x x +⎧-<⎪=⎨⎪⎩，则()()32log 8f f -+=（）A.8B.9C.22D.264.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中x 的系数为（）A.560B.35C.－35D.－5605.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.76.华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G 功能.某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为2ˆ0.4ˆyx a =+，则下列说法不正确的是（）A.样本中心点为()3,1.0 B.由表中数据可知，变量y 与x 呈正相关C.ˆ0.28a =D.预测7x =时华为手机销量约为1.86（万部）7.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，112n n S a +=，则（）A.数列{}n a 是等比数列B.数列{}n a 是等差数列C.数列{}n S 是等比数列D.数列{}n S 是等差数列8.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）9.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11310.某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）A.12 B.715C.713D.111511.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()(),f x g x 的定义域为()R,g x 的图像关于1x =对称，且()22g x +为奇函数，()()()11,31g f x g x ==-+，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.14.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.15.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.16.正方体1111ABCD A B C D -的校长为1，点P 为线段1CC 的中点，则三棱锥1P BDD -外接球的表面积为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值.19.（12分）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：（1）若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布(65,100)X N ~，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y ，求随机变量Y 的分布列及数学期望.附参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()6827.0≈+<<-σμσμX P ，()9545.022≈+<<-σμσμX P ，()9973.033≈+<<-σμσμX P .20.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21.（12分）已知()ln 1f x x x x =--，记()f x 在1ex =处的切线方程为()g x .（1）证明：()()g x f x（2）若方程()f x m =有两个不相等的实根()1212,x x x x <，证明：12122x x m e e->+--.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：∵{}{}2501032<<-=<-+=x x x x x A ，∴{}23<<-=x x B A .2.B解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.C 解析：()()[]222log 221-=--=-f .∵18log 3>，∴()243338log 24log 3log 8log 18log 33333====++f ，∴()()222428log 23=+-=+-f f .4.D 解析：由题意知712⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式()()rr r r rr rr xC x x C T 27777712112---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令127=-r ，得3=r ，∴x 的系数为()5602137373-=--C .5.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .6.D解析：由表格数据可以计算出3554321=++++=x ，0.155.12.10.18.05.0=++++=y ，则样本中心点为()0.1,3，即A 说法正确；从表格数据可得：y 随着x 的增加而增加，∴变量y 与x 正相关，即B 说法正确；将样本中心点为()0.1,3代入a x yˆ24.0ˆ+=，可得28.0ˆ=a ，即C 说法正确；由C 可知线性回归方程为28.024.0ˆ+=x y，将7=x 代入可得96.128.0724.0ˆ=+⨯=y，则D 说法不正确.7.C解析：因121+=n n a S ①可得，当2≥n 时，n n a S 211=-②，①－②得：n n n n a a S S 212111-=-+-，即n n n a a a 21211-=+，可得31=+n n a a ，因11=a ，在121+=n n a S 中，取1=n ，可得2212==S a ，即3212≠=a a ，故数列{}n a 不是等比数列，选项A ，B 错误；又因当*∈N n 时，都有n n n S S a -=++11，代入121+=n n a S 中，可得()n n n S S S -=+121，整理得：31=+nn S S ，故数列{}n S 是等比数列，即选项C 正确，D 错误.8.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xexx x f ，故排除B.9.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.10.B解析：用A 表示事件“代表队既有男生又有女生”，B 表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为()A B P .∴()30333437=--=C C C A n ，()1468241412=+=+=C C C AB n ，∴()()()1573014===A n AB n A B P .11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()22+x g 为奇函数，∴()()2222+-=+-x g x g ，则()()22+-=+-x g x g ，∴()x g 对称中心为()0,2，又∵()x g 对的图象关于1=x 对称，则()()x g x g =+-2，∴()()x g x g =+-2，则()()()x g x g x g =+-=+24，∴()x g 的周期4=T ，①()()()5833g g g =+-=-，∴①正确；②∵()11=g ，()()x g x g =+-2，()x g 对称中心为()0,2，∴()()020==g g ，∴()()002024==g g ，∴②正确；③∵()()13+-=x g x f ，∴()()2112=+=g f ，∵()()x g x g =+-2，∴()()11g g -=-，则()()()011114=+-=+-=g g f ，∴()()242=+f f ，∴③错误；④∵()()13+-=x g x f 且()x g 周期4=T ，∴()()()()x f x g x g x f =+-=++-=+131434，则()x f 的周期为4=T ，∵()()1121=+=g f ，()22=f ，()()1103=+=g f ，()04=f ，∴()()()()44321=+++f f f f ，∴()()()()()[]20244506432150620241=⨯=+++=∑=f f f f n f n ，∴④正确.二、选择题13.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .14.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .15.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .16.825π解析：以D 为坐标原点，DA ,DC ,1DD 方向分别为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系.则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛21101000110001，，，，，，，，，，，P D B D ，M 为线段1BD 的中点，则⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21M ，显然点M 为1BDD ∆的外接圆圆心.则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-===0,21,210111001PM DB DD ，，，，，，，∴，，0212101=-=⋅=⋅DB PM DD PM 即PM 为平面1BDD 的一个法向量，即⊥PM 平面1BDD .则三棱锥1BDD P -外接球的球心O 在直线PM 行，连接OD ，则设R OP OD ==.设⎪⎭⎫⎝⎛-==0,2,2λλλPM OP ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=21,21,20,2,22110λλλλ，，OP DP DO .=，即222222121222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ，解得45-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,83,85DO ，∴32252183852222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=R .则三棱锥1BDD P -外接球的表面积为82542ππ=R .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+nn n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）延长ED 、AC 相交于点N ，连接BN ，则BN 为平面BDE 与平面ABC 的交线.∵AE ∥CD ，CD AE 2=，则DC 为ABC ∆的中位线，∴42==AC AN ，即BC CN AC ==，∴BN AB ⊥，∴3222=-=AB AN BN .而5222=+=AN AE EN ，2222=+=AB AE BE ，∴222EN BNBE =+，即BNBE ⊥∴EBA ∠即为平面BDE 与平面ABC 所成二面角的平面角.∴22222sin ===∠BE AE EBA 故平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值为22.19.解：（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ,设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为190110C C ,∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()1122100190110==C C C A P 故抽取的两名学生中锋恰有一名学生获一等奖的概率为112.（2）（i ）∵852=+σμ，∴()02275.029545.0185=-≈>X P ,∴参赛学生中成绩超过85分的学生数约为22802275.010000≈⨯人.（ii ）由65=μ，得()2165=>X P ，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在65分以上的概率为21，∴随机变量Y 服从二项分布Y ~⎪⎭⎫ ⎝⎛214，B ，∴()161210404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41211414=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()83212424=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41213434=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()161214444=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P .∴随机变量Y 的分布列为：∴期望为()216144138324111610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E.20.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，m y y 421=+，b y y 421-=，∴()b m b y y m x x 24222121+=++=+，()22212116b y y x x ==，∵()4,411--=y x P A ，()4,422--=y x PB ，()()324421212121++-++-=⋅y y y y x x x x PB P A ()32161216324442442222=+---=+⨯--+-=m b m b m b b m b ∴41616361222++=+-m m b b ，即()()22246+=-m b ，当6-b 与24+m 同号时，246+=-m b ，即84+=m b ，此时()04284222>++=++=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()8484++=++=y m m my x 过定点()48-，，当6-b 与24+m 异号时，246+=-m b ，即44+-=m b ，此时()0244222≥-=+-=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()4444+-=--=y m m my x 过定点()44，，则此时与点B A P ,,中任意两点不重合矛盾，故直线AB 过定点，定点坐标为()48-，.21.解：（1）证明：()1ln --=x x x x f 的定义域为()∞+，0，∵()()x x x f ln 1ln 1-=+-='，∴11=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e f ，121111-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e ef ，∴()e x e xg 112-=⎪⎭⎫⎝⎛--，即()11-+=e x x g .令()()()()x x ex x e x x f x g x F ln 11ln 11+=----+=-=，()+∞∈,0x ，()x x F ln 1+='，令()0='x F ，解得ex 1=，∴当e x 10<<时，()0<'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛e 10，单调递减，当e x 1>时，()0>'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 单调递增，∴()01min =⎪⎭⎫⎝⎛=e F x F ，∴()0≥x F 恒成立，即()()x f x g ≥.（2）由（1）知()x x f ln -='，令()0='x f ，得1=x .∴当10<<x 时，()0>'x f ，()x f 在()1,0单调递增，当1>x 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+，1单调递减，∴()()01max ==f x f ，当0→x 时，()1-→x f ；当e x >时，()()1-=<e f x f ，∵方程()m x f =有两个不相等的实根()2121,x x x x <，∴01<<-m 且e x x <<<<2110，∵()1-='e f ，()1-=e f ，∴函数()x f 在e x =处的切线方程为()()e x y --=--1，即1-+-=e x y .下证：()1-+-≤e x x f 令()()e x x x x f e x x h ++-=--+-=ln 21，()+∞∈,0x ∵()x x x h ln 11ln 2+-=++-='，令()0='x h ，解得e x =，∴当e x <<0时，()0<'x h ，()x h 在()e ,0单调递减，当e x >时，()0>'x h ，()x h 在()∞+，e 单调递增，∴()()0min ==e h x h ∴()0≥x h 恒成立，即()1-+-≤e x x f ，当且仅当e x =时等号成立.∵e x <<21，∴()122-+-<=e x x f m ，即12+->-e m x ，由（1）知，()()11-+=≤e x x g x f ，∵101<<x ，∴()1111-+≤=e x x f m ，即111+-≥em x ，∴ee m x x 12221--+>-.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。

高三数学第一次模拟考试试题理新人教A版

安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学(理科)试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的）．1．复数432iz i +=-的虚部为A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22集合},1)1(log {},13{2≤+∈=≥∈=x N x B x Nx A 则集合B A ⋂的子集个数为A.8B. 4C. 3D. 23. 设A ，B 为两个不相等的集合，条件p ：)(B A x ⋂∉，条件q ：)(B A x ⋃∉，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的概况积是A. 283πB.73πC. 499π D.289π5. 将函数y= cosx 的图象上各点的横坐标伸长到本来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是A ．x π=BC ．3π=x D ．4π=x6.已知定义域为R的偶函数)(x f y =满足),()2(x f x f =-且当xx f x 2sin)(,10π=≤≤，则)2015()2014(f f +的值为A ．1B ．-1C ． 2D ．-27. 设函数31x y =与xy )21(=的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是 A.)1,21( B.)21,31( C.)31,41( D.)41,0(8. 已知A,B,C三点共线，a a a n 122}{+=为等差数列，且，则的值为11153a a a -+A. 1B. -1C. 21D. 21-9. .对于函数(),()f x g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使得00|()()|1f x g x -≤，则称0x是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“亲密点”。

现给出四对函数：①2(),()22f x x g x x ==-；②()()2f x g x x ==+； ③1)(,)(+==x x g e x f x ； ④()ln ,()f x x g x x == 则在区间(0,)+∞上存在独一“亲密点”的是 A. ①③ B.③④ C. ①④ D.②④10．已知圆M:,2)4()3(22=-+-y x 四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E F 、分别为边AB AD 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是 A. [25,25-] B.[5,5-] C.[210,210-] D.[10,10-]二、填空题：（本大题共5小题，5每小题5分，共25分）11.=-=-+=)3(log ,2)3(log ,,(6sin )(2123f f b a bx x a x f 则且为常数）已知12. 已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x xy 2，且z 的最大值是最小值的2倍，则a的值是13.已知ΔABC 三条边a,b,c 成公比大于1的等比数列，则的范围C B B CA A tan cos sin tan cos sin ++14. 已知双曲线一个焦点1322=-x y 与抛物线ay x =2(a >0)的焦点F 重合，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4=AF ，则PO PA +的最小值为15.设异面直线a,b 所成角为θ，点P 为空间一点（P 不在直线a,b 上），有以下命题 ①过点P 存在独一平面与异面直线a,b 都平行②若,2πθ=则过点P 且与a,b 都垂直的直线有且仅有1条.③若,3πθ=则过点P 且与a,b 都成3π直线有且仅有3条.④若过点P 且与a,b 都成3π直线有且仅有4条，则)2,3(ππθ∈. ⑤若过点P 且与a,b 都成3π直线有且仅有2条，则)3,6(ππθ∈. 其中正确命题的序号是_________（请填上所有正确命题的序号）三．解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（本小题12分）4cos 4cos 4sin 3)(2x x x x f +=已知函数（Ⅰ）若1)(=θf ,求)32cos(θπ-的值;（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围。

北京市西城区高三数学一模理科试题及答案

西城区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =I（A ）{|1}x x ∈<-R（B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=- （D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）（B（C ）6（D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）12-（B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x xf xx⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤则()y f x=的图象上关于原点O对称的点共有（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为a，b，c，其中a b c<<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A）U→V→W（B）V→W→U（C）W→U→V（D）U→W→V第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅．（Ⅰ）求A∠的大小；（Ⅱ）若ab=ABC的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC所成角的余弦值为？若存在，求出11A F A C的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )x f x a x x=⋅++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线ex y =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=L ．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-L ．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ；（Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>L ，12)m k k k <<<L ，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-L ；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7- 10．6，2n n+ 11x±=12．213．3014注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为sin sin2⋅=⋅，C c A所以=． [ 1分]C A Asin2sin cos在△ABC中，由正弦定理得=． [ 3分]C A Asin2sin cos所以cos A=． [ 4分]因为0πA<<，[ 5分]所以πA=． [ 6 6分]（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得2222cos=+-，a b c bc A所以222=+-⋅c c[ 8分]整理得 2650c c -+=， [ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意． [11分]当1c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A ==[12分]当5c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A = [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[ 5分]所以 2226C 1(0)C 15P X ===； 112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===．[ 8分]所以 X 的分布列为：1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=． [10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥． [ 1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以1A O ⊥平面BCED，[ 3分] 所以 1A O BD ⊥． [ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以 OE OG ⊥．由（Ⅰ）得 1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以 1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-．设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则 110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以 (1,2,1)=-n ． [ 7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．所以直线1A C 和平面1A BD所成角的正弦值为． [ 9分]（Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设 11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． [10分]设 111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-，所以 1112,2,22x y z λλλ===-，从而 (2,2,22)F λλλ-，所以 (2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==． [12分]令，整理得23720λλ-+=． [13分]解得 13λ=，舍去2λ=．所以线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x '=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+． [ 2分]依题意，有(1)e (1)ef a '=⋅+=，[ 4分]解得0a =． [ 5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x xx'=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x xx+-+同号．令221()ln g x a xx x=+-+，[ 6分]则223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==． [ 8分]所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增． [ 9分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =． [11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)2上的情况如下：所以 ()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以()f x 存在极小值0()f x ． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． [1分]所以 24a =，22b =，从而 2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C 的离心率 ce a ==． [ 3分]椭圆C 的左焦点F 的坐标为(． [ 4分]（Ⅱ）直线l与圆F相切．证明如下：[ 5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=，[ 6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=． [ 7分]直线l 的方程为 0101()x y y x x y -=--，整理为 0140x x y y +-=． [ 9分]所以圆F的圆心F到直线l的距离0|2|d =+． [11分]因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =++=++-=++． [13分]所以 22||PF d =，即 ||PF d =，所以直线l与圆F相切． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以5{2,4,5}E =． [ 3分]（Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i ik k S S +>，且1i k +是使得ik k S S >成立的最小的k ，所以 11i ikk S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以1111i i i k k k S S a +++-=+[ 6分]1.i k S <+所以 11i i k k S S +-<． [ 8分]（Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =L ，不妨设12m k k k <<<L ，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i ik k S S i m +-<=-L ，同理 101k S S -<，且 mn k S S ≤．所以 12110()()()()mmm n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-L101111m m <+++++=L 1442443个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥．[11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++L ，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且 {1,2,,1}n E C =+L ，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。

2021南昌高三第一次模拟考理数答案

……………………11 分
微信公众号《试卷答案》因为 205 45 ，所以后面三个题应该都选择难题. 4
……………………12 分
21.【解析】（Ⅰ）由点 A(x1, y1) ， R(x1, 1) 坐标，知 AR 与直线 y 1垂直，
F , R 关于过点 A 的直线 l ' 对称，可得| AF || AR | ，
l
上，且
l
的斜率为
1，故设
l
的参数方程为：
x
2
2 t
2 （ t 为参数）
y
2t 2
将其代入 C 的普通方程可得： t2 2 2t 1 0 ，则 t1 t2 2 2 ， t1t2 1 ……8 分
故|| PA | | PB |||| t1 | | t2 ||| t1 t2 | 2 2 .
EX (10) 1 15 6 25 18 40 9 50 27 35 ；
64
64
64
64
64
………9 分
若小明后三题选择从第二类题中抽取 3 道进行作答，设后三题答对 Z 道，得分为Y 分，
微信公众号《试卷答案》则 Z B(3, 3) ，Y 20 Z 53 Z 25Z 15, 4
44
4 44
若后面三个题选择一个中等题、两个难题：
则中等题总得分期望是：10 10 3 35 分， 42
记两个难题答对题数为Y ，则Y ~ B(2, 3) ，则 EY 2 3 3 ，
4
42
则两个难题得分期Байду номын сангаас是 20 3 5 1 55 ， 2 22
此时，总得分期望是 35 55 45 分， 22
13． 2 5
14． 160

理科数学高三模拟试题答案解析

理科数学（一）答案解析1. 答案D 解析：{2,1,0,1,2}U =--，{0,1}U B =ð，故(){0,1,2}U A B = ð．2. 答案 B 解析:sin sin sin sin 2a b b A B ABa=⇒==，又000180B B A <<>且,0060120B ∴=或3．A.【解析】)6si n(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数s i n (2)6y x π=+；再将图象向右平移3π个单位，得函数s i n [2()]s i n (2)362y x x πππ=-+=-，2π-=x 是其图象的一条对称轴方程. 4.【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i ii i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-5．D.【解析】若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面，故D 为假命题.6.【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种7. D 【解析】由()(),,0FB AB c b a b ⋅=⋅-=，得20ac b -+=，所以220ac c a -+-=，即210e e -+-=，解得2e =或2e =（舍去）.8. C 【解析】对应的可行域如图.当直线3z x y =-过点()0,4A 时，z 有最小值-4；由图可知z 没有最大值.9. B 【解析】作出满足题意的区域如下图，则由几何概型得，所求概π112=-.10. C 【解析】因为0a b >>，所以0a b ->.所以4=，当且仅当224a a=且b a b =-，即2a b ==时等号同时成立.故代数式)(12b a b a -+的最小值为4.11.C 【解析】e 2xy '=+，00|e 23x k y ='==+=，则切线方程为13y x -=，即31y x =+.12. D 【解析】3311()log (1)0log (1)33x xf x x x ⎛⎫⎛⎫=--=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在同一坐标系中作出函数3l o g (1)y x =-与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，不妨设12x x <，则由函数对称性可知3132l o g (1)l o g (1)0x x -+-<，得31212log [()1]0x x x x -++<，即1212()11x x x x -++<.所以1212x x x x <+.第Ⅱ卷13. -3或2【解析】由两直线平行的充要条件得()1320a a +-⨯=，解得3a =-或2a =.14. 2-【解析】显然公比1≠q ，设首项为1a ，则由0323=+S S ，得qq a qq a --⨯-=--1)1(31)1(2131，即4323=-+q q ，即0)1(4)1(4422223=-+-=-+-q q q q q q ，即0)44)(1(2=++-q q q ，所以0)2(4422=+=++q q q ，解得2-=q .理得cos C = 2222a b cab+-，故2cos cos 42S ab C ab C ==.又由正弦定理得1sin 2S ab C =，所以1cos sin 22ab C ab C =，所以tan C =又()0,πC ∈，所以3C π=.16. －4【解析】由x 2＝2y 可知y ＝12x 2，这时y ′＝x ，由P ，Q 的横坐标为4，－2，这时P (4,8)，Q (－2,2), 以点P 为切点的切线方程PA 为y －8＝4(x －4)，即4x －y －8＝0①；以点Q 为切点的切线方程QA 为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0②；由①②联立得A 点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4. 三．解答题17. 解：（1）条件可化为：)cos cos cB bC -= ．根据正弦定理有sin )cos sin cos A C BB C -=．cos sin()A B C B =+，由基本不等式可知2262(2a c ac ac =+-≥-=-．……6分即3(2ac ≤+，故△ABC 的面积1sin 242S ac B ==≤．即当a =c=236+时，△ABC 的面积的最大值为2)12(3+． ……12分∴.241222131312a a a a OF S V V EBC EBC F EFC B =⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--………12分 18.【答案】19.20（1）椭圆方程E 为：1121622=+yx（3分）（2）（法一）1AF 方程为：0643=+-y x ，2AF 方程为：2=x 设角分线上任意一点为()y x P ,，则25643-=+-x y x 。

四川省达州市2023届高三第一次诊断测试模拟考试理科数学试题及答案

四川省达州市2023届高三第一次诊断测试模拟考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2M x x x ==，{}lg 0N x x =≤，则M N ⋃等于（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(]1-∞，2．如图，若向量OZ 对应的复数为z ，则4z z+表示的复数为（）A ．1＋3iB ．－3－iC ．3－iD ．3＋i3．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P （A ）＋P （B ）＝1”，则甲是乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（） A ．3B ．2C ．2-D ．3-5．执行程序框图，则输出的数值为（）A ．31B ．32C ．63D ．646．()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 A ．10 B ．20 C ．30D ．607．已知平面向量a ，b 是非零向量，2a =，()2a a b ⊥+，则向量b 在向量a 方向上的投影为（） A ．1-B ．1C ．2-D ．28．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（）A ．221124y x -=B ．223144y x -=C ．22144x y -=D ．221164y x -=9．已知定义在 R 上的函数()f x 满足()()()()11，f x f x f x f x -=-+=-，当[]1,1x ∈-时，()33f x x x =-，则()2023f 等于（）A ．1B ．2-C ．1-D ．210．某顾客在2020年1月1日采用分期付款的方式购买一辆价值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一次，如果一年内还清全部贷款（12月1日最后一次还款），月利率为0.5％.按复利计算，则该顾客每个月应还款多少元？（精确到1元，参考值101.005 1.05=，111.005 1.06=）（） A ．1767B ．1818C ．1923D ．194611．已知函数()cos f x x x ωω+在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，在2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则实数ω的取值范围为（） A ．(]1,2B ．5,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．[]1,2D ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦12．如图所示，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且3aAP =，过1B ，1D ，P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ =（）ABCD二、填空题13．设变量,x y 满足约束条件：3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为__________.14．已知数列 {}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，24612a a a ++=，1359a a a ++=，则34a a +等于__________.15．已知点 ()3,2M -是坐标平面内一定点，若抛物线22y x =的焦点为F ，点Q 是抛物线上的一动点，则MQ QF -的最小值是__________.16．已知当ex≥时，不等式11e lna xx a xx+-≥恒成立，则正实数a的最小值为___________.三、解答题17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin sin sin sinb C a A b Bc C+=+．（I）求A；（Ⅱ）设D是线段BC的中点，若2c=，AD=a．18．某种病菌在某地区人群中的带菌率为10%，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法. 现引进操作易、成本低的新型检测方法: 每次只需检测x y，两项指标，若指标x的值大于4 且指标y的值大于100，则检验结果呈阳性，否则呈阴性. 为考查该检测方法的准确度，随机抽取50 位带菌者(用“*” 表示)和50 位不带菌者(用“+” 表示)各做 1 次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图:(1)根据独立性检验，完成列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为“带菌” 与“检测结果呈阳性” 有关?(2)现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检者“带菌” 且“检测结果呈阳性” 的概率.附：()()()()()22n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++，.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.20．平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，椭圆2:16x E +214y =.设点P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (1)求 OQ OP的值；(2)求ABQ 面积的最大值.21．已知函数()12x f e x k x k +=--(其中e 是自然对数的底数，kⅡR)．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当函数()f x 有两个零点12,x x 时，证明：122x x +>-．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为：(()2214x y ++=.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ，3C 的极坐标方程分别为：2sin ρθ=，π2cos 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若曲线2C ，3C 相交于异于极点的点Q ，求点Q 的直角坐标；（2）若直线():l θαρ=∈R 与1C ，2C 相交于异于极点的A ，B 两点，求AB 的最大值. 23．设()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若222,,(0,),2a c abc b m +∈+∞+=，求ab bc +的最大值.参考答案：1．A【分析】分别解方程和不等式求出集合M 和集合N ，再求并集即可.【详解】对于集合M ，由2x x =解得0x =或1x =，Ⅱ{}01M =，，对于集合N ，不等式lg 0x ≤等价于lg lg1x ≤，Ⅱlg y x =是定义在()0,∞+上的增函数，Ⅱ01x <≤，Ⅱ{}01N x x =<≤， Ⅱ{}[]010,1M N x x ⋃=≤≤=. 故选：A. 2．D【解析】利用复数与向量的对应关系可得z ＝1－i ，再利用复数的运算法则即可得出答案. 【详解】由题图可得Z （1，－1），即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41i-＝1－i ＋4(1)(1)(1)i i i +-+＝1－i ＋442i+＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i . 故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义、复数与向量之间的对应关系、复数的运算法则. 3．A【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.【详解】Ⅱ若事件A 与事件B 是对立事件，则A ⅡB 为必然事件，再由概率的加法公式得P （A ）＋P （B ）＝1；Ⅱ投掷一枚硬币3次，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P （A ）＝78，P （B ）＝18，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不是对立事件. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题. 4．D【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D. 5．C【分析】模拟程序的运行过程，逐步计算即可求出结果．【详解】解：模拟程序的运行，0,0S i ==0021S =+=，满足条件5i <，1i =， 1123S =+=，满足条件5i <，2i =， 2327S =+=，满足条件5i <，3i =，37215S =+=，满足条件5i <，4i =， 415231S =+=，满足条件5i <，5i =，531263S =+=，此时，不满足条件5i <，退出循环，输出S 的值为63．故选：C ． 6．C【详解】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 7．A【分析】首先通过条件()2a a b ⊥+求得·2a b =-，然后根据数量积的运算公式求出·b cos θ，进而求解b 在a 方向上投影.【详解】平面向量a b 、是非零向量，()22a a a b =⊥+，， ()2·2?2?||2?42?a a b a a a b a a b a b ∴+=+=+=+0=，则·2a b =-. 设a 与b 夹角为θ，···2a b a b cos θ==-，则2·1b cos aθ-==-， b ∴在a 方向上投影为1-.故选：A 8．B【分析】首先根据题意得到22222b c a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为()0,c ，一条渐近线方程为ay x b=，则焦点到渐近线的距离2d b ===，所以2222224234b a ca b c a b=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为：223144y x -=.故选：B 9．D【分析】有题目条件，可得()f x 周期为4，且()f x 图像关于1x =对称，据此可得()2023f . 【详解】因()()11f x f x +=-，则()f x 图像关于1x =对称又因()()f x f x =-，则()()()()()()11112f x f x f x f x f x f x +=-⇒+=--⇒+=-()()()42f x f x f x ⇒+=-+=，即()f x 周期为4.则()()()()20234505331f f f f =⨯+==-，又当[]1,1x ∈-时，()33f x x x =-，则()12f -=，即()20232f =.故选：D 10．A【分析】设每月还款x 元，每月还款按得利计算，11次还款的本利和等于银行贷款按复利计算的本利和，由此可得．【详解】设每月还款x 元，共还款11个月，所以10911(1.005 1.005 1.0051)20000 1.005x ⨯++++=⨯，1111111020000 1.00520000 1.00520000 1.0617671 1.061 1.0051 1.005 1.0050.0051 1.005x ⨯⨯⨯===≈--+++--．故选：A ． 11．D【分析】先运用辅助角公式将函数解析式化为()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,6646x ππωππω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,64636x ππωπωπωπ⎛⎫+∈++⎪⎝⎭，依题意只需462πωππ+>且()23,,363622k k k Z ωππωππππππ⎛⎫⎛⎫++⊆++∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】依题意，函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故462πωππ+>，即43ω>；因为2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,64636x ππωπωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭；故()23,,363622k k k Z ωππωππππππ⎛⎫⎛⎫++⊆++∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,36223,362k k k k ωππππωππππ⎧+≥+∈Z ⎪⎪⎨⎪+≤+∈Z ⎪⎩，解得：()1323k k k Z ω+≤≤+∈，而43ω>，且3ππω≥，423ω<≤，故选D ．【点睛】本题考查利用函数()sin y A ωx φ=+的单调性求参问题，难度一般.解答时采用整体思想，用x ωϕ+整体的范围与原函数单调区间的关系来求解. 12．A【分析】连接BD ，由面面平行性质定理，可以证出11B D PQ ∥，所以PQ BD ∥，PDQ BCD ，利用相似比即可求出PQ .【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11BB DD ∥，11BB DD =， Ⅱ四边形11DD B B 是平行四边形，Ⅱ11B D BD ∥，又Ⅱ在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 平面ABCD ，平面11B D P平面1111D C B A 11B D =，平面11B D P平面ABCD PQ =，Ⅱ11B D PQ ∥，ⅡPQ BD ∥， ⅡPQD BDC ∠=∠，，又Ⅱ90PDQ BCD ∠=∠=︒， ⅡPDQBCD ，ⅡPQ PDBD BC=，又Ⅱ正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ， ⅡBC a =，233a a PD AD AP a =-=-=，BD =，Ⅱ23aPD BD PQ BC a ⨯===. 故选：A. 13．92##4.5【分析】根据不等式组作出可行域，再结合目标函数的几何意义求最值. 【详解】根据不等式组作出可行域，如图所示当目标函数2z x y =+经过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最大值为92故答案为：92##4.514．7【分析】首先根据题意得到{}n a 是等差数列，再根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为()1122n n n a a a n -+=+≥，所以{}n a 是等差数列，由等差数列性质可得2464312a a a a ++==，解得44a =. 135339a a a a ++==，解得33a =.所以347a a +=. 故答案为：7 15．52##2.5【分析】根据抛物线的性质，做出图像即可得到当MQ 平行于x 轴时，MQ QF -取得最小值，从而得到结果.【详解】抛物线的准线方程为12x =-，过点Q 作QQ '垂直准线于点Q '，MQ QF MQ QQ '-=-显然，当MQ 平行于x 轴时，MQ QF -取得最小值，此时()2,2Q ，此时1523222MQ QF -=+-+= 故答案为:52.16．1e【分析】将问题转化为11e ln e ln a a x x x x -≤-，设()lnf x x x =-，根据函数的单调性求出1ln a x x≥，令()ln h x x x =（[e,)x ∈+∞），利用导数求出其最小值，从而可求出实数a 的取值范围，进而可求得正实数a 的最小值【详解】由题意得，原不等式可变形为11e ln a xx a x x-≤-，即11e ln e ln a a x x x x -≤-，设()ln f x x x =-，则当e x ≥时，1e ()a xf f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，由()ln f x x x =-，得11()1x f x x x'-=-=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，因为e x ≥，0a >，所以1e 1x >，1a x >，因为()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以要使1e ()ax f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，只要1e a x x ≤，两边取对数得，1ln a x x ≤，因为e x ≥，所以1ln a x x≥，令()ln h x x x =（[e,)x ∈+∞），则()1ln 0h x x '=+>，所以()h x 在[e,)+∞上单调递增，所以min ()(e)eln e e h x h ===，所以110ln ex x <≤，所以1e a ≥，所以正实数a 的最小值为1e ，故答案为：1e【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查数学转化思想，解题的关键是将原不等式转化为11e ln e ln a a x x x x -≤-，发现两边形式相同，所以构造函数()lnf x x x =-，转化为当e x ≥时，1e ()ax f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，再由函数的单调性可得1e a x x ≤，再转化为1ln a x x ≥恒成立，构造函数()ln h x x x =求出其最小值即可，属于较难题17．（I ）3π；（Ⅱ）【分析】（I ）先由正弦定理，将所给条件化为222bc b c a =+-，再由余弦定理，即可得出结果；（Ⅱ）根据题中条件，得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，推出22244a b =-，再由余弦定理得到2242a b b =-+，两式联立求出b ，进而可求出a .【详解】（I ）根据正弦定理，由sin sin sin sin b C a A b B c C +=+可得222bc a b c +=+，即222bc b c a =+-，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==，因为A 为三角形内角，所以3A π=；（Ⅱ）因为D 是线段BC 的中点，2c =，AD = 所以ADB ADC π∠+∠=，则cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，所以222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⋅⋅，即22221321344022a ab a a +-+-+=，整理得22244a b =-；又22222cos 42a bc bc A b b =+-=+-，所以2242244b b b +-=-，解得6b =或8b =-（舍），因此2224428a b =-=，所以a =【点睛】思路点睛：求解三角形中的边长或面积等问题时，一般需要根据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出对应的方程求解即可.18．(1)列联表见解析，有 99.9%以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关； (2)0.07.【分析】（1）据已知统计表，求得列联表，结合参考数据和参考公式求得2K ，即可判断；（2）知数据，结合条件概率的计算公式，求解即可. 【详解】（1）22⨯列联表如下：根据列联表中的数据，经计算得到()22100354515537.510.82840605050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有 99.9%以上的把握认为 “带菌” 与 “检测结果呈阳性” 有关.（2）设事件B 表示：被检测者带菌，事件C 表示：被检测者检测结果呈阳性，则BC 表示：被检者带菌且检测结果呈阳性，用频率估计概率，根据题意可知 ()()350.10.750P B P CB ===，∣，所以由条件概率公式可知 ()()()0.10.70.07P BC P B P CB =⋅=⨯=∣. 19．(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出1AB ，进而得到22211BB AB AB =+，由勾股定理逆定理得到1AB AB ⊥，结合AC AB ⊥，得到线面垂直，证明出1AB B C ⊥；（2）证明出1AB AC ⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角. 【详解】（1）证明: 连接1AB ，在1ABB 中，111260AB BB ABB ==∠=，，，由余弦定理得，22211111214223cos 2AB AB BB AB BB ABB ⋅=+-⋅∠=+-⨯⨯=，1AB ∴22211BB AB AB ∴=+，1AB AB ∴⊥.又ABC 为等腰直角三角形，且AB AC =，AC AB ∴⊥，1ACAB A =，1,AC AB ⊂平面1AB C ，AB ∴⊥平面1AB C .Ⅱ1B C ⊂平面1AB C ， Ⅱ1AB B C ⊥ （2）11312AB AB AC BC ====，， 22211B C AB AC ∴=+，1AB AC ∴⊥，如图，以 A 为原点， 1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()(()()10,0,0,,1,0,0,0,1,0A B B C ， ()()11,0,3,1,1,0.BB BC ∴=-=-设平面1BCB 的一个法向量为(),,n x y z =，由100BB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，得x y ==∴平面1BCB 的一个法向量为()331n =，，.()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，设1AC 与平面1BCB 所成角的大小为θ，(1111,1,sin cos 11AC n AC n AC nθ-∴====+⋅⋅， 1AC ∴与平面1BCB20．(1)2 (2)【分析】(1) 设 ()00OQP x y OPλ=，，，根据比例关系得出()00Q x y λλ--，，将点,P Q 的坐标分别代入方程即可求解； (2) 由(1)知，ABQ 的面积为3OABS，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式求出S =.【详解】（1）设 ()00OQP x y OPλ=，，，由题意知()00Q x y λλ--，. 因为 220014x y +=，又()()22001164x y λλ--+=，即22200()144λ+=x y ，所以2λ=，即2OQ OP=.（2）由(1)知，ABQ 的面积为3OABS，设 ()()1122A x y B x y ，，，. 将 y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得()2221484160k x kmx m +++-=，由 Δ0>，可得22416m k <+，Ⅱ则有 212122284161414km m x x x x k k -+=-=++，. 所以12x x -= 因为直线 y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0m ，，所以OAB 的面积1212S m x x =-= 设2214m t k =+，将y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得 ()222148440k x kmx m +++-=，由 Δ0，可得2214m k +，Ⅱ由 (1)(2)可知 01t <，因此S == 故23S ，当且仅当 1t =，即2214m k =+时取得最大值所以ABQ 面积的最大值为 21．（1）见解析；（2）见解析. 【详解】试题分析：本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题．（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）根据题意将证明122x x +>-的问题转化为证明12(+1)ln 421t tx x t ++=>-，即证(+1)ln 2(1)t t t >-，构造函数()(+1)ln 2(1)g t t t t =--，利用函数()g t 的单调性证明即可．试题解析：（1）解：Ⅱ()12x f x e kx k +=--，Ⅱ．Ⅱ当时，令()0f x '=，解得1ln x k =-+，Ⅱ当(,1ln )x k ∈-∞-+时，，单调递减；当(1ln ,)x k ∈-++∞时，，单调递增．Ⅱ当时，恒成立，Ⅱ函数在R 上单调递增. 综上，当时，在(,1ln )k -∞-+上单调递减，在(1ln ,)k -++∞上单调递增．当时，在R 上单调递增. （2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点．所以．设函数的两个零点为，则，设，解得，所以12(+1)ln 41t tx x t ++=-，要证，只需证，设设单调递增，所以，所以在区间上单调递增，所以，故． 22．（1）12⎫⎪⎪⎝⎭；（2）【分析】（1）分别求出2C 、3C 的直径坐标方程，进而联立两个直角坐标方程，可求出点Q 的直角坐标；（2）求出1C的极坐标方程2sin ρθθ=--，设(),A A ρα，(),B B ρα，从而可得4sin A B AB ρραα=+=-，利用三角函数求最值即可.【详解】（1）由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，将222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩代入，可得2C 的直角坐标方程为222x y y +=；由πππ2cos 2cos cos 2sin sin 666ρθθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭sin θθ-，得2cos sin ρθρθ=-，将222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩代入，可得3C的直角坐标方程为22x y y +-.联立22222x y y x y y ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ==⎧⎨⎩，所以点Q的直角坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭. （2）由(()2214x y ++=，可得2220x y y +++=，将222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩代入，可得1C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ++=，则2sin ρθθ=--.设(),A A ρα，(),B B ρα，则2sin A ραα=--，2sin B ρα=，所以4sin A B AB ραααρα=-+==()αβ=+（i s n s ββ=，因为()sin 1αβ+≤，所以AB =()αβ+≤ 故AB的最大值为【点睛】本题考查普通方程、参数方程及极坐标方程间的转化，考查利用极坐标求弦长，考查计算求解能力，属于中档题.23．（1）2m =；（2）2．【分析】（1）采用零点分段法去绝对值3?1()3111,3?1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，，，，，结合函数图象可得2m =；（2）由于2222a cb m ++=,所以222222222()() 2()m a bc a b b c ab bc =++=++++,所以 2ab bc +.【详解】（1）3?1()3111,3?1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，，，，，画出图象如图，可知当=1x -时，函数()f x 取得最大值2.Ⅱ2m =.（2）Ⅱ2222a cb m ++=，Ⅱ222222222()() 2()m a bc a b b c ab bc =++=++++， Ⅱ 2ab bc +，Ⅱab bc +的最大值为2，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。

河北高三月考模拟理科数学试卷及答案解析

唐山市高三第一次模拟考试理科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）1.设A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A B的B的个数是A. 5B. 4C. 3D. 22.复数的虚部为A.B.C. 一D. 一3.已知向量a，b满足a·(a-b)=2，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为A.B.C.D.4.(x-2y)6的展开式中，x4y2的系数为A. 15B. -15C. 60D. -605. A（，1）为抛物线x2=2py(p>0)上一点，则A到其焦点F的距离为A.B. +C. 2D. +16.执行右侧的程序框图，输出S的值为A. ln4B. ln5C. ln 5-ln4D. ln 4-ln 37.若x，y满足不等式组则的最大值是A.B. 1C. 2D. 38.S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a l=l，，则{a n}的公比为A. -3B. 2C. 2或-3D. 2或-29.己知A(x1，0)，B(x2，1)在函数f(x)=2sin(x+) (>0)的图象上，|x1-x2|的最小值，则=A.B.C. lD.10.某几何体的三视图如右图所示，则其体积为A.B. 8C.D. 911.F为双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点，若上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则的离心率e的值为A. 2B.C.D. +112.数列{a n}的通项公式为a n =，关于{a n}有如下命题：①{a n}为先减后增数列；②{a n}为递减数列：③④其中正确命题的序号为A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）13.在等差数列{a n}中，a4=-2，且a l+a2+...+a10=65，则公差d的值是____。

2019-2020学年唐山市高三理科数学一模试题及答案

唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{y|y＝2x}，M＝A∩B，则集合M的子集个数是A．2 B．3 C．4 D．82．设i是虚数单位，复数z＝2＋i3－i，则z-在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010年第六次全国人口普查资料表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是A．男性的平均预期寿命逐渐延长B．女性的平均预期寿命逐渐延长C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3），则该圆柱形容器能放米A．900斛B．2700斛C．3600斛D．10800斛5．已知向量a，b满足|a＋b|＝|b|，且|a|＝2，则b在a方向上的投影是A．2 B．－2C．1 D．－16．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，a2＝b2＝m，a3＝b3＝n，若m，n为正数，且m≠n，则A．a1＜b1B．a1＞b1C．a1＝b1D．a1，b1的大小关系不确定7．已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，随机变量Y服从正态分布N(1，1)，且P(X＞1)＝0.1587，则P(1＜Y＜2)＝A．0.1587 B．0.3413C．0.8413 D．0.65878．函数f(x)＝tan x－x2在(－π2，π2)上的图象大致为9．设函数f(x)＝sin(2x＋2π3)，则下列结论中正确的是A．y＝f(x)的图象关于点(π3，0)对称B．y＝f(x)的图象关于直线x＝π3对称C．f(x)在[0，π3]上单调递减D．f(x)在[－π6，0]上的最小值为010．已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，P A⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝2，若球O的表面积为36π，则直线PC与底面ABCD所成角的余弦值为A．36B．56C．33D．5311．已知F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MF⊥x 轴，过F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N（O为坐标原点），若MN⊥ON，则双曲线C的离心率是A．233B． 3C．62D．212．已知a＞2，f(x)＝e x(x－a)＋x＋a，有如下结论：①f(x)有两个极值点；②f(x)有3个零点；③f(x)的所有零点之和等于零．则正确结论的个数是A ．0 B．1C．2D．3O xyA．O xyC．O xyD．B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x －3y ＋1≤0，则z ＝2x －y 的最小值为________．14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则4名同学所有可能的选择有________种． 15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋tn (n ∈N *，t 为非零常数)，且a 1，a 2，a 3成等比数列，则a n ＝___________． 16．已知F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，K 为C 的准线与x 轴的交点，点P 在抛物线C上．设∠KPF ＝α，∠PKF ＝β，∠PFK ＝θ，有以下3个结论：①β的最大值是 π4； ②tan β＝sin θ； ③存在点P ，满足α＝2β．其中正确结论的序号是___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，△ABC 的面积为23．（1）若A ＝ π3，求△ABC 的周长；（2）求sin B ·sin C 的最大值．18．（12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面为等边三角形，D ，E 分别为AC ，A 1C 1的中点，点F 在棱CC 1上，且EF ⊥BF ．（1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若AB ＝4，C 1F ＝2FC ，求二面角D -BE -F 的余弦值．19．（12分）甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为p （0＜p ＜1）．（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；（2）若p ＝12，比赛结束时，设甲获胜局数为X ，求其分布列和期望E (X )；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求p 的取值范围．20．（12分）已知P 是x 轴上的动点（异于原点．．．．O ），点Q 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，且|PQ |＝2，设线段PQ 的中点为M ，当点P 移动时，记点M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，且点Q 在第一象限．（ⅰ）求直线OM 的斜率；（ⅱ）直线l 平行OM ，交曲线E 于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为N ，直线ON 与曲线E 交于两点C ，D ，证明：|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |．21．（12分）已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1，f '(x )为f (x )的导函数，f (x 1)＝f (x 2)且x 1＜x 2．证明：（1）f '(x )＜0；（2）x 2－x 1＞1．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C ：ρ＝4sin θ，直线l ：ρcos θ＝2．以极点O 为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上，AB ⊥l 于B ，记△OAB 的面积为S ，求S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )＝|x ＋a |－2|x －1|－1．（1）当a ＝1时，求不等式f (x )＞0的解集；（2）是否存在实数a ，使得f (x )的图象与x 轴有唯一的交点？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．C 1B 1A 1FEDCBA唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：CDCBD ABACB AD 二．填空题：13．－2 14．1015．n 2－n ＋2216．①②③三．解答题： 17．解：（1）因为S △ABC ＝ 1 2bc sin A ＝34bc ＝23，所以bc ＝8．由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝a 2，所以(b ＋c )2＝a 2＋3bc ，又a ＝4，bc ＝8，所以(b ＋c )2＝40，即b ＋c ＝210，故△ABC 的周长为4＋210． …5分（2）由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以sin B ·sin C ＝bc sin 2A a 2，又S △ABC ＝ 12bc sin A ＝23，a ＝4，所以sin B ·sin C ＝3sin A 4≤34．当sin A ＝1时，A ＝ π2，此时b 2＋c 2＝a 2＝16，bc ＝43，即b ＝23，c ＝2；或b ＝2，c ＝23．故A ＝ π 2时，sin B ·sin C 取得最大值34． …12分18．解：（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以A 1A ⊥平面ABC ，从而有A 1A ⊥BD ，因为△ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ．又A 1A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥EF ．又因为EF ⊥BF ，BD ∩BF ＝B ，所以EF ⊥平面BDF ．又因为EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ．…5分（2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF ⊥DF ．设CF ＝m ，则有m 2＋4＋4m 2＋4＝9m 2，即4m 2＝8，得m ＝2．以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，32)，F (0，2，2)，设平面BEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， BE →＝(－23，0，32)，EF →＝(0，2，－22)，由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·m ＝－23x ＋32z ＝0，EF →·m ＝2y －22z ＝0，解得m ＝(3，2，2)，因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的法向量为DC →＝(0，2，0)， cos 〈m ，DC →〉＝m ·DC →|m ||DC →|＝42×9＝23，所以二面角D －BE －F 的余弦值为23． …12分19．解：（1）设A ：甲在第一局失利，B ：甲获得了比赛的胜利则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝(1－p )p 21－p＝p 2． …3分（2）X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝(1－p )2＝14，P (X ＝1)＝C 12p (1－p )2＝14，P (X ＝2)＝p 2＋C 12(1－p )p 2＝12． X 的分布列如下：则E (X )＝0×14＋1×14＋2×12＝54． …9分（3）甲获得该场比赛胜利的概率为p 2＋C 12(1－p )p 2，则p 2＋C 12(1－p )p 2＞p ，即2p 2－3p ＋1＜0，解得12＜p ＜1．所以p 的取值范围是(12，1)…12分20．解：（1）连接OQ ，设M (x ，y )(x ≠0)，由|OQ |＝|PQ |＝2，由M 为PQ 的中点，得P (4x 3，0)，则Q (2x 3，2y )，把Q (2x 3，2y )代入x 2＋y 2＝4，整理得x 29＋y 2＝1，所以曲线E 的方程为x 29＋y 2＝1(x ≠0)．…4分（2）（ⅰ）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ，则OQ ⊥PQ ，|OQ |＝|PQ |＝2，则|OP |＝22，又点Q 在第一象限，得P (22，0)，Q (2，2)．由M 为PQ 的中点，得M (322，22)，所以直线OM 的斜率为 13． …7分z yxC 1 B 1A 1 F EDC B A（ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝ 13x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝ 13x ＋t ，x 29＋y 2＝1整理得2x 2＋6tx ＋9t 2－9＝0，x 1＋x 2＝－3t ，x 1x 2＝9t 2－92．所以N 点坐标为(－3t 2， t 2)，直线ON 方程为y ＝－ 13x ， …9分由方程组⎩⎨⎧y ＝－ 13x ，x 29＋y 2＝1得C (－322，22)，D (322，－22)． …10分所以|NC |·|ND |＝103(322－3t 2)·103(322＋3t 2)＝ 52(2－t 2)．又|NA |·|NB |＝ 1 4|AB |2＝ 1 4×109×[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝518[9t 2－2(9t 2－9)]＝ 52(2－t 2)，所以|NA |·|NB |＝|NC |·|ND |． …12分 21．证明：（1）f '(x )＝－ 1x－ln x (x －1)2，令g (x )＝－ 1 x －ln x ，则g'(x )＝ 1 x 2－ 1x ＝1－xx2．所以当0＜x ＜1时，g'(x )＞0；当x ＞1时，g'(x )＜0；所以g (x )≤g (1)＝－1＜0．在f '(x )中x ≠1，因此f '(x )＜0． …4分（2）由（1）得，f (x )在(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以0＜x 1＜1＜x 2．f (x ＋1)－f (x )＝ln (x ＋1)＋1x －ln x ＋1x －1＝x ln (x ＋1)－x ln x －1－ln (x ＋1)x (x －1)＝ 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＋ln (x ＋1)x (1－x )，0＜x ＜1． …8分由（1）得g (x )＝－ 1x－ln x ≤－1，等号当且仅当x ＝1时成立，从而ln 1 x ≤ 1x－1，即ln x ≤x －1，等号当且仅当x ＝1时成立，又x ＞0时，1＋ 1 x ＞1，因此ln (1＋ 1 x )＜ 1x，所以当0＜x ＜1时， 1 x －ln (1＋ 1x )1－x ＞0，又ln (x ＋1)x (1－x )＞0，所以当0＜x ＜1时，f (x ＋1)－f (x )＞0，即f (x ＋1)＞f (x )，所以f (x 1＋1)＞f (x 1)＝f (x 2)，由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且x 1＋1＞1，x 2＞1，所以，可得x 2＞x 1＋1，故x 2－x 1＞1． …12分 22．解：（1）由题意得x ＝ρcos θ，所以l ：x ＝2，又ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以C ：x 2＋(y －2)2＝4，从而C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，（α为参数）． …4分（2）设A (2cos α，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则B (2，2＋2sin α)．所以S ＝2(1－cos α)(1＋sin α)＝2sin α－2cos α－2cos αsin α＋2 ＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1 ＝(sin α－cos α＋1)2＝[2sin (α－ π4)＋1]2．当α－ π 4＝ π 2，即α＝3π4时，S 取得最大值3＋22． …10分23．解：（1）当a ＝1时，f (x )＞0化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0．当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得 23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2．所以f (x )＞1的解集为{x | 23＜x ＜2}． …4分（2）存在．若a ＞－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜－a ，3x ＋a －3，－a ≤x ≤1，－x ＋a ＋1，x ＞1．此时f (x )的最大值f (1)＝a ，所以a ＝0时满足题设．若a ＜－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －3，x ＜1，－3x －a ＋1，1≤x ≤－a ，－x ＋a ＋1，x ＞－a ．此时f (x )的最大值f (1)＝－a －2，所以a ＝－2时满足题设．若a ＝－1，则f (x )＝－|x －1|－1＜0，所以a ＝－1时不满足题设．综上所述，存在实数a ＝0或a ＝－2满足题设． …10分。

高三数学第一次模拟统一考试试题理含解析试题

2021年第一次高考模拟统一考试制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

数学试题〔理科〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进展交集的运算即可．【详解】A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x＞﹣1}；∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜4}．应选：D．【点睛】此题考察描绘法的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于根底题．2.为复数，那么是为实数的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的运算进展判断即可．【详解】令z＝a+bi，∵〔a+bi〕•〔2﹣i〕＝2a+b+〔2b﹣a〕i，∴z•〔2﹣i〕为实数⇔a＝2b，又z＝2+i⇔，∵⇒a＝2b，a＝2b推不出，∴是a＝2b充分不必要条件，即z＝2+i是z•〔2﹣i〕为实数的充分不必要条件．应选：A．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根据复数的运算是解决此题的关键．sin x＜0，且sin〔cos x〕＞0，那么角是〔〕A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】D【解析】【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进展判断即可．【详解】∵﹣1≤cos x≤1，且sin〔cos x〕＞0，∴0＜cos x≤1，又sin x＜0，∴角x为第四象限角，应选：D．【点睛】此题主要考察三角函数中角的象限确实定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决此题的关键．的左、右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，且轴，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用条件列出a，b，c关系，然后求解离心率即可．【详解】由题意可得：2c，∴b2＝2ac，∴c2﹣2ac﹣a2＝0，即e2﹣2e﹣1＝0，解得e．应选：C．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，考察计算才能．5.执行如下列图所示的程序框图，输出S的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由中的程序可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得：当k＝1时，不满足k>6，执行循环体得S=0+cos=，k=2，不满足k>6，执行循环体得S=+cos=+，k=3，不满足k>6，执行循环体得S=++cos=+，k=4，不满足k>6，执行循环体得S=++cos=+，k=5，不满足k>6，执行循环体得S=+cos=，k=6，不满足k>6，执行循环体得S=0+cos=，k=7，满足k>6，退出循环，输出S=-1，应选：A．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．6.河图是上古时代HY传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦〞，而龙马身上的图案就叫做“河图〞。

陕西省西安市2021届高三一模数学试卷及答案(理科)

2021年陕西省西安市高考数学第一次质检试卷（理科）（一模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5} 2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．84．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．585．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．247．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．09．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．110．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．311．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN 的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN 的最大值为二、填空题（共4小题）.13．已知向量，，若，则k ＝．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为．（用数值表示）15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝．三、解答题（第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，，则（∁R N）∩M为（）A．{x|3＜x＜5}B．{x|x＜﹣3或x＞5}C．{x|﹣3≤x≤﹣2}D．{x|﹣3＜x＜5}解：∵集合M＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}＝{x|﹣2＜x＜5}，＝{x|﹣3≤x≤3}，∴∁R N＝{x|x＜﹣3或x＞3}，∴（∁R N）∩M＝{x|3＜x＜5}．故选：A．2．i（2+3i）＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i解：i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i．故选：D．3．已知点A（﹣2，3）在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝（）A．1B．2C．4D．8解：由已知得，抛物线y2＝2px的准线方程为，且过点A（﹣2，3），故，p＝4．故选：C．4．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是（）A．B．C．﹣26D．58解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2，a8，a12依次成等比数列，∴a82＝a2a12，即（a1+7d）2＝（a1+d）（a1+11d），可得19d2＝﹣a1d，∵d≠0，∴a1＝﹣19d，又由已知可得a1＝1，在，因此，，故选：A．5．从点P（m，3）向圆（x﹣2）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值（）A．B．5C．D．解：设切线长为d，由题设条件可得：d2＝（m﹣2）2+（3﹣0）2﹣1＝（m﹣2）2+8≥8，∴，当且仅当m＝2时取“＝“，故选：D．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．6B．8C．12D．24解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，由于锥体的高为4，故．故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R恒成立，则f（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ∈（0，2π），若对于一切x∈R 恒成立，则2×+φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ+，k∈Z，由于φ∈（0，2π），所以φ＝，即f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间是．故选：B．8．已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（﹣2021）＝（）A．﹣lg3B．lg9C．lg3D．0解：根据题意，定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，则有f（﹣2021）＝f（1﹣2×1011）＝f（1），又由当0≤x≤1时，f（x）＝lg（x2+2），则f（1）＝lg3，则f（﹣2021）＝f（1）＝lg3，故选：C．9．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4B．3C．2D．1解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x ）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．10．设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|＝3b，|PF1|•|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D．3解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|＝2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|＝3b ，所以，两式相乘得．结合c2＝a2+b2得．故e ＝．故选：B．11．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚，辛，壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰，巳、午，未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年．这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴．使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年．A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌解：根据题意，列表如下：2049年是己巳年，往后数9年，可得2058年是戊寅．故选：C．12．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为，则下列结论不正确的是（）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为解：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，内切球半径为棱长的一半，即．∵M、N分别为外接球和内切球上动点，∴，解得：a＝2．即正方体惨长为2，C正确；∴正方体外接球表面积为，A正确；内切球体积为，B正确；线段MN的最大值为，D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则k＝12．解：根据题意，向量，，则，若，则有，解得k＝12，故答案为：12．14．在（x﹣）6展开式中，常数项为﹣20．（用数值表示）解：二项式（x﹣）6＝[x+（﹣x﹣1）]6，其展开式的通项公式为：T r+1＝•x6﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r••x6﹣2r，当6﹣2r＝0时，得r＝3，所以展开式的常数项为：T4＝（﹣1）3•＝﹣20．故答案为：﹣20．15．已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值9．解：由约束条件直线可行域如图，令t＝x+2y，由图可知，当直线t＝x+2y过A时，t有最大值为t＝2，此时z＝3x+2y的最大值为9．故答案为：9．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝+1，则数列{a n}的前16项和S16＝84．解：2（S n+2+S n）＝4S n+1+1，化为，即，∵，∴{a n}为等差数列，公差，∴．故答案为：84．三、解答题（共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝2．（1）若，求角B；（2）若c＝2b，当角B最大时，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以＝＝，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，可得cos B＝＝＝，因为B∈（0，π），可得B＝．（2）在△ABC中，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c＝2b，所以cos B＝≥，当且仅当b＝时取等号，此时B＝，C＝，所以△ABC的面积S＝ab＝＝．18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万．从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示．（1）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差．解：（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2000＝80万．由图2知．年龄在71～80岁的居民签概率为0.7．所以该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为80×0.7＝56万．（2）由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为P＝0.7，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取三人”为事件B，随机变量为X，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为：．数学期望E（X）＝3×0.7＝2.1，方差D（X）＝3×0.7×0.3＝0.63．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O 所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），∴＝（﹣2，2，0），＝（0，0，1），＝（0，2，0），＝（2，0，﹣1），设平面DAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，，即，，令x1＝1得＝（1，0，2），令x2＝1得＝（1，1，0）．∴cos＜＞＝＝＝．∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线AP，BQ的交点为T，求证：点T横坐标为定值．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，根据题意，，解得，所以椭圆的方程为+＝1．（2）证明：由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），F（2，0），设T（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由k TA＝k PA，得＝，k TB＝k QB，得＝，两式相除得＝•，又+＝1，故﹣1＝﹣•＝﹣，故＝﹣，于是＝•＝﹣•，由于直线PQ经过点F，故设直线PQ的方程为x＝my+2，联立椭圆的方程可得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，所以，所以＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝﹣•＝，解得x0＝，所以点T横坐标为定值．21．已知函数f（x）＝e x（x+a），其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x﹣a）﹣x2，讨论函数g（x）零点的个数，并说明理由．解：（1）因为f（x）＝e x（x+a），所以f'（x）＝e x（x+a+1）．………………………………………………………………（1分）由f'（x）＞0，得x＞﹣a﹣1；由f'（x）＜0，得x＜﹣a﹣1．………………………………………………………………所以f（x）的增区间是（﹣a﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣a﹣1）．………………………（2）因为g（x）＝f（x﹣a）﹣x2＝xe x﹣a﹣x2＝x（e x﹣a﹣x）．由g（x）＝0，得x＝0或e x﹣a﹣x＝0．………………………………………………………………………设h（x）＝e x﹣a﹣x，又h（0）＝e﹣a≠0，即x＝0不是h（x）的零点，故只需再讨论函数h（x）零点的个数．因为h'（x）＝e x﹣a﹣1，所以当x∈（﹣∞，a）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．…………………………………………所以当x＝a时，h（x）取得最小值h（a）＝1﹣a．………………………………………①当h（a）＞0，即a＜1时，h（x）＞0，h（x）无零点；…………………………………②当h（a）＝0，即a＝1时，h（x）有唯一零点；…………………………………………③当h（a）＜0，即a＞1时，因为h（0）＝e﹣a＞0，所以h（x）在（﹣∞，a）上有且只有一个零点．……………………………………………令x＝2a，则h（2a）＝e a﹣2a．设φ（a）＝h（2a）＝e a﹣2a（a＞1），则φ'（a）＝e a﹣2＞0，所以φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以，∀a∈（1，+∞），都有φ（a）≥φ（1）＝e﹣2＞0．所以h（2a）＝φ（a）＝e a﹣2a＞0．………………………………………………………所以h（x）在（a，+∞）上有且只有一个零点．所以当a＞1时，h（x）有两个零点．………………………………………………………综上所述，当a＜1时，g（x）有一个零点；当a＝1时，g（x）有两个零点；当a＞1时，g（x）有三个零点．……………………………………………………………（二）选考题：共10．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11＝0．（1）求圆心C的直角坐标；（2）若直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，，求l的斜率．解：（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2代入ρ2+12ρcosθ+11＝0，得x2+y2+12x+11＝0，即（x+6）2+y2＝25，所以圆C的圆心坐标为（﹣6，0）；（2）在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11＝0．于是ρ1+ρ2＝﹣12cosα，ρ1ρ2＝11，，由，得，，tanα＝＝±＝，所以l的斜率为或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝|x﹣a|﹣|2x﹣1|，a≥．（1）当a＝时，解不等式g（x2）＜﹣；（2）对任意x1，x2∈R．若不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，不等式g（x2）＜﹣，即，即，解得x2＞4或x2＜﹣3（舍去），由x2＞4，解得x＜﹣2或x＞2，所以不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）由题意知，只需满足f（x）mix≥g（x）max即可，因为f（x）＝x2+1，所以f（x）min＝1，依题意，当时，g（x）＝，得f（x）min≥g（x）max，得，即，所以，即a的取值范围是[，]．。

高三数学理科第一次模拟试题

2010届高三数学理科第一次模拟试题及答案(新课标版)(考试时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、等比数列}{n a 的首项与公比分别是复数2(i i +是虚数单位)的实部与虚部，则数列}{n a 的前10项的和为A 20B 1210- C 20- D i 2-2、ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量p ()a b =，，q (12)=，。

若q p //，则C ∠角的大小为Ａ6πＢ3π Ｃ2π Ｄ32π 3、设a 、b 分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数。

已知乙所得的点数为2，则方程20x ax b ++=有两个不相等的实数根的概率为A23 B 13 C 12 D 125 4、已知10<<<<a y x ，y x m a a log log +=，则有A 0<mB 10<<mC 21<<mD 2>m 5、已知函数x x f y sin )(=的一部分图象如右图所示，则函数)(x f 可以是A x sin 2B x cos 2C x sin 2-D x cos 2-6、使不等式230x x -<成立的必要不充分条件是A 03x <<B 04x <<C 02x <<D 0x <，或3x >7、设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：① x 、y 、z 均为直线； ② x 、y 是直线，z 是平面；③ z 是直线，x 、y 是平面；④ x 、y 、z 均为平面。

其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是 A ③ ④ B ① ③C ② ③D ① ②8、已知点),(b a P )0(≠ab 是圆O ：222r y x =+内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为2r by ax =+，则A m ∥n 且n 与圆O 相离B m ∥n 且n 与圆O 相交C m 与n 重合且n 与圆O 相离D m ⊥n 且n 与圆O 相离二、填空题：（本题共6小题，每小题5分共30分）9、为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是_____。

宁夏银川一中2024届高三上学期第一次月考数学理科试题及参考答案

银川一中2024届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}1A x x =≤，{}20B x x a =-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(),2-∞D ．(],2-∞2．已知复数z 满足i zz =+-112，则复数z 的虚部是A.-1B.iC.1D.-i3．如图，可以表示函数()f x 的图象的是A ．B ．C ．D ．4．已知a ，b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个充分不必要条件为A ．11a b>B ．ln(1)ln(1)a b +>+C ．33a b >D 11a b ->-5．函数()214log 2y x x =--的单调递增区间为A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞6．的大小关系为则，，设c b a c b a ,,,21(31log 2log 3.02131===A ．b c a <<B ．cb a <<C ．ca b <<D ．ac b <<7．已知函数ay x=，xy b=，log cy x=的图象如图所示，则A．e e ea c b<<B．e e eb a c<<C．e e ea b c<<D．e e eb c a<<8．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a∃∈---+-<”为假命题，则实数x的取值范围为A．[]1,4-B．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦9．已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxx⎧≥⎪==-⎨<⎪⎩，则函数()g x的图象大致是A．B．C．D．10．已知函数()()()314(1)1a x a xf x axx⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数1x，2x且12x x≠，都有[]1212()()()0f x f x x x--<，则实数a的取值范围为A．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知定义在R上的函数()f x在(],2-∞上单调递减，且()2f x+为偶函数，则不等式()()12f x f x->的解集为A．()5,6,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B．()5,1,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭C．5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D．51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知函数()ln1af x xx=++.若对任意1x，(]20,2x∈，且12x x≠，都有()()21211f x f xx x->--，则实数a的取值范围是A．27,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦B．(],2-∞C．27,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．(],8∞-二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分)13．已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ______．14．已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是．15．若函数()21x mf x x +=+在区间[]0,1上的最大值为3，则实数=m _______.16．已知函数()e e 21x x f x x -=--+，则不等式(23)()2f x f x -+>的解集为____________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

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8．如图，三行三列的方阵中有个数，
从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的的概率为__________.
9．若且，则 ____________．
10．一个圆锥形的空杯子上面放着一个球形的冰淇淋，圆锥底的直径与球的直径相同均为，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子的高度最小为____________．
问题①：第2行能否成等差数列？
研究：若成等差数列，则成等差数列，
解得，，此时， = ，
，成等差数列，此时，
问题②：第2列能否成等差数列？研究略.
问题③：第2列能否成等比数列？
问题④：第3行能否成等差数列？
二、13.C 14.D 15.C 16.A
三、17.(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
18.(Ⅰ)
(Ⅱ)
19. (Ⅰ)另一根为
(Ⅱ)设存在实数满足条件，不等式为
的最小值为1，
对恒成立，
即对恒成立，
设
则
解得，
因此存在满足条件.
20. (Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
设存在满足条件的 .
当 Байду номын сангаас解得 .
当 ,解得 .
猜想： .
11.已知命题命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数的范围是____________.
12.设函数表示不超过实数的最大整数，则函数的值域为______________.
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 4分，否则一律得零分．
4．方程实数解的个数是____________．
x
-2
0
2
f(x)
0.694
1
1.44
5．若指数函数的部分对应值如右表：
则不等式的解集为_____________．
6．已知函数是偶函数，则 _____________．
7．等比数列的公比为，前项和为满足，那么的值为____________．
下面用数学归纳法证明：
证明：(1)当时，由上述可知，结论成立，
(2)假设当时，结论成立，即成立，
则时，左边=
即时，结论也成立.
根据(1)(2)可知，对时，结论成立.
因此，存在满足条件.
21. (Ⅰ)
(Ⅱ)若成等比数列，则成等比数列，
，
整理，得
此时，
，成等比数列，此时，
(Ⅲ)(以下根据提出问题的难易及解答情况给分)
②球的面积是它的大圆面积的四倍；
③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.
A.0 B. 1 C. 2 D.3
16.已知且关于的方程有实数根，则的夹角的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
三．解答题（满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）第1、2小题满分各6分.
上海市长宁区高三年级第一次质量调研数学试卷(理).1
一．填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分．
1．不等式的解集为____________．
2．函数的定义域为_____________．
3．函数的单调递增区间为______________．
(1)求方程的另一个根及实数的值；
(2)是否存在实数，使对时，不等式恒成立？若存在，试求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由..
20．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知二次函数对任意满足，且图像经过点及坐标原点.
（1）求函数的解析式；
（2）设数列前项和，求数列的通项公式；
13．如图，为正方体的中心，△ 在该正方体各个面上的射影可能是（）
A. (1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4) D.(2)、(4)
14．设，方程的解集为( )
A． B． C． D．以上都不对
15．下列三个命题中错误的个数是（）
①经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆；
已知向量 .
(1)若求向量的夹角；
(2)当时，求函数的最大值.
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.
直三棱柱中，，且异面直线所成的角等于，设 .(1)求的值； (2)求直线到平面的距离.
19．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知关于的方程的一个根为
(3）对(2)中，设为数列前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.
21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
如图是一个具有行列的数表，第一行是首项为，公比为的等比数列，第一列是首项为，公差为的等差数列，其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写。设表示第行第列的数.
1
q
q2
┅
qn-1
1+d
1+2d
┅
1+(n-1)d
(1)求的表达式；
(2)第二行能否构成等比数列？若能，求出满足的条件；若不能，请说明理由.
(3)请根据这张数表提出一个与问题(2)相类似的问题，并加以研究和解决(根据所提问题的难度及解答情况评分).
参考答案
一、1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.