高三理科数学第一次模拟试题及答案
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8．如图，三行三列的方阵中有 个数 ，
从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的的概率为__________.
9．若 且 ，则 ____________．
10．一个圆锥形的空杯子上面放着一个球形的冰淇淋，圆锥底的直径与球的直径相同均为 ，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子的高度最小为____________．
问题①：第2行能否成等差数列？
研究：若 成等差数列，则 成等差数列，
解得， ，此时， = ，
， 成等差数列，此时，
问题②：第2列能否成等差数列？研究略.
问题③：第2列能否成等比数列？
问题④：第3行能否成等差数列？
二、13.C 14.D 15.C 16.A
三、17.(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
18.(Ⅰ)
(Ⅱ)
19. (Ⅰ)另一根为
(Ⅱ)设存在实数 满足条件，不等式为
的最小值为1，
对 恒成立，
即 对 恒成立，
设
则
解得 ，
因此存在 满足条件.
20. (Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
设存在满足条件的 .
当 Байду номын сангаас解得 .
当 ,解得 .
猜想： .
11.已知命题 命题 ，若命题 是命题 的充分不必要条件，则实数 的范围是____________.
12.设函数 表示不超过实数 的最大整数，则函数 的值域为______________.
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 4分，否则一律得零分．
4．方程 实数解的个数是____________．
x
-2
0
2
f(x)
0.694
1
1.44
5．若指数函数 的部分对应值如右表：
则不等式 的解集为_____________．
6．已知函数 是偶函数，则 _____________．
7．等比数列 的公比为 ，前 项和为 满足 ，那么 的值为____________．
下面用数学归纳法证明：
证明：(1)当 时，由上述可知，结论成立，
(2)假设当 时，结论成立，即 成立，
则 时，左边=
即 时，结论也成立.
根据(1)(2)可知，对 时，结论成立.
因此，存在 满足条件.
21. (Ⅰ)
(Ⅱ)若 成等比数列，则 成等比数列，
，
整理，得
此时，
， 成等比数列，此时，
(Ⅲ)(以下根据提出问题的难易及解答情况给分)
②球的面积是它的大圆面积的四倍；
③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.
A.0 B. 1 C. 2 D.3
16.已知 且关于 的方程 有实数根，则 的夹角的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
三．解答题（满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）第1、2小题满分各6分.
上海市长宁区高三年级第一次质量调研数学试卷(理).1
一．填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分．
1．不等式 的解集为____________．
2．函数 的定义域为_____________．
3．函数 的单调递增区间为______________．
(1)求方程的另一个根及实数 的值；
(2)是否存在实数 ，使对 时，不等式 恒成立？若存在，试求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由..
20．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知二次函数 对任意 满足 ，且图像经过点 及坐标原点.
（1）求函数 的解析式；
（2）设数列 前 项和 ，求数列 的通项公式 ；
13．如图， 为正方体 的中心，△ 在该正方体各个面上的射影可能是（）
A. (1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4) D.(2)、(4)
14．设 ，方程 的解集为( )
A． B． C． D．以上都不对
15．下列三个命题中错误的个数是（）
①经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆；
已知向量 .
(1)若 求向量 的夹角；
(2)当 时，求函数 的最大值.
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.
直三棱柱 中， ，且异面直线 所成的角等于 ，设 .(1)求 的值； (2)求直线 到平面 的距离.
19．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知关于 的方程 的一个根为
(3）对(2)中 ，设 为数列 前 项和，试问：是否存在关于 的整式 ，使得 对于一切不小于 的自然数 恒成立？若存在，写出 的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.
21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
如图是一个具有 行 列的数表，第一行是首项为 ，公比为 的等比数列，第一列是首项为 ，公差为 的等差数列，其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写。设 表示第 行第 列的数.
1
q
q2
┅
qn-1
1+d
1+2d
┅
1+(n-1)d
(1)求 的表达式；
(2)第二行能否构成等比数列？若能，求出 满足的条件；若不能，请说明理由.
(3)请根据这张数表提出一个与问题(2)相类似的问题，并加以研究和解决(根据所提问题的难度及解答情况评分).
参考答案
一、1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的的概率为__________.
9．若 且 ，则 ____________．
10．一个圆锥形的空杯子上面放着一个球形的冰淇淋，圆锥底的直径与球的直径相同均为 ，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子的高度最小为____________．
问题①：第2行能否成等差数列？
研究：若 成等差数列，则 成等差数列，
解得， ，此时， = ，
， 成等差数列，此时，
问题②：第2列能否成等差数列？研究略.
问题③：第2列能否成等比数列？
问题④：第3行能否成等差数列？
二、13.C 14.D 15.C 16.A
三、17.(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
18.(Ⅰ)
(Ⅱ)
19. (Ⅰ)另一根为
(Ⅱ)设存在实数 满足条件，不等式为
的最小值为1，
对 恒成立，
即 对 恒成立，
设
则
解得 ，
因此存在 满足条件.
20. (Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
设存在满足条件的 .
当 Байду номын сангаас解得 .
当 ,解得 .
猜想： .
11.已知命题 命题 ，若命题 是命题 的充分不必要条件，则实数 的范围是____________.
12.设函数 表示不超过实数 的最大整数，则函数 的值域为______________.
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 4分，否则一律得零分．
4．方程 实数解的个数是____________．
x
-2
0
2
f(x)
0.694
1
1.44
5．若指数函数 的部分对应值如右表：
则不等式 的解集为_____________．
6．已知函数 是偶函数，则 _____________．
7．等比数列 的公比为 ，前 项和为 满足 ，那么 的值为____________．
下面用数学归纳法证明：
证明：(1)当 时，由上述可知，结论成立，
(2)假设当 时，结论成立，即 成立，
则 时，左边=
即 时，结论也成立.
根据(1)(2)可知，对 时，结论成立.
因此，存在 满足条件.
21. (Ⅰ)
(Ⅱ)若 成等比数列，则 成等比数列，
，
整理，得
此时，
， 成等比数列，此时，
(Ⅲ)(以下根据提出问题的难易及解答情况给分)
②球的面积是它的大圆面积的四倍；
③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.
A.0 B. 1 C. 2 D.3
16.已知 且关于 的方程 有实数根，则 的夹角的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
三．解答题（满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）第1、2小题满分各6分.
上海市长宁区高三年级第一次质量调研数学试卷(理).1
一．填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分．
1．不等式 的解集为____________．
2．函数 的定义域为_____________．
3．函数 的单调递增区间为______________．
(1)求方程的另一个根及实数 的值；
(2)是否存在实数 ，使对 时，不等式 恒成立？若存在，试求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由..
20．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知二次函数 对任意 满足 ，且图像经过点 及坐标原点.
（1）求函数 的解析式；
（2）设数列 前 项和 ，求数列 的通项公式 ；
13．如图， 为正方体 的中心，△ 在该正方体各个面上的射影可能是（）
A. (1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4) D.(2)、(4)
14．设 ，方程 的解集为( )
A． B． C． D．以上都不对
15．下列三个命题中错误的个数是（）
①经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆；
已知向量 .
(1)若 求向量 的夹角；
(2)当 时，求函数 的最大值.
18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.
直三棱柱 中， ，且异面直线 所成的角等于 ，设 .(1)求 的值； (2)求直线 到平面 的距离.
19．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知关于 的方程 的一个根为
(3）对(2)中 ，设 为数列 前 项和，试问：是否存在关于 的整式 ，使得 对于一切不小于 的自然数 恒成立？若存在，写出 的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.
21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
如图是一个具有 行 列的数表，第一行是首项为 ，公比为 的等比数列，第一列是首项为 ，公差为 的等差数列，其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写。设 表示第 行第 列的数.
1
q
q2
┅
qn-1
1+d
1+2d
┅
1+(n-1)d
(1)求 的表达式；
(2)第二行能否构成等比数列？若能，求出 满足的条件；若不能，请说明理由.
(3)请根据这张数表提出一个与问题(2)相类似的问题，并加以研究和解决(根据所提问题的难度及解答情况评分).
参考答案
一、1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.