一元二次方程的根与系数的关系(教案)

数

学

公

开

课

教

案

黄立亮

濉溪县沈圩学校

时间：2013.4.15

地点：沈圩学校

授课人：黄立亮

18.4一元二次方程的根与系数的关系

【教学目标】

[知识与技能]

1. 使学生掌握反映一元二次方程根与系数关系的定理——韦达定理。

2. 能运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。

[过程与方法]

经历一元二次方程的根与系数的关系的探索过程，进一步培养学生观察、分析、归纳的能力和推理论证的能力。

[情感、态度与价值观]

通过本节课的教学，渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

【教学重点、难点】

1. 重点：一元二次方程的根与系数的关系的探索与应用。

2. 难点：灵活应用一元二次方程的根与系数的关系解题。

【教学过程】

一、导入新课

1. 温故知新

一元二次方程a2x+ b x+ c = 0(a 0)的根的判别式Δ＝b2－4ac，当Δ＞0时，方程

有两个不相等的实数根，分别为a ac b b x 2421-+-=、a

ac

b b x 2422---=；当Δ＝0

时，方程有两个相等的实数根，为a

b

x x 221-==；当Δ＜0时，方程没有实数根。 2. 提出问题

小明同学在做课外习题时遇到这样一个问题：已知方程2x 2－4x －1=0，不解方程，求出方程的两根之和与两根之积。解方程一向熟练的小明纳闷了，不解方程怎么求两根之和与两根之积呢？同学们，你们愿意帮助他吗？当你学完今天的内容就可以帮助他了。今天我们来探讨一元二次方程的根与系数的关系。 二、探索新知 1. 做一做，猜一猜

阅读教材P 34“探究”，填写表格，然后观察根与系数的关系：

根据你的观察，猜想：方程a 2x +b x +c =0(a ≠0)的根若是1x 、2x ，

那么1x +2x =a

b -，1x 2x =

a

c

. 2. 由特殊到一般，证明猜想

由上面三题所得出的结论对其他方程是否也成立呢？如何才能说明这一结论对每一个一元二次方程都能成立呢？

例1 一元二次方程a 2x +b x +c = 0(a ≠0)的两根为1x 、2x ，求1x +2x ，1x 2x .

解：∵当Δ≥0时，方程的两根为a ac b b x 2421-+-=，a

ac

b b x 2422---=

∴1x +2x = a ac b b 242-+- + a ac b b 242--- = a b 22- =a

b

- ；

1x 2x =

a ac

b b 242-+-·a ac

b b 242---＝22224)4()(a a

c b b ---=a

c a ac =244. （归纳）一元二次方程的根与系数的关系是：

韦达定理：如果a 2x +b x +c = 0(a ≠0)的两根为1x 、2x ，

那么1x +2x =a b -，1x 2x =a

c

. 特别地，如果一元二次方程2x +p x +q=0的两根为1x 、2x ，那么1x +2x =p -，

1x 2x =q.

（注意）应用韦达定理时，要先将一元二次方程化成一般形式。 3. 新知应用

（1）直接应用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积： （口答）P 36“练习”第1题。另请一名同学解决“导入”中提出的问题。 （2）应用韦达定理为一元二次方程验根：

先让学生做P 36“练习”第2题的第（5）小题，询问其验根的方法，引导学生认识应用韦达定理为一元二次方程验根的快捷、方便等优点。指出这也是验根的方法之一。 （3）已知一元二次方程的一根，应用韦达定理求另一根和方程的系数：

例2 已知关于x 的方程0422=-+kx x 的一个根是－4，求它的另一根及k 的值。 解：设方程的另一根为2x ，则 2

42k

x -=+- 242-=-x 解得

7

212==k x

答：方程的另一根为

2

1

，k 的值为7. 三、课堂小结，处理练习

请一名学生小结本节课所学内容，另请一名学生上黑板做P 36“练习”第3题。 四、布置作业

P 36“习题18.4”第1、2、3题，第3题作课堂作业。 【板书设计】

18.4 一元二次方程的根与系数的关系

韦达定理：如果a 2x +b x +c =

0(a ≠0)的两根为1x 、

2

x ，那么

1x +2x =a b -

，1x 2x =a

c . 特别地，如果一元二次方程

2x +p x +q=0的两根为1x 、2x ，那么

1x +2x =p -，1x 2x =q.

（注意）1. 应用韦达定理时，要先将

一元二次方程化成一般形式。 2. 计算时要注意符号。

例1一元二次方程a 2x +b x +c = 0(a ≠0)的两根为1x 、2x ，求1x +2x ，1x 2x .

例2已知关于x 的方程0422=-+kx x 的一个根是－4，求它的另一根及k 的值。

【教学反思】通过实例运算让学生找到根与系数的关系符合数学课探究的要求，先是操作实验，其次再去寻求数学证明方法即理论证明，最后在应用于实际解题回归生活。但根与系数的应用前提是一元二次方程必须有解。