高中数学北师大版必修五课件第二章 解三角形 第1节 1-2

即 c2－ 6c＋1＝0，解得 c＝
6＋ 2
2或 c＝
Байду номын сангаас6－ 2
当 c＝
6＋ 2
2时，由余弦定理，
得 cos A＝b2＋2cb2c－a2
2，
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＝2＋ 2×
6＋ 2
2×
62＋2－23＝12. 2
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
当 c＝
6－ 2
2时，由余弦定理，得
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[再练一题] 1．在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
【导学号：67940036】
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【解】
由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B，
∴2＝3＋c2－2
2 3·2 c.
cos C＝a2＋ 2b a2 b －c2＝2
62＋6＋2
32－4
2×2
6×6＋2
3
得 32
cos
A
＝
b2＋c2－a2 2bc
＝
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＝24＋3264＋264＋234＋122－48＝
2 2.
所以 C＝45°.
因为 A＋B＋C＝180°，
所以 B＝180°－45°－30°＝105°.
a ＋b －c (2)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．( ) (3)在△ABC 中，已知 a＝4，b＝6，C＝120°，则 c＝2 17.( )
b2＋c2－a2
2ab 2bc
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【解析】 (1)cos A＝b2＋2cb2c－a2＜0，所以 A 为钝角，即△ABC 为钝角三角 形．
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1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解， 在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入 k，从而转化为 已知三边解三角形．
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝1 2.
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
3)2＋(
6＋
2)2
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(2)由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由正弦定理，得 sin A＝asibn B＝63×12＝1， 所以 A＝90°，C＝60°，当 a＝3 时，A＝30°，C＝120°.
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在△ABC 中， (1)已知 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45° ，求 b 及 A； (2)已知 b＝3，c＝3 3，B＝30° ，求角 A，C 和边 a.
已知两边及一角[小解组合三作角型形]
【精彩点拨】 (1)可直接应用余弦定理求出第三边后，再求 A；
疑问 1：
_____________________________________________________
解惑：
_______________________________________________________
疑问 2：
_____________________________________________________
(2)可以应用余弦定理建立方程，通过解方程求边 a，进而求其他边或角，也
可应用正弦定理求 C，再求 A，a.
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【尝试解答】 (1)由余弦定理， 得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2
－2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
∴b＝2 2.
由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
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已在△知AB三C 中边，解已知三a角＝2形6，b＝6＋2 3，c＝4 3，求角 A、B、C.
【精彩点拨】 值．
解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的
【尝试解答】
由余弦定理
6＋2
32＋4
32－2
2×6＋2
3×4
3
62
＝36＋2448 3＋ 31 ＋ 2＋ 4848－24＝ 23，
∴A＝30° .
a2＋c2－2accosB
余 弦 定 理
推论 作用
cos A＝
；
cos B＝
；
cos C＝
.
实现三角形边与角的互化.
b2＋c2－2bccosA
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22 2
2 2 a ＋2cac－b 2 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC 中，若 a2＞b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形．( )
解惑：
_______________________________________________________
疑问 3：
______________________________________________________
解惑：
_______________________________________________________
1.2 余弦定理
1.2 余弦定理
学
1.2 余弦定理
业分层1.2 余弦定理
测
评
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1．了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三 角形度量问题时的作用．(难点)
2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)
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a2＋b2－2abcosC
(2)cos A＝b2＋2cb2c－a2＞0，所以 A 为锐角，三角形的形状无法确定． (3)由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋62－2×4×6×－12，所以 c＝ 2 19.
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【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑· 手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
6－ 2
2×
62－2－23＝－12. 2
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∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，C＝15°.
故
c＝
6＋ 2
2，A＝60°，C＝75°或 c＝
6－ 2
2，A＝120°，C＝15°.
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