《热力学与统计力学》作业参考答案

《热力学与统计力学》作业参考答案
一. 填空题
1. 非常缓慢，平衡态
2. 不可逆，可逆
3. 一级偏导，二级偏导
4. H=U+PV ，（dQ ）P = dH
5. 不可能将热量从低温物体传到高温物体而不产生任何其他影响
6. S ＝k ln Ω，混乱度
7. 适当，所有热力学性质 8. 永不减少 9.εε
πεεd m h
V d D 2
/12
/33
)
2(2)(=
10.大量的性质完全相同的系统的集合 11. e -α<< 1
12. dS ≥dQ/dT 13. 斜率
)
(12v v T L dT
dP -=
14. 2
15. 力学参量、几何参量、化学参量、电磁参量 16. 不可逆的 可逆的 17. ωl /a l >>1
18. 相等 ， 工作物质无关 19. 强度 ， 广延 20.
εε
πd m h
V 2
/12
/33
)
2(2
21. 粒子在某一时刻的运动状态 系统在某一时刻的运动状态 22. 平方项 kT 21
二. 简述题
1. 近独立粒子的最概然统计包含那三种统计分布？它们各自处理什么系统？试分别举例说明。

近独立粒子的最概然分布包括玻耳兹曼分布、费米分布和玻色分布，它们分别处理定域子系统、费米子系统和玻色系统。

定域子系统的例子有固体等，费米子系统的例子金属中的电子气等，玻色子系统的例子与辐射场等。

2. 试用定性与半定量方法说明电子气的热容量与温度T 成正比，并说明在常温下电子气对金属热容量贡献很小的原委。

(1)由于电子是费米子，遵守泡利不相容原理，所以在常温下只有受热激发跃迁到较高能级上的少数电子对热容量有贡献，设其数量为N 有效，它与总电子数N 之比为
μ
kT
N
N ＝有效，设每个有效电子对能量的贡献为kT 2
3
，
则与温度有关的内能为0
2
2232
3μT Nk kT N U =
=有效
，电子气对热容量的贡献为T C e V ∝。

(2)在常温下, 由于
10
<<μkT
，所以电子气对金属热容量的贡献很小。

3. 大致画出固体热容量随温度变化的曲线（(1)经典理论；(2)爱因斯坦理论；(3)德拜理论），并简述固体的三种理论模型。

曲线如图所示。

(1)经典：固体视为3N 个线性谐振子的集合，遵守能均分定律； (2)爱因斯坦：固体视为3N 个频率相同的线性谐振子的集合，遵守量子规律；
(3)德拜：固体视为3N 个频率不相同的线性谐振子的集合，遵守量子规律。

三. 证明题
1. VdP TdS dH += V P S T P H T
T
+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=V T V T P
+⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂- 2．PdV TdS dU -= V
S U
S
U V U V S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-
=⎪
⎭⎫
⎝⎛∂∂＝0>T
P
3. 1-=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂V T S T S S V V T ； V V T
S
T p C T V S T S T T
V T ⎪
⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂
4. 1-=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂p T
H T H H p p T ; p
T
H T H p H
p T ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂
又， p p
T H C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=; p T
T V T V p H ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂，代入上式后，原题得证。

5. pdV TdS dU -=
T T T p
V
p p S T p U ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂T
p p
V p T V T ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-=
四. 计算题
1. 解：对于光子气体，α＝0， 由B-E 统计有 1
-=
l
e
a l
l βεω
在p-p+dp 内，光子的量子态数为
dp p h
V 2
3
8π 在ω－ω＋d ω内，光子的量子态数为
ωωπd c
V
2
3
2
平均光子数为
1
/2
3
2
-kT
e
d c V
ωω
ωπ
辐射场的内能为 1
),(/3
3
2
-=
kT
e d c V
d T U ωω
ωπωω
2. 解： ω
βωβωβ --∞
=+--=
=
∑e
e
e
Z n n 12
/0
)
2/1(1；
1
323ln 31-+=∂∂-=ω
βωωβ
e
N N
Z N
U
3. 解：T ＝0K 时
f = 1 ε＜μ0
f = 0 ε＞μ0
μ0是0K 是电子的最大能量，由下式确定：
N
d m h
V =⎰
εε
πμ0
2
/13
/23
)
2(4
将上式积分，得
3
/22
0832⎪
⎭
⎫
⎝⎛=V N m h
πμ
4. 解：B A Z Z Z =
2
/32
12!!A A
A
N A A N A N
A A
h kT m N V
N Z Z ⎪⎭⎫
⎝⎛==π
2
/32
12!!B B
B
N B B N B N
B B
h kT m N V
N Z Z ⎪⎭⎫ ⎝⎛==π
由B A Z Z Z ln ln ln +=和Z V
kT
p ln ∂∂=，得
kT N N pV B A )(+=
5. 解：3
/2212⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=h m
V Z βπ
利用热力学得，l Z N
U ln β
∂∂-=＝3NkT ；
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+=Z Z Nk S l ln ln ββ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=2
2ln 123ln ln 23h mk Nk V Nk T Nk π 和 l Z V
N p ln ∂∂
=
βV
NkT =
6. 解：在极端相对论条件下，电子的动量能量关系为ε＝c p 。

在体积V 内，能量在ε到ε+d ε范围内，电子的量子态数为 εεπεεd )
(8d )(2
3
ch V g =
考虑到T =0K 时的电子分布函数 f ＝1 ε≤μ0
f ＝0 ε≥μ
费米能量由下式决定
⎰
⎰
∞
∞
=
=
d )(d )()(εεεεεg g f N 300
3
2
3
3
1)(8)
(80
μπεεπμ⎰=
=
ch V d ch V
由上式得
3
/1083⎪
⎭
⎫
⎝⎛=V N hc πμ
T =0K 是系统的内能为
⎰⎰=
=
∞
0d )(d )()(με
εεε
εεεg g f U 02
03
3
3
4
34
1)
(8d )
(80
μμπεε
πμN ch V ch V =
=
=
⎰
7. 解：∑∑∞
=--
∞
=+
-==
1
2
11
)2
1(1n n n n e
e
e
Z ω
βω
βω
β ω
βωβ ---=e
e
12
1
8. 解：2
2)()(s s
s
E E E E -=
-∑ρ
)2(2
2
E E E s s s s
+-=
∑ρ
2
2
)(E E
-=
对于正则分布
∑∑∑∑-----
=∂∂-
=∂∂s
E s E s
s
E s E s
s
s
s
s
e
e
E
e
e
E
E βββββ
β
2[
]2
22
2
)
()
()
(E E e
e E s
E s
E s s
s
--=+
∑∑--ββ
所以
V
C kT T
E kT
E E E 2
2
2
)(=∂∂=∂∂-
=-β
对于单原子理想气体，Nk C V 2
3=
，所以
2
2
2
2
2
3)
(T
Nk C kT E E V =
=-。