第5章 板壳问题的有限元法

16
协调性要求 协调单元 满足协调性要求的单元称为 满足协调性要求的单元称为协调单元 收敛的充要条件 w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3
+ α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3 + α11 x 3 y + α12 xy 3
− 2
h
M xy = ∫ h2 τ xy zdz
− 2
h
{M } = ∫
2 −h 2
h
h {σ }zdz = [D p ]{κ } = [D ]{κ } 12
薄板弯曲的弹性矩阵
11
3
薄板弯曲的应变能 弹性应变能 T 1 1 U = ∫ (σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy )dV = ∫ {ε } {σ }dV 2V 2V ⎧ ∂2w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ x ⎪ ⎪ ∂2 ⎪ ∂ w ⎪ {σ } = D p {ε } = D p {κ }z {ε } = z ⎨ − 2 ⎬ = z{κ } ∂y ⎪ ⎪ T 1 ∂2w ⎪ U = ∫ {κ } [D p ]{κ }z 2 dV ⎪ 2V ⎪− 2 ∂x∂y ⎪ ⎩ ⎭ T 1 = ∫ {κ } [D ]{κ }dS
∂w 法向导数θ x = ∂y 是x的三次函数，假定
θx = γ1 + γ 2x + γ 3x + γ 4x
2
3
由节点1和节点2处只能提供 θx1,θx2 两个相邻单元在边界上的法向导数的连续性 不能保证。 这种位移函数的矩形单元为非协调单元。
20
三、三角形薄板单元
位移函数 自由度：9个 完整的三次多项式 w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3
∂ N x1 ∂x 2 ∂ 2 N x1 ∂y 2 ∂ 2 N x1 ∂x∂y
单元内位移函数是连续的。 位移函数的前三项反映刚体位移
w = α1 --单元沿z方向的刚体位移；
∂w θx = = α 3 θ y = − ∂w = −α 2 --单元绕x轴和y轴的刚体位移。 ∂y ∂x
17
位移函数的二次项反映了单元的常应变。 常应变是指常曲率与常扭曲率。
∂2w κ x = − 2 = −2α 4 ∂x
15
。单元 在单元内，位移函数必须包括刚体位移项 在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。单元 内任一点的位移包括形变位移和刚体位移。 完备性条件 满足完备性条件的单元――完备单元 收敛的必要条件 。对 位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调 位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。对 一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有 相同位移，而且沿单元边界也有相同位移，以保证不 发生单元的相互脱离和侵入重叠。协调性保证了相邻 单元边界位移的连续性。在板壳的相邻单元间，还要 求位移的一阶导数连续。
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第三节 薄板弯曲问题的有限元法
一、离散化
通常薄板离散成四边形或三角形单元，它们通 过节点互相连接，由于相邻单元有力矩传递，所以 将节点看成是刚节点。
二、矩形薄板单元
位移函数 自由度：12个 薄板的变形取决于 Z向的挠度w，而w只是x，y的函数
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w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3
[ ]
[ ]
2S
12
二、板的横向剪切变形理论
薄板理论忽略了横向剪切变形的影响。 ： 分析表明 分析表明： 当h/b小于0.1时，横向正应力和切应力可以忽略。 当h/b大等于0.1时，必须考虑横向剪切的影响--。 厚板理论 厚板理论。 工程上常用的中厚板理论： 汉凯—麦德林一阶剪切变形理论。 卡罗姆-莱迪简单高阶剪切变形理论。 板的横向剪切变形理论假定：原来垂直于板中面 的直线在变形后仍保持直线，但由于横向剪切的 的影响 ，不一定垂直于变形后的中面。
∂ w κ y = − 2 = −2α 6 ∂y ∂2w κ xy = − = −2α 5 ∂x∂y
2
} 反映x，y方向的常曲率状态
反映x，y方向的常扭曲率状态
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相邻单元公共边界上位移的协调性分析 在1-2边上
y = −b
w是x的三次函数，假定
w = β1 + β 2 x + β 3 x 2 + β 4 x 3
{κ } = [B ]{δ }
∂ 2 N y1 ∂x 2 ∂ 2 N y1 ∂y 2 ∂ 2 N y1 ∂x∂y ∂ N2 ∂x 2 ∂2 N2 ∂y 2 ∂2 N2 ∂x∂y
2⎢∂ ⎢ ∂ 2 N1 [B] = − ⎢ 2 ∂y ⎢ 2 应变矩阵 ⎢ ∂ N1 ⎢ ∂x∂y ⎣
+ α 7 x 3 + α 8 ( x 2 y + xy 2 ) + α 9 y 3 =1 x
2
2
y xy = [P ( x, y )]{α }
[
x2
y2
x3
x 2 y + xy 2
y 3 {α }
]
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将3个节点的坐标代入
{δ } = [G ]{α }
e
−1
{α } = [G ]−1{δ }e
w = [P ( x, y )]{α } = [P ( x, y )][G ] {δ } = [N ]{δ }
考虑第二个假设
∂w u = −z ∂x ∂w v = −z ∂y
4
平面问题的几何方程
∂u εx = ∂x ∂ w ε x = −z 2 ∂x
2
∂v εy = ∂y
γ xy
∂u ∂v = + ∂y ∂x
几何方程 薄板 薄板几何方程
∂2w ε y = −z 2 ∂y
γ xy
∂2w = −2 z ∂x∂y
e e
其中：
[N ] = [P( x, y )][G ]−1
= N1
[
N x1
N y1
N2
N x2
N y2
N3
N x3
N y3 ]
形函数
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⎧ ∂2w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ x ⎪ ⎧ κ x ⎫ ⎪ ∂2 ⎪ ⎪ ⎪ ∂ w ⎪ {κ } = ⎨ κ y ⎬ = ⎨ − 2 ⎬ ⎪κ ⎪ ⎪ ∂y2 ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎪ ∂ w⎪ ⎪− 2 ∂x∂y ⎪ ⎩ ⎭
+ α 8 x y + α 9 xy + α10 y + α11 x y + α12 xy
2 2 3 3 3
位移函数的收敛性分析 有限元的收敛条件包括 单元内位移函数必须连续 。多项式是单值连续函 单元内位移函数必须连续。多项式是单值连续函 数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续 性能够保障。 。当单元 在单元内，位移函数必须包括常应变项 在单元内，位移函数必须包括常应变项。当单元 的尺寸足够小时，单元内各点的应变趋于相等，常应 变成为主要的应变。
3
由第一个假设有 εz = 0
∂w εz = =0 ∂z
薄板的挠度为 w = w( x, y ) 又因为
γ zx = γ yz = 0
γ yz
∂w ∂v = + =0 ∂y ∂z
∂u ∂w γ zx = + =0 ∂z ∂x ∂w u = −z + u 0 ( x, y ) ∂x
∂w v = −z + v0 ( x, y ) ∂y
+ α 7 x 2 y + α 8 xy 2 + α 9 y 3
y x2 = [P ( x, y )]{α }
=1 x
[
y2
x3
x2 y
xy 2
y 3 {α }
]
其中： T {α } = {α1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 α 8 α 9 }
w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy + α 5 x + α 6 y
由节点1和节点2处的节点位移
w1 , w2
由节点1和节点2处的节点切向转角
∂w θ y1 = −( )1 ∂x
θ y2
∂w = −( ) 2 ∂x
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唯一确定四个待定系数。 以12为公共边的相邻单元来说，在两个节点处 节点位移和切向转角都相同，所以确定完全相 同的挠度方程，也就是说，在公共边界上挠度 连续，切向转角连续。
∂w = − zθ x ∂y
w = w( x, y )
薄板内具有相同x，y的点的 w,θ x , θ y 相同。
7
位移向量 为 中面上一点的 中面上一点的位移向量 位移向量为
⎧ ⎫ ⎪ w ⎪ ⎧w⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂w ⎪ { f } = ⎨θ x ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪θ ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎩ y ⎭ ⎪ ∂w ⎪ − ⎪ ⎪ ⎩ ∂x ⎭
写成矩阵形式
⎧ ∂2w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ x ⎪ ⎪ ∂2 ⎪ ∂ w ⎪ {ε } = z ⎨ − 2 ⎬ = z{κ } ⎪ ∂y2 ⎪ ∂ w⎪ ⎪ ⎪− 2 ∂x∂y ⎪ ⎩ ⎭
5
其中：
⎧ ∂2w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ x ⎪ ⎧ κ x ⎫ ⎪ ∂2 ⎪ ⎪ ⎪ ∂ w ⎪ {κ } = ⎨ κ y ⎬ = ⎨ − 2 ⎬ ⎪κ ⎪ ⎪ ∂y2 ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎪ ∂ w⎪ ⎪− 2 ∂x∂y ⎪ ⎩ ⎭
2
第二节 板的理论基础
一、弹性力学的薄板理论
薄板小挠度问题：薄板发生弯曲变形时，板的最大 弯曲挠度远小于板的厚度。 基本假设—克西霍夫-勒夫假设： 变形前与中面垂直的直线，变形后仍是垂直于其中 面的直线，且线段长度保持不变---直法线假设。 薄板中面内各点没有平行于中面的位移，即中面内 任意点沿x和y方向的位移为零。只有沿中面法线方 向的挠度，且可认为同一厚度各点的挠度相等。 应力分量 σ z ，远小于其他分量，并取 σ z = 0 平面应力状态 。 近似处于平面应力状态 平面应力状态。 --近似处于
构造薄板的位移函数归结为构造 w( x, y ) 。
8
物理方程
E E E γ xy (ε y + µε x ) τ xy = σx = (ε x + µε y ) σ y = 2 2 1− µ 2(1 + µ ) 1− µ
Ez ∂ 2 w ∂2w Ez σx = − ( 2 +µ 2 )= (κ x + µκ y ) 2 2 1 − µ ∂x ∂y 1− µ
[ ]
平面应力问题的弹性矩阵
[ ]
⎡ ⎢1 E ⎢ Dp = µ 2 1− µ ⎢ ⎢0 ⎣
⎤ µ 0 ⎥ 1 0 ⎥ ⎥ 1− µ ⎥ 0 2 ⎦
中面没有面内应力和应变。板内各点应力和应变 与z成正比例关系，沿厚度方向成线性变化。
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板横截面上的弯矩
M x = ∫ h2 σ x zdz
− 2
h
M y = ∫ h2 σ y zdz
Ez ∂ 2 w ∂2w Ez σy =− ( 2 +µ 2 )= (κ y + µκ x ) 2 2 1 − µ ∂y ∂x 1− µ
Ez ∂ 2 w Ez τ xy = − =− κ xy 1 + µ ∂x∂y 1+ µ
9
写成矩阵形式 {σ } = D p {ε } = D p {κ }z
[ ]
+ α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3
前三项表示刚体位移，二次项反映常应变---必须 保留，以满足收敛的必要条件。 只能从4个三次项中 选择3个。为了保持对于x， y的对称性，选择如下的位移函数
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w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 y 2 + α 6 x 3
---薄板的广义应变
κx
--弹性曲面在x方向的曲率； --弹性曲面在y方向的曲率；
κy
κ xy --弹性曲面在x-y平面的扭曲率；
6
∂w θy = − ---弹性曲面绕y轴的转角； ∂x
∂w θx = ∂y
---弹性曲面绕x轴的转角；
板内任意点的位移为
∂w u = −z = zθ y ∂x
v = −z
第五章 板壳问题的有限元法
1
第一节 板壳问题的有限元概述
：构件两个方向的尺寸为同一数量级， 二维板件 二维板件：构件两个方向的尺寸为同一数量级， 另一个方向的尺寸小一数量级。 弯曲板 ：板受到任意载荷的作用，既有面内载荷， 弯曲板：板受到任意载荷的作用，既有面内载荷， 又有垂直于板面的载荷，板处于弯曲状态。 ：板仅受到面内作用的载荷，则板处于 平面应力板 平面应力板：板仅受到面内作用的载荷，则板处于 平面应力状态。 ：由两个曲面限定的物体，两个曲面之间的 壳体 壳体：由两个曲面限定的物体，两个曲面之间的 距离比物体的其它尺寸小得多。 ：两个曲面。 壳面 壳面：两个曲面。 ：距两壳面等距离的点构成的曲面。 壳中面 壳中面：距两壳面等距离的点构成的曲面。 ：中面的法线被壳体截断的长度。 壳体的厚度 壳体的厚度：中面的法线被壳体截断的长度。