八年级上册数学-完全平方公式
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即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,
加(或减)它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的 面积说明完全平方公式吗?
b a a b a b a b
图 15.3--2
图15.3-3
例3 运用完全平方公式计算:
(1)
(4m+n)2;
(a-b)2与a2-b2相等吗?
为什么?
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(3) (-2x+5)2;
(2) (y-5)2;
(4) ( xy)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正?
(1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a – b) 2 =a2 – b2.
a+(b+c) = a+b+c;
a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a–(b+c).
添括号时,如果括号前面是正号,括 到括号里的各项都不变号;如果括 号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号.
例5 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2Χ100Χ1+12
Байду номын сангаас= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗?
解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. (2)(a + b +c ) 2 = [ ( a +b ) + c ] 2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项: (1) a + b + c = a + ( (2) a – b – c = a – ( (3) a - b + c = a – ( ); ); );
能否用去括 号法则检查 添括号是否 正确?
(4) a + b + c = a - (
).
2.运用乘法公式计算:
(1) (a + 2b – 1 ) 2 ;
(2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
3.如图,一块直径为a+b的圆形钢板,从 中挖去直径分别为a与b的两个圆,求剩 下的钢板的面积.
(2) (y-
1 2 ). 2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
= 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
1 = y2-y + 4
例4
运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
15.2.2 完全平方公式
15.2.2 完全平方公式
探究
计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2
2+2p+1 P = (p+1) (p+1) = ______
m2+4m+4 (2)(m+2)2= _________;
P2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
加(或减)它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的 面积说明完全平方公式吗?
b a a b a b a b
图 15.3--2
图15.3-3
例3 运用完全平方公式计算:
(1)
(4m+n)2;
(a-b)2与a2-b2相等吗?
为什么?
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(3) (-2x+5)2;
(2) (y-5)2;
(4) ( xy)2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正?
(1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a – b) 2 =a2 – b2.
a+(b+c) = a+b+c;
a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a–(b+c).
添括号时,如果括号前面是正号,括 到括号里的各项都不变号;如果括 号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号.
例5 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2Χ100Χ1+12
Байду номын сангаас= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗?
解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. (2)(a + b +c ) 2 = [ ( a +b ) + c ] 2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项: (1) a + b + c = a + ( (2) a – b – c = a – ( (3) a - b + c = a – ( ); ); );
能否用去括 号法则检查 添括号是否 正确?
(4) a + b + c = a - (
).
2.运用乘法公式计算:
(1) (a + 2b – 1 ) 2 ;
(2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
3.如图,一块直径为a+b的圆形钢板,从 中挖去直径分别为a与b的两个圆,求剩 下的钢板的面积.
(2) (y-
1 2 ). 2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2
= 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
1 = y2-y + 4
例4
运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
15.2.2 完全平方公式
15.2.2 完全平方公式
探究
计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2
2+2p+1 P = (p+1) (p+1) = ______
m2+4m+4 (2)(m+2)2= _________;
P2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;