复旦固体物理讲义-11倒格子(优选.)

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倒格子
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上讲回顾
•用轨道物理学理解晶体中原子近程结构
*原子轨道之间相互作用由原子轨道角分布决定*为适应周围化学环境，与邻近原子成键，原子轨道可以杂化(重组) 以适应环境 杂化最大方向由价电子数、配位、键上电子转移等共同决定*键合分类：离子、共价、金属、分子和氢键
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本讲内容
•在k 空间看晶体结构
*倒格子(r e c i p r o c a l l a t t i c e )
倒格子基矢*正格子(d i r e c t l a t t i c e )和倒格子之间的关系
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第11讲、倒格子
1.为什么倒空间？
2.晶格的F o u r i e r 变换
3.倒格子
4.二维倒格子
5.正、倒格子对应关系
6.重要的例子
7.B r i l l i o u n 区
8.X 射线晶体衍射实验
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1、为什么倒空间(r e c i p r o c a l s p a c e )？
•一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写
*坐标表象r ，动量表象k
•为什么选择不同的表象？
*适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但k 守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单
•正空间的格矢(R l )描写周期性；在动量空间？
•这两个空间完全是等价的
*只是一个变换
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看格点的F o u r i e r 变换？
•数学上如何用一个函数来描写格点？•δ函数！()
∑-=l
l R R r r δρ)(•对这个函数进行F o u r i e r 变换
()()∑∑⎰⎰∙-∙-∙-=-==l
l
l
i i l i e
d e
d e
R R k R r k r
k r R r r r k δρρ)(•格点满足平移周期性，则有K h 满足
m
l h π2=∙R K •那么乘上不变因子()∑∑∙--∙-==l
l
h l
l
i i e
e
R R K k R R k k ρ
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•这告诉了我们什么信息，K h 对应什么？•坐标空间里，δ(r -R l )函数表示在R l 的格点，当满足上述条件时，其F o u r i e r 变换也是δ(k -K h )函数，表示的是倒空间里的一个点！•后面会知道，这些点就是倒格点，K h 即倒格矢
*或者说前面K h 与R l 的关系定义了倒格矢，满足上述条件矢量就是倒格矢←→格矢*K h 的量纲为R l 的倒数
•利用P o i s s o n 求和公式，即可得()()
∑∑-==∙--h
l l
h h i e K R R K k k K k δρ•即当矢量K h 与R l 乘积是2π的整数倍时，在坐
标空间R l 处的δ函数的F o u r i e r 变换为在动量空间以K h 为中心的δ函数！
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3、倒格子(r e c i p r o c a l l a t t i c e )
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=∙l
h i e R K 为整数
m m l h ,2π=∙R K •因此，B r a v a i s 格子也称为正格子(d i r e c t l a t t i c e )•等价关系：知道K h ，就知道R l ；反过来也一样•它们满足F o u r i e r 变换关系，因此，倒空间也称F o u r i e r 空间
•定义：对B r a v a i s 格子中所有的格矢R l ，有一系列动量空间矢量K h ，满足的全部端点K h 的集合，构成该B r a v a i s 格子的倒格子，这些点称为倒格点，K h 称为倒格矢
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倒格子基矢
•对正格子
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32211a a a R l l l l ++=•如果选择一组b ，使
3
32211b b b K h h h h ++=•那么矢量K 就可由b 组成
i j
j i πδ2=⋅a b m
l l l h h h l h π2332211=⋅+⋅+⋅=⋅a K a K a K R K •有•它满足上述关系，因此K h 具有平移对称性
→可用基矢和整数表示的平移周期性→K h 定义倒空间的B r a v a i s 格子，b i 就是倒格子基矢
•K h 为倒格矢——K h 所有的端点即为倒格点
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等价的周期性
•如果K h 是倒格矢，那么物理量的F o u r i e r 级数在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性
∑+∙=+h
i l l h h e
F F )
()(R r K K R r )
(r r
K K F e F h
i h h ==∑∙
是哪个晶面？互质？它属于哪族晶面？
*是红色的这个晶面。

其密勒指数是什么？*基矢轴截取为1/2, ∞, ∞*其倒数的互质整数(200)*为何不写成(100)？*同属密勒指数为(100)(绿
这个晶面的面间距？
以原胞基矢为单位，这个晶面截取的是
*1, 1, ∞
*其倒数互质成最小整数则为(110)
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6、重要的例子
•简单立方结构：s c •面心立方结构：f c c •体心立方结构：b c c
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7、B r i l l i o u n 区——倒空间的原胞
•倒空间中的W i g n e r -S e i t z 原胞•为什么引入B r i l l i o u n 区？
*下一讲会知道，这样定义的B r i l l i o u n 区，它的边界面满足B r a g g 反射条件*第3章会知道，这样定义的B r i l l i o u n 区，它的边界面有特别意义
h t
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体心立方的第一布里渊区
•倒格子呈面心立方•对顶角的倒格点来说，最近邻的倒格点即12个面心格点，所以最短的倒格矢显然是指向12个面心格点的矢量，它们的中垂面截成正十二面体，正好是倒空间原胞的体积
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本讲要点
•倒格子的意义•倒格子
*倒格子基矢*倒格矢*B r i l l i o u n 区(倒空间原胞)
•正格子和倒格子之间的关系
*互为正、倒*与晶面正交*几何关系：倒格点←→晶面→
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概念要点
•倒格子•B r i l l i o u n 区
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t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子41下讲预告：观察晶体结构的理论和实验•实验观
察晶体周期性结构•晶体衍射理论•晶体衍射的实验方法
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t p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子42思考问题
•倒格子是否保持其正格子的宏观对称性？
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p ://10.107.0.68/~j g c h e /倒格子43习题10.试确定二维蜂窝结构的倒格子基矢，并作它的第一布里渊区。