高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化

高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化

一.专题综述

以选择题或者填空题的形式，以等差数列、等比数列为背景考查数学文化相关知识，意在考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力等.

预测：以等差数列为题材考查数列中的文化

二．回顾高考

【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

【答案】B

【解析】

三．典例分析

例1. (2017·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.( ) A.12 B.815

C.1631

D.1629

【答案】D

【解析】 每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d ，则一月织布总

数为S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629

. 例2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )

A.192里

B.96里

C.48里

D.24里 【答案】B

【解析】依题意，6天中每天行走的路程构成一个等比数列，记为{a n }，其中公比q ＝12

. 由题设有a 1⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192.

则a 2＝a 1q ＝192×12

＝96. 所以第二天走了96里.

【规律总结】

1.我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差数列，等比数列问题.

2.两题以传统数学文化为载体考查数学的实际应用，求解的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立数列模型，进行数列的基本计算，利用方程思想求解.

四．强化训练

1. (2017·石家庄调研)朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为f 1，第七个音的频率为f

2.则f 2f 1＝( ) A.32 B.1116 C.4

122 D.82 【答案】A

2. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是__________．

【答案】6

【解析】设等差数列{}n a ,首项1a ,公差为3,则515453602

S a ⨯=+

⨯=,解得16a =,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6,故填

6.

3. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢.”其意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里;驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后，返回去迎驽马.多少天后两马相遇.”利用我们所学的知识，可知离开长安后的第______天，两马相逢.

【答案】16

4. 明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有（ ）

A. 3盏灯

B. 192盏灯

C. 195盏灯

D. 200盏灯

【答案】C

【解析】设顶层的灯数为1a ，公比为d ， 7n = ， ()7

171238112a S -==- ，解得1

3a = ，底层为 667132192a a q ==⨯= ，所以17195a a += 盏灯，故选C.

5. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）

A. 48里

B. 24里

C. 12里

D. 6里

【答案】C

【解析】设第一天走的路程为1a 里，则611[12378112

a ⎛⎤⎛⎫- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦=-， 1192a =， 所以4451111921222a a ⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，故选C ． 6. 【2018辽宁省实验中学分校模拟】在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。”则下列说法错误的是（ ）

A. 此人第二天走了九十六里路

B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.

C. 此人第三天走的路程占全程的

18

D. 此人后三天共走了42里路 【答案】C 7．【2018内蒙呼和浩特质量普查】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数，具体数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，已知数列{}n a 为“斐波那契”数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2017a m =，则2015S = ( )

A. 2m

B.

212m - C. 1m + D. 1m - 【答案】D

【解析】211121n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++----=+=++=+++ 1232...n n n n n a a a a a ----=++++=12321+...1=1n n n n n a a a a a a S ---=+++++++,2015201711S a m ∴=-=-，故选D.

8. 【2018宁夏育才中学模拟】我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第一天走的路程为（ ）

A. 192里

B. 96里

C. 63里

D. 6里

【答案】

A