第六章z变换.

第六章z 变换、离散时间系统的z 域分析

基本要求

通过本章的学习，学生应该理解z 变换的定义、收敛域（ROC ）的概念；掌握z 变换的性质，z 变换及逆z 变换的计算方法，以及离散系统的z 域分析法。深刻理解系统函数）（z H 及

）

（z H 与离散系统因果性、稳定性的关系，离散系统的频率响应）（jw

e H 。能绘制系统的幅频响应、相频响应曲线。

知识要点

（1） 定义

(),z X()[()]()z n

n n x n z x x n x n z ξ∞--∞

∞

-=⎧⎪⎪==⎨⎪⎪⎩∑∑双边变换，单边变换

若()()()x n x n u n =，则

()x n 的单边z 变换()x n =的双边z 变换

（2）z 变换的收敛域

①一般地，双边序列()x n 的X()z ，其收敛域为z 平面上以原点为中心的圆环内部，即

12R R x x z <<；

②有限长序列()x n 的X()z ，其收敛域为整数个z 平面，即0z <<∞，也包括0z =或

z =∞；

③右边序列()x n 的X()z ，其收敛域为某圆的外部，即1R x z <<∞，也可能包括

z =∞；

④左边序列()x n 的X()z ，其收敛域为某圆的内部，即20R x z <<，可能包括0z =； （2） 典型序列的z 变换

[()]1n ξδ=， 0z ≤≤∞ [()]1

z

u n z ξ=

-， 1z > 2

[()](1)

z

nu n z ξ=

-， 1z > [()]u

z

a u n z a

ξ=

-， z a >

00

[()]n

jw jw z e

u n z e

ξ=

-， 01jw

z e >=

（4）逆z 变换

①围线积分法（留数法）

1()Re s[X(z)z ]m

n z z m

x n -==∑

式中Res 表示极点的留数，m z 为1

X(z)z

n -的极点。

计算s 阶极点m z 的留数公式为

11

111Re s[X(z)z

][()()](1)!m

m

s n s n z z m s z z d z z X z z s dz ---=-=⎧⎫⎪⎪=-⎨

⎬-⎪⎪⎭⎩

②幂级数展开法（长除法） ()

X(z)=

()

N z D z ()N z 除以()D z ，将F(z)展开成1z -的幂级数。

注意：若原序列()x n 为右边序列，则将()N z 、()D z 按z 的降幂排序；若原序列()x n 为左边序列，则将()N z 、()D z 按z 的升幂排列。 ③部分分式展开法

当X(z)为z 的有理函数时，可先将

()

X z z

展成一些简单常见的部分分式之和，然后每个分式乘以z ，再对各个分式求逆变换，最后相加即可得()x n 。 （5）z 变换的基本性质 设[()]()x n X z ξ=， 12x x R z R <<

[()]()y n y z ξ=， 12y y R z R <<

① 线性

[()()]()()ax n by n aX z bY z ξ+=+ （a ，b 为常数）

1,122max()min(,)x y x y R R z R R <<

② 位移法 双边z 变换

[()]()m x n m z X z ξ±±=，Roc 不变

单边z 变换

1

[()][()()]m

k

k m x n m z X z x k z

ξ---=--=+

∑， Roc 不变

10

[()][()()]m m

k k x n m z X z x k z ξ--=+=-∑， Roc 不变

③ 序列线性加权（z 域微分）

[()]()d

nx n z

X z dz

ξ=-，Roc 不变 ④ 序列指数加权（z 域尺度变换）

[()]n z a x n X a ξ⎛⎫

=⎪ ⎭

⎝， 12x x a R z a R <<

⑤ 初值定理

(0)lim()x x z →∞

=

条件：()x n 是因果序列。 ⑥ 终值定理

1

()lim[(1)()]z x z X z →∞=-

条件：()X z 的极点必须处在单位圈内，在单位圈上只能位于1z =点且只是一阶极点。 ⑦ 时域卷积定理

[()()]()()x n y n X z Y z ξ*=⋅

1122max(,)min(,)x y x y R R z R R <<

⑧ 序列相乘（z 域卷积）

111

[()()]()()2c z

x n y n X Y v v dv j v ξπ-⋅=

⎰Ñ

121()()2c z X v Y v dv j v π-=

⎰Ñ

1122x y x y R R z R R <<

其中1C ，2C 分别为()z

X v

与()Y v 或()X v 与()z Y v

收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线。

（6）z 变换与拉氏变换的关系

[()]()|()sT

z e x nT X z X s ξ===