函数方程几种具体办法

函数方程

三、求解函数方程的几种方法：

函数方程的变化多，求解技巧性很强，往往涉及不同领域的数学知识，特别

是附加了条件的函数，更是五花八门，各有巧妙。在高数数学各级竞赛中，都有

可能会遇到函数方程的问题，在这里我们介绍几种典型的求解函数的方法。

一．代换法

1．解函数方程： (1)

解：令；则，将此代入（1）可得：

或 。 (2)

此时(1)及(2)并无法解出；所以我们再令；则，将此代入（1）式则可得， 即。 (3)

将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以为独立变数的三元一次方程组；我们利用消去

法来解此问题． (1)+(3)－(2)可得：。

经检验是原函数方程的解．

2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数，使得

对任意实数x 、y 均成立。

解：将原方程变形为：， (x , ①

令，则①等价于，(x , ②

在②中令得这表明。

1）若，则；

2）若，在②式中令得：，即。 ③

考虑函数，它的导函数，则，于是可知有两根和，于是③式等价于或。 , c

为满足的常量）

假设存在使，则，∴

或1，∴矛盾，因此，∴

综上知：

说明：代换法是解函数方程最基本方法，很多函数方程中所特有的性质是通

过代换法去发现的。本题也是通过代换法打开了解题的思路。

二．柯西法

1．设为定义在实数集R 上的单调连续函数，试解函数方程。

解：由用归纳法得：。

当时，有 。①

若，，令，得，在①式中令得：

因定义在实数集R 上，n 是偶数时，必有，这样，∴

若m 为正整数，利用上式得：，

在原方程中，令有：，因单调不恒为0，∴。

在原方程中，令有(n , ，则有， 即，(又因为有意义，∴。这样，我们便在有理数集内求得了函数方程。

又因单调，不能恒为1，则为指数函数。

当为无理数，设且a i , b i 为无限接近于的有理数，则由单调知，

∴原方程的解为。

说明：柯西法是由解柯西方程而归纳出来的方法。

2．试求定义在有理数集并且在有理数集上取值的函数，设

（1） （2）。求函数。

解：令由（2）得。 ①

将代入①，化简得。 ②

当时，有， ③

由②得

即 。 ④ 由③、④有：。 ⑤

在⑤中，令，得。 ⑥

对于任意的有理数在（2）中，令得。由⑤、⑥有

由此得 ，故所求的函数是

三．用函数迭代法解方程

1．求解函数方程：。

解：设，则并且，

，于是原方程变为：。 ①

令得：， ②

令得：， ③

令得：， ④

由①②③④得：，

∴

说明：利用函数迭代解决函数方程问题有立竿见影的效果。

2．试求所有的函数，使得对任意，都有

解：令，则有，从而。

在上式中用代替x ，则可知，于是有

，从而有或。

验证可知，这两个函数都是方程的解。

3．设 ，找出使：

．

解：当时，设也在中，也

在中，那么以后都用即，，

对于 我们有：

验证：是对的．

评注：在应用迭代法时，几个常用的迭代结果是有用的：

，．

四．特值探索推导法

1.（2008年IMO第4题）求所有的函数满足对所有的正实数，x, y, z，都有：

解：令得：，对任意令，，得：，去分母整理：，所以对每个有或者。①若存在b, ，使得，，则由①知，b, c都不等于1。且，，令，，，则，所以。又因或

者；若则矛盾；

若，则矛盾。

所以经检验满足。

2．已知是定义在自然数上的函数，满足且对任意有

，求．

解：在原函数方程中，令且利用得

整理得。令得：

……，将上述各式相加，得

将代入后整理得

故所求函数为

易验证满足原函数方程．

评注：当是定义在自然数集上的函数（实际上是通项为的数列）时，可根据题中所给的函数方程，通过取特殊值得到关于的递推关系，然后根据递推关系求出．

3．有界函数，且有：求

解：令有解得或

（1），令有，；

（2），令有即，故为偶函数．

再令有：．先证对于一切

若有某个整数使则

为整数且越来越大，必将这与题设相矛盾，故不成立．为整数且绝对值小于或等于1，显然只有1，0，－1三种可能．下面具体分析．

(i) 若令有，取有：

即从而有又，有

(ii) 类似上法可得：

(iii) 类似上法可得：。

五.函数不动点求解函数方程1．是否存在这样的函数，使得。

解：不存在，我们用反证法证明。

显然，仅有两个不动点2和－1，记，则有

于是t也是的不动点，从而取值为2或－1。同理可证取值为2或－1。

但，于是，因此。

考虑的不动点集

合，并记，，则有，。

令，则有，∴

从而。

若，则有为或，从而取值为2或－1，矛盾！故应有或。

当时，便有，即为的不动点，则也是的不动点，矛盾！

同理可证当时也会发生矛盾。

综上所述，不存在满足所给出的条件。

2．已知满足条件：

（1）对，；（2）时，。求函数。

解：令，有，可见是关于f的不动点（对任意x成立）。

令，代入上式得；再令，，，代入得，

于是，解得（舍去）。于是1是关于f的不动点。

猜想：如果，即可解得。以下证明本题中f的不动点只有一个。

反设有且。

若，由，令可得，于是可推出，…，。这与条件（2）矛盾！

若，则有，于是。此时，类似于前述递推可知也与条件（2）矛盾！

因此f的不动点只有1，前述的猜想成立，即有。

评注：不动点法是讨论函数方程的重要方法．集合叫做的不动点集，即对映射而言，象即原象的那些元素所成的集合．

例题是通过考察不动点来解决函数方程的典型问题，对不动点的分析是讨论函数方程的重要方法。

六．观察函数特有的性质并利用其解题

函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性及所具有的特殊形式，在解题的过程中需要对其进行观察判断并利用其解决问题。

1．（2007日本数学奥林匹克决赛）求定义域为正实数集，值域为实数集的函数f，满足：

，，其中x、y为任意实数。

解：令，∴及，∴。重复应用这个等式m次得：，再令。

下面证明对任意的正整数n和任意的两实数t，有，

显然当时，命题成立。又因为题中第二个不等式等价于，所以，对任意的n、