函数方程几种具体办法

函数方程

三、求解函数方程的几种方法：

函数方程的变化多，求解技巧性很强，往往涉及不同领域的数学知识，特别

是附加了条件的函数，更是五花八门，各有巧妙。在高数数学各级竞赛中，都有

可能会遇到函数方程的问题，在这里我们介绍几种典型的求解函数的方法。

一．代换法

1．解函数方程： (1)

解：令；则，将此代入（1）可得：

或 。 (2)

此时(1)及(2)并无法解出；所以我们再令；则，将此代入（1）式则可得， 即。 (3)

将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以为独立变数的三元一次方程组；我们利用消去

法来解此问题． (1)+(3)－(2)可得：。

经检验是原函数方程的解．

2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数，使得

对任意实数x 、y 均成立。

解：将原方程变形为：， (x , ①

令，则①等价于，(x , ②

在②中令得这表明。

1）若，则；

2）若，在②式中令得：，即。 ③

考虑函数，它的导函数，则，于是可知有两根和，于是③式等价于或。 , c

为满足的常量）

假设存在使，则，∴

或1，∴矛盾，因此，∴

综上知：

说明：代换法是解函数方程最基本方法，很多函数方程中所特有的性质是通

过代换法去发现的。本题也是通过代换法打开了解题的思路。

二．柯西法

1．设为定义在实数集R 上的单调连续函数，试解函数方程。

解：由用归纳法得：。

当时，有 。①

若，，令，得，在①式中令得：

因定义在实数集R 上，n 是偶数时，必有，这样，∴

若m 为正整数，利用上式得：，

在原方程中，令有：，因单调不恒为0，∴。

在原方程中，令有(n , ，则有， 即，(又因为有意义，∴。这样，我们便在有理数集内求得了函数方程。

又因单调，不能恒为1，则为指数函数。

当为无理数，设且a i , b i 为无限接近于的有理数，则由单调知，

∴原方程的解为。

说明：柯西法是由解柯西方程而归纳出来的方法。

2．试求定义在有理数集并且在有理数集上取值的函数，设

（1） （2）。求函数。

解：令由（2）得。 ①

将代入①，化简得。 ②

当时，有， ③

由②得

即 。 ④ 由③、④有：。 ⑤

在⑤中，令，得。 ⑥

对于任意的有理数在（2）中，令得。由⑤、⑥有

由此得 ，故所求的函数是

三．用函数迭代法解方程

1．求解函数方程：。

解：设，则并且，

，于是原方程变为：。 ①

令得：， ②

令得：， ③

令得：， ④

由①②③④得：，

∴

说明：利用函数迭代解决函数方程问题有立竿见影的效果。

2．试求所有的函数，使得对任意，都有

解：令，则有，从而。

在上式中用代替x ，则可知，于是有

，从而有或。

验证可知，这两个函数都是方程的解。

3．设 ，找出使：

．

解：当时，设也在中，也

在中，那么以后都用即，，

对于 我们有：

验证：是对的．

评注：在应用迭代法时，几个常用的迭代结果是有用的：

，．

四．特值探索推导法

1.（2008年IMO第4题）求所有的函数满足对所有的正实数，x, y, z，都有：

解：令得：，对任意令，，得：，去分母整理：，所以对每个有或者。①若存在b, ，使得，，则由①知，b, c都不等于1。且，，令，，，则，所以。又因或

者；若则矛盾；

若，则矛盾。

所以经检验满足。

2．已知是定义在自然数上的函数，满足且对任意有

，求．

解：在原函数方程中，令且利用得

整理得。令得：

……，将上述各式相加，得

将代入后整理得

故所求函数为

易验证满足原函数方程．

评注：当是定义在自然数集上的函数（实际上是通项为的数列）时，可根据题中所给的函数方程，通过取特殊值得到关于的递推关系，然后根据递推关系求出．

3．有界函数，且有：求

解：令有解得或

（1），令有，；

（2），令有即，故为偶函数．

再令有：．先证对于一切

若有某个整数使则

为整数且越来越大，必将这与题设相矛盾，故不成立．为整数且绝对值小于或等于1，显然只有1，0，－1三种可能．下面具体分析．

(i) 若令有，取有：

即从而有又，有

(ii) 类似上法可得：

(iii) 类似上法可得：。

五.函数不动点求解函数方程1．是否存在这样的函数，使得。

解：不存在，我们用反证法证明。

显然，仅有两个不动点2和－1，记，则有

于是t也是的不动点，从而取值为2或－1。同理可证取值为2或－1。

但，于是，因此。

考虑的不动点集

合，并记，，则有，。

令，则有，∴

从而。

若，则有为或，从而取值为2或－1，矛盾！故应有或。

当时，便有，即为的不动点，则也是的不动点，矛盾！

同理可证当时也会发生矛盾。

综上所述，不存在满足所给出的条件。

2．已知满足条件：

（1）对，；（2）时，。求函数。

解：令，有，可见是关于f的不动点（对任意x成立）。

令，代入上式得；再令，，，代入得，

于是，解得（舍去）。于是1是关于f的不动点。

猜想：如果，即可解得。以下证明本题中f的不动点只有一个。

反设有且。

若，由，令可得，于是可推出，…，。这与条件（2）矛盾！

若，则有，于是。此时，类似于前述递推可知也与条件（2）矛盾！

因此f的不动点只有1，前述的猜想成立，即有。

评注：不动点法是讨论函数方程的重要方法．集合叫做的不动点集，即对映射而言，象即原象的那些元素所成的集合．

例题是通过考察不动点来解决函数方程的典型问题，对不动点的分析是讨论函数方程的重要方法。

六．观察函数特有的性质并利用其解题

函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性及所具有的特殊形式，在解题的过程中需要对其进行观察判断并利用其解决问题。

1．（2007日本数学奥林匹克决赛）求定义域为正实数集，值域为实数集的函数f，满足：

，，其中x、y为任意实数。

解：令，∴及，∴。重复应用这个等式m次得：，再令。

下面证明对任意的正整数n和任意的两实数t，有，

显然当时，命题成立。又因为题中第二个不等式等价于，所以，对任意的n、

t有，若取，满足，

则：。

另一方面，有故上式中不等式号均为等号，即

因此必有。①

再证明：g为单调不增函数；对于正实数t，有。

由于，，则，

故对于所有的x, y，有，故g为单调不增函数。②

设，接下来证明：

反设对正实数t有，则存在一个有理数满足及，另一方面：由，有与及g的单调不增矛盾，同理若，也得到矛盾，因此，对于正实数t，有。

从而，，对于这样的f，有，

均满足。∴为所求

说明：该题关键是抓住函数具有①②两个特有特征而对此进行解答。抓住函数特征和性质来求解函数方程问题，是最常用的方法。

2．求适合以下条件的所有函数

（1）；（2）。

解：易见，以下证明这是唯一符合要求的函数。

令，由（2）及f的定义域和值域有

于是。

又因，于是。代入前一式得

注意到，当时，也有

，由此递推可知，对任意自然数n，都有。令，就得到，于是。

3．设是正实数的集合，a、b是两个正实数，设函数满足方程，求证：该函数方程有唯一解。

解：不难猜出该方程有解，以下证明解的唯一性。

构造数列，如下：，，，

注意到，考虑当对一切x都成立时，由

，可知。

又由，可知，

于是。由此递推可知对任意正整数j有。

以下证明。先用归纳法证明。

时，，，结论成立。

当命题对成立，即有时，由递推公式，

可知命题对也成立。

再证明数列是递减的。

由可得，于是。

注意到，便有，即，命题成立。

从而存在，由易知。

类似地，可以证明。由前证有

，于是是方程的唯一解。

注：例6综合了数列的知识方法。构造数列对函数方程进行估界也是求解函数方程的有效方法之一。

4．设函数在自然数上都有定义，，并满足：，

。求。．

解：将(1)式改写为：；(2)

依次以代入(2)式可得：

将这个等式相加可得

，

，．(3)

再依序以代入(3)式，再将所得的个等式相加，可得

，。

5．试求所有的函数，使得对任意，都有

解：首先注意到f是单射。因若使，则有

，从而，矛盾！

令，则有，故或。

1．当时，取，便有，注意到f是单射，于是，则。取有，从而。

再注意到，于是

从而有，于是，经验证该函数是方程的解。

2．当时，取有，再令有，则。

取有，于是，，

，可解得（舍去）。

但另一方面，又有，矛盾！故此时无解。从而是原方程的唯一解。

本讲从五个角度来讨论了求解函数方程的方法，在解答函数方程的问题时，这几个方法用的较为平凡，希望大家在平时学习中注意总结与归纳，函数方程问题在国内外各级竞赛中要求都比较高，望引起大家重视。