高中物理竞赛辅导课件：刚体动力学

J Jc md 2
n
n
J miri2 mi Ri2 d 2 2dRi cos
i 1
i 1
y
0 n
n
nn
mi Ri2 mid 2 2d mmiiRxii cosi
i 1
i 1
ii11
Ri mi
C θi
ri
dO
x
Ma 2 J圓 2
i1
J r2dm m
单位:千克·米2 （kg·m2）
讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒
垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的
质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
J 1 mr2 2
圆筒：
转轴沿几何轴
J

1 2
m(r12

r22 )
圆柱体：
转轴通过中心与几何轴垂直
J 1 mr2 1 ml2
4
12
细棒： 转轴通过端点与棒垂直
J 1 ml2 3
球壳： 转轴沿直径
J 2 mr2 3
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
例1 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
J杆 Jc M 2a 2
Ma2 4Ma2 3
JO J圓 J杆
29Ma2 6
2a
O
M
2a C M
对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动
惯量，等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互
正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。
z
J z Jx Jy
y
o
例如：薄盘绕直径的转动
惯量
转轴过中心垂直于棒 J 2 l / 2 r 2dr 1 ml2
0
12
转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
0
3
圆盘、圆柱绕中心轴的转动惯量
对于质量为m 、半径为 R 、厚为 l 的均匀圆盘
取半径为 r 宽为 dr 的薄圆环，则有
Z
dm 2 rdr l
预备知识
质点对点的角动量为:
L r p r mv
角动量大小：L rmvsin
角动量方向：右手螺旋定则
L
----平行四边形面积
L

O
r
m
v
思考：质点对轴的角动量如何？
v
r
一 刚体的平动与转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.
（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
R2
M dM R 2Nr2dr 2 NR
0 R2
3
圆盘角加速度 M 4 N
J 3 MR
停止转动需时 t 0 3 mR0 4 N
0
R

dr r dFf
dl
* 例3 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角 = 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
二 转动定律
Fit (mi )at mr
M i ri Fit (mi )atri
at r
Mi (mi )ri2
z
Fit
O ri mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
转动惯量
J miri2
转动定律
实心圆拄 t1 2l a1 空心圆筒 t2 2l a2
例4 有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。 一质量为m ，半径为R 的匀质圆柱体从高h 处由静止 沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知
水平面与圆柱体间的摩擦系数,求：
1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。 2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。
RFT2 RFT1 M f J
a R
FT1
M f FT2
FT2
FN
mB
PB
mA
FT1
PA
FT1 mAa
mBg FT2 mBa RFT2 RFT1 M f J
a R
A mA
FT1
C mC FT2
mB B
a mBg M f R mA mB mC / 2

1 3
m1l
2

2 5
m2 R 2

m2
l

R2
圆环： 转轴通过中心与环面垂直
J mr2
薄圆盘： 转轴通过中心与盘面垂直
J 1 mr2 2
圆柱体： 转轴沿几何轴
J 1 mr2 2
细棒： 转轴通过中心与棒垂直
J 1 ml 2 12
球体： 转轴沿直径
J 2 mr2 5
转轴沿直径
刚体的运动形式：平动、转动.
平动：若刚体中所有点的运动 轨迹都保持完全相同，或者说刚 体内任意两点间的连线总是平行 于它们的初始位置间的连线.
刚体平动
质点运动
定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周 运动 . 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
+ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
l
例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘, 以角速度ω 0绕 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相
同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压
力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
问经过多长时间圆盘才停止转动?
解: 在圆盘上取面积微元,
0
面积元所受对转轴的摩擦力矩
大小
rdFf

r



N πR2
dldr

dr r dFf
dl
刹车片
面积微元所受摩擦力矩 圆环所受摩擦力矩
rdFf

r



N πR2

dldr
dM rdFf
圆盘所受摩擦力矩

Nrdr
πR 2
2 πr 0
dl

2Nr 2dr
花样滑冰 跳水运动员跳水
飞轮
2
航天器调姿
1

例1 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器圆 盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴转 动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合为 一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度.
列彼此平行且都与对称轴垂
直得圆盘，则有
JO
1 dm r 2 2


1 2


r 2dz

r2
R 1( R2 z2 )2 dz R 2
8 R5 2 mR2
15
5
z
r
z
dz R
om
JO

2 5
mR2
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
y

N
x

C
Ff mg
aC

质心运动方程
mg sin Ff maC
转动定律 Ff R J
角量、线量关系
y

N
x Ff
C
mg
aC

a aC R
ma

mg
sin

Ja R2
a

mgR 2 mR 2
s in
J
a1 2g sin 3 a2 g sin 2
mB B
FT1

FT2

mAmB g mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
（3） 考虑滑轮与轴承间的
摩擦力矩 Mf ，转动定律
RFT2 RFT1 Mf J
结合（1）中其它方程
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
M J
转动定律 M J
J miri2
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
转动惯量物理意义：转动惯性的量度.
注意 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何
形状及转轴的位置.
单个质点 质点系
质量连续分布
J mr2
n
J miri2
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
解: 物体由斜面 顶端滚下, 可视为质 心的平动和相对质心 的滚动两种运动合成.
Jz

Jx

Jy

1 2
mR2
x
Jx

Jy

1 4
mR2
若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转
动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。
即
z
J Ji
m1 l
例如：有质量为 m1 ,长 为 l 的均质细杆和质
量为m2 ，半径为R 的
匀质球体组成的刚体，
m2 R
对Z轴的转动惯量为
Jz
J杆 J球
dJ r2dm 2lr3dr
O r dr
lR
J dJ R 2 lr3dr 1 R4l
0
2
由于


m
R2l
则有 J 1 mR2 2
可见，转动惯量与厚度 l 无关。所以，实心圆柱对
其轴的转动惯量与圆盘的相同。
球体绕其直径的转动惯量
将均质球体分割成一系
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
a R
a
mB g
mA mB mC 2
FT1

mA
mAmB g mB mC
2
A mA
FT1
C mC FT2
FT2

(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
如令 mC 0，可得
0 t 2 gt R
达到纯滚动时有： vc R
解得作纯滚动经历的时间：
t v0 2g h R
3 g
3 g
2）达到纯滚动时经历的距离：
x

v0t

1 2
at 2

v02
3 g

1 2
g
v02
3 g
2

5v02
5h R

18 g 9
C
h
Fra Baidu bibliotek
N
CC
x f
mg
解：1）沿
光滑斜面，圆柱
C
体仅作滑动；沿
N
水平面达到纯滚 h
动前作滑滚运动。
CC
x
动力学方程为：
mg
h

R

1 2
mv02
f
mg
mg mac
mgR 1 mR2
由以上三式解得：
2
v0 2g h R ac g 2g R
达到纯滚动前有： vc v0 act 2g h R gt
l2
l oP
1 mgl sin J
2 式中 J 1 ml2
3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
m FN
l2
l oP
d 3g sind
2l
3g (1 cos )
讨论 守恒条件 M 0
若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中 M in M ex L 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
有许多现象都可以用角 动量守恒来说明. 它是自然 界的普遍适用的规律.
FT1

mA (mBg M f / R) mA mB mC / 2
FT2

mB
(mA mC 2) g mA mB mC
Mf 2
R
三 角动量定理与角动量守恒
刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
z

i
i
L J
刚体定轴转动的角动量定理
A mA
C
mC
静止落下距离 y 时，
其速率是多少？（3）
若滑轮与轴承间的摩
擦力不能忽略，并设
它们间的摩擦力矩为
mB B
M f 再求线加速度及 绳的张力.
A
mA
FT1
FN
mA FT1
PA
O
x
FT1
FC
PC
FT2
C
mC FT2
mB B
FT2
O
mB

PB y
解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .
例 5 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 体B
上m.C滑的轮圆与柱绳形索滑间轮没C有，滑并动系，在另且一滑质轮量与为轴承m间B 的的物摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体 B 从
M dL d(J)
dt dt
O ri
v i
mi
t2 Mdt
t1
L2 L1
dL

J2

J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt

J 22

J11

刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt

J2

J1
三 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J 常量 .
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角
速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN