数学建模在经济学领域的应用

数学建模在经济学领域的应用

内容摘要：随着经济学的发展，数学模型在经济学中的应用日益广泛。当今社会，数学方法及数学模型已经在经济学研究中占据重要地位，起到重要作用.

关键词：数学模型经济学应用

自19世纪30年代开始，数学就开始被应用到经济问题研究中来，特别是70年代以来，出现了一股经济研究数学化的热潮。自此，经济学的研究不再完全使用纯粹的语言表达和推理方式，在研究过程中越来越多的使用数学语言、数学工具、数学方法和数学模型。其中数学模型在经济学中的应用日益广泛。某种经济理论确立之后，通过建立经济模型进而抽象出数学模型，再根据数学模型确定模型的未知量并对其进行严谨的理论分析，最终回到对经济结构的分析、经济预测、政策评价与调整上，指导实际的经济活动。现代经济分析离开数学已寸步难行，企业、部门、地区乃至国家的决策和计划管理，都需要有大量的数学专业人员参与分析和计算。

利用数学可以对经济问题做出简洁、精确的说明。单纯的依靠文字描述进行经济理论的分析，不能保证所研究经济问题前提的规范性及推理逻辑的严密性，也不能保证研究结果的准确性和理论体系的严密性。而数学语言能够使经济研究理论的表述更清晰准确，逻辑推理更严密。对于经济学研究来说，在其中的命题、假说等的推导过程中结合使用数学语言，可以使表述精确简练、层次分明，从而可以减少由于定义不清所造成的争论，提高效率.

数学为经济学的研究提供了科学的方法。一个经济现象的产生是由现实中的诸多因素共同影响的，但并不是所有的因素都可以进行严格的度量，所以要想对这些经济现象通过科学的研究有所发展，就必须对这些因素进行一定的考虑需要根据实际情况对其简化和抽象。

应用数学方法推导出的有关经济学的理论更加明确具体，可以得到仅靠直觉无法或不易得到的经济结论。在经济研究中应用数学方法使研究对象更加明确具体，使经济变量之间的关系数量化，使逻辑推理过程更加严谨，最终保证研究得出的结论具体明确、具有科学性，从而减少经济关系中。

在经济学研究中应用数学知识，进一步拓展了经济学的研究领域。一方面，经济事物的存在是质与量的统一，对经济事物定性研究是定量研究的前提，而定性研究向定量研究发展就是研究的深化。另一方面，数学使某些经济想法变成了理论，促使经济理论的创新，在这方面也拓展了经济学研究的领域。

数学模型在经济学研究中的应用实例分析

（一）运用数学模型解决经济最优化问题

在日常生活中，许多问题都可归结为最大值和最小值的问题。在经济领域中相似的情况更多。每个消费者在符合市场条件的前提下，都在力求寻找对自己最有利的最优消费方案，即花费最少的成本而收到最大的效益；每个工厂、生产企业也都在寻求一定的产量、价格，以获得最大的利润，也就是在一定的成本下达到最大产量，或是在一定的产量下花费最低的成本。虽然这些问题表现不同，但归结起来都是关于最优化的问题。这些有关的经济问题都可以应用数学模型作为工具，寻找到最优方案。例如求函数的最大（小）值与经济生活的最优化问题就有密切联系，可用来分析社会经济中生产者和销售者的最大经济效益、资源的合理利用等一系列问题。下面举例应用导数的知识来优化分析、解决这些问题。解决此类实际问题首先是如何将它转化为数学问题，再利用导数知识去分析它、解决它。

例：设某商品可以保证至少销售10000件，每件售价为50元。如果销售量增加，可按每销售增加2000件，每件降低2元的比例适当降低价格。已知生产此种商品的固定成本是60000元，可变成本为每件20元，设此种商品是以销定产（即产量与销售量相等）的。试问产量为多少时，才能获得最好的经济效益？

解：设此种商品的产量是x件，则成本函数为T(x)=60000+20x，价格函数为，收入函数为D(x)=xP(x)，利润函数为L(x)=D(x)-T(x)，从利润大于等于零的角度考虑利润函数的定义域，解得x应该是大于等于1560，并且小于等于38500，又因为原题中的至少销售一万件的条件，可定出产量x的范围应该是大于等于10000，并且小于等于38500。令D`(X)=0，解得x=30000，而此时D``(X)<0，并且D(x)在[10000，38500]内只有一个驻点，则一定存在对应于收入最大的产量，由数学分析中导数的知识可知当此种商品的产量为三万件时取得最大收入。同理，又令L`(x)=0，解得

x=20000，而此时L``(x)<0，并且L(x)在[10000，38500]内只有一个驻点，则一定存在对应于利润最大的产量，所以当产量为两万件时利润最大。比较两万件和三万件时的利润收益，显然两万件时的利润收益要比三万件时大，所以产量定为两万件时可获得最大利润，最大利润为三十四万元。可见经营管理中不能单纯地追求收入最大，而不考虑利润如何，收入最大必须以利润最高为约束条件（崔宜兰，1997）。

上例说明应用导数求极值问题在经济领域中具有实际的指导意义。实践也证明，用数学模型对经济问题所作的定性分析和定量分析是严谨的、缜密的、可信的。

（二）数学模型对经济预测的指导

经济预测借助于科学的方法和技术手段，根据客观经济过程的历史演变和发展规律，对未来一定时期内经济发展的趋势和状况进行描述、分析，并作出估计和推断。目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以减少不确定性因素对社会经济活动的影响，合理的使用人力、物力、财力，获得最大经济效益。结合数学理论，预测方法主要有三种：时间序列的趋势预测；回归预测；投入产出预测。其中线性回归分析法是经济预测的常用数学方法，即利用统计数据确定变量之间的线性关系，并参考这种函数关系来预测未来经济发展趋势。

例如：某厂生产一种机床，最近几年的产量和成本分别为：1995年共生产10

台机床，其中每台的成本为600元；1996年共生产40台机床，其中每台的成本为300元；1997年共生产30台机床，其中每台的成本为450元；1998年共生产20台机床，其中每台的成本为550元；1999年共生产50台机床，其中每台的成本为400元。问：如果该厂计划年度产量为60台，用一元回归分析的方法预测该厂计划年度的总成本。

解：根据本题所给资料，在单位成本确定的情况下，影响总成本y的因素，只表现为产量x，其线性函数可描述为y=a+bx，其中a，b为待定参数。设预测的数学模型为yi=a+bxi，要使二者所有误差的平方和Q达到最小，可以通过求函数极值的方法来解决。使Q达到最小误差的平方和可用公式表示为：（为书写方便，均用∑表示，n为计算的年数5，下同）。为使误差的平方和Q达到最小，对a，b求一阶偏导数，并令其各式均为零，由题中已知条件得出：b=290，a=3800。则预测式为：

y=3800+290x。即计划年度生产60台机床预测总成本为：y=21200元。

由以上对于a，b的计算过程可知，对于任何一组统计数据(xi,yi)，都可以推算出a，b，并据此建立一元线性回归方程，但x，y之间是否具有近似线性关系？该方程所揭示的规律是否比较准确？预测的精度如何？都没有给予说明。因此为了把握预测的准确程度还要求计算相关系数，进行相关性检验。设相关系数为r，且r的取值为-1≤r≤1，r的绝对值越接近于1，表明x与y之间线性关系越密切。当r=1，表明x与y之间完全正相关；当r=-1，表明x与y完全负相关；当r=0，表明x与y