质点动力学基本方程

(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb 分别为力F 在 自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
0 Fb
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
21
§9-2
质点动力学两类问题
29
④选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运
动的初始条件，求出质点的运动。 如力是常量或是时间及速度函数时， dv 可直接分离变量 dt 积分 。 如力是位置的函数，需进行变量置换
dv dv v , 再分离变量积分。 dt ds
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例1 质量为1Kg的小球M，用两 绳系住，两绳的另一端分别连接 在固定点A 、 B，如图。已知小 球以速度v＝2.5 m/s在水平面内 作匀速圆周运动，圆的半径r＝ 0.5 m, 求两绳的拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象
②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。
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④列出自然形式的质点运动微方程
G dv Gsin 1 g dt G v2 ma n Fn , T Gcos 2 g l ma F ,
⑤求解未知量
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例题 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转
动,OA = AB = r。滑块B的运动方程为x = 2rcos 。如 滑块B的质量为m,摩擦及连杆AB的质量不计。求当 = wt = 0 时连杆 AB所受的力。
A
w
O

B
25
解: 取滑块B为研究对象
由于杆的质量不计,AB为二力杆且受平衡
力系作用。
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本章小结 1．质点动力学的基本方程为
ma F
d 2r m 2 F dt
2．质点动力学的两类问题
3．质点相对非惯性参考系矢量形式的微分方程为
d r m 2 F Fge FgC dt
35
2
THANK YOU
36
d 2x m 2 X dt d2y m 2 Y dt d2y m 2 Z dt x x(t ) ( 式中 y y (t ) 为质点直角坐标形式的 运动方程 ) z z (t )
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3.自然形式 d 2s m 2 F dt v2 m Fn
FB 0 v 4.9 2.21m s
因此，只有当 2.21m/s v 2.91m/s 时，两绳才同时受力。否 则将只有其中一绳受力。 32
[例2] 发射火箭，已知地球半径为6370km.求脱 离地球引力的最小速度。 解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
45º
例10.2
A
B
60º
O M
r
解：以小球为研究对象，任一瞬 时小球受力如图。 小球在水平面内作匀速圆周运动。
A FA
60º
v2 a 0, an 12.5 m s 2 r
方向指向O点。
M
B
FB O an
r
v
mg
31
建立自然坐标系得：
A
v2 m FA sin 45 FB sin 60 r 0 mg FA cos 45 FB cos60
高速列车的振动问题
10
道路转弯中的力学问题
11
引
二.力学模型：
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系 一.研究对象：
1.质点：
2.质点系：
12
引
二.研究对象（力学模型）：
言
研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 一.研究内容：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星
22
§9-2
质点运动的动力学分析
质点动力学两类问题
1.第一类：已知质点运动，求作用在质点上的力。（微分问题） 运动方程 解题步骤和要点：
求导
速度
求导
加速度
力
①正确选择研究对象（一般选择含已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
v2 由 2 式得 T G (cos ) , gl
, 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 因此 0时 , T Tmax
2 v0 Tmax G (1 ) gl
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
mg F

x = 2rcos ax = - 2rw2cos
= wt
B
Leabharlann Baidu
N
max = - Fcos
F = 2 mrw2
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[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
第十章
§10-1
质点运动微分方程
质点运动微分方程的形式
将动力学基本方程 (ma F )表示为微分形式的方程，称为 质点的运动微分方程。 （ F 可理解为作用在质点上的合力） 1.矢量形式 d 2r m 2 F ( 式中r r (t ) 为质点矢径形式的运动 方程 ) dt 2.直角坐标形式
2 v0 2 gR
则在某一位置
时，无论x
2 x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0 2 gR
多大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一 去不返 时（x ）的最小初速度
v0 2 gR 29.8103 6370 11.2 (km/s) （第二宇宙速度）
质点作椭圆运动。将运动方程对时 间求两阶导数得：
F r y
i
a
O b
x
x
aw 2 cos wt , bw 2 sin wt x y
代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：
Fx mx maw2 cos wt, Fy my mbw2 sin wt
1
第三篇 动力学
第 九 章 动力学基础 第十 章 动量定理
第十一章 动量距定理 第十二章 动能定理
2
• • • • •
本篇重点： 动力学基本定律,即牛顿三定律; 质点动力学基本方程; 动力学普遍定理（三大定理); 动力学普遍定理的综合应用；
3
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
v x m gR2 m vx dvx 2 dx x v0 R (t 0时x R,v x v0 )
2 0
则在任意位置时的速度
2 gR 2 v (v 2 gR ) x
33
2 gR 2 v (v 0 2 gR) x
2
可见，v 随着 x 的增加而减小。若
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
分析: 由(1)、(2)式可得:
(1) (2)
b M
FA
60º
B
FB O n an
r

mg
v
2 2 2 FA (9.8 3 2v ), FB (2v 2 9.8) 3 1 3 1
FA 0 v 4.9 3 2.91 m s
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第9章
§9-1
质点动力学
质点运动的动力学建模
一、动力学基本定律
第一定律（惯性定律）： 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律（力与加速度关系定律）： 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大 小，加速度的方向与力的方向相同。
ma F
第三定律（作用与反作用定律）：
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相 反，沿同一直线且同时分别作用在这两个物体上。（静 力学公理四） 19
28
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 力 加速度 解题步骤如下：
积分
速度
积分
运动规律
①正确选择研究对象。
②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力 （应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定 出其运动初始条件）。
刚体作平动时,刚体
质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的
系统。
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
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三.动力学分类：
质点系动力学
质点动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
23
例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方 程为x＝a cos wt，y＝b sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
例10.1
v
M
j
x2 y 2 2 1 2 a b
mM F f 2 x mM mg f R2 m gR2 F x2
mgR2 dx2 建立质点运动微分方程 m 2 2 dt x dvx mgR2 d 2 x dvx dvx dx v x dvx 2 ( 2 ) 即： mvx dx x dt dt dx dt dx
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类：
第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
14
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第9章 §9–1 §9–2
§9–3
质点动力学基本方程 动力学基本定律 质点的运动微分方程
质点动力学的两类基本问题
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牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家 中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改 嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。 1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
4
工程实际中的动力学问题
5
工 程 实 际 中 的 动 力 学 问 题
爆 破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
6
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
7
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
8
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
9
工程实际中的动力学问题
F Xi Yj maw 2 cos wti mbw 2 sin wtj mw 2 (a cos wti b sin wtj ) mw 2 ( xi yj ) mw 2 r
力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。
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★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种 不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立 地发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自 然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原 理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理 论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将 这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。