第二章应力状态理论(弹性力学)
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应力状态理论
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
(1)
应力状态理论
2. AC: l2=cosα , m2=-sin α ∵ AC应力边界条件为：
y B o C A
σ x l2 + τ yx m2 = f x τ xy l2 + σ y m2 = f y
m = cos( N , y ) = 0
A B y N o o1 x
α
代入应力边界条件:
l(σx )s + m(τ yx )s = fx l(τxy )s + m(σy )s = f y
σ x = − ρgy , τ xy = 0
应力状态理论
(2) 01B 边界： 面力： f x = 0, f y = 0 方向： l = cos α
应力张量为二阶张量。 应力张量为二阶张量。 应力张量为对称张量。 应力张量为对称张量。 一点的应力状态完全 由应力张量确定。 由应力张量确定。
τxy ＝ τyx τyz ＝ τzy
τzx ＝ τxz
应力状态理论
§2－4 与坐标倾斜的微分面上的应力
z C v
v ― 平面ABC的外法线 v的方向弦为：
偶排列 有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的 排列 奇排列
e123 = e231= e312 =1
e132 = e321= e213 = −1
应力状态理论
二阶对称张量 反对称张量
T ij = T ji
T ij = − T ji
任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张 量和一个分对称张量之和。 张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上 高阶张量。
o x A
σ τ lτxy + m y + n zy = fy
lτxz + m yz + nσz = fz τ
fx , f y , fz ―― 面力
fy
B y
应力分量的边界值与面力之间的关系（应力边界条件） 应力分量的边界值与面力之间的关系（应力边界条件）。
f i = σ ij n j
应力状态理论
应力状态理论
例3: 3:计算图示薄板齿尖A点的应力。 解：
y B o C A
1. AB: l1=cosα , m1=sin α
α α
∵AB应力边界条件为：
x
σ x l1 + τ yx m1 = f x τ xy l1 + σ y m1 = f y
σ x cosα + τ yx sin α = 0 ∴ σ y sin α + τ xy cosα = 0
同理，由 ∑ F y = 0, ∑ Fz = 0 :
fvx , fvy , fvz为 v在 f x, y, z轴 的 影 上 投
fvy = lτxy + m y + n zy σ τ fvz = lτxz + m yz + n z τ σ
f vi = σ ij n j
应力状态理论 z C v fvz fvx P o x A
x1 = c11 y1 + c12 y2 + c13 y3 x2 = c21 y1 + c22 y2 + c23 y3 x3 = c31 y1 + c32 y2 + c33 y3
i j
k =1
x i = c ij y j
自由标个数表 示张量表达式 代表的方程数
应力状态理论
偏导数的下标记法 缩写张量对坐标xi偏导数的表达式 逗号约定 逗号后面紧跟一个下标i时，表示某物理量 对xi求偏导数。
克罗内克尔记号是二阶张量 运算规律
δ ii = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3 δ im a m = a i δ im Tmj = Tij
应力状态理论
置换符号eijk
1 eijk = − 1 0
i， j， k为1， 3的偶排列 2， i， j， k为1， 3的奇排列 2， 有相等下标时
性力等。 表示。单位： 性力等。用 Fx，Fy，Fz表示。单位：N/m3。
集中力：当面积趋于零时，面力的合力。用 P、F 当面积趋于零时，面力的合力。
表示。单位： 。 表示。单位：N。
应力状态理论
内力：由于外力作用，在构件内各部分之间引起的 内力：由于外力作用， 相互作用力。 相互作用力。 内力的特点： 内力的特点： 1. 随外力的变化而变化，是“附加内力”。 随外力的变化而变化， 附加内力” 2. 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。 内力的求法：截面法。 内力的求法：截面法。
x
应力状态理论
应力张量： 应力张量：应力分量 σx 、 σy 、 σz 、τxy 、 τyx 、 τyz 、 τzy 、 τzx 、 τxz满足上述性质，构成应力张量。 满足上述性质，构成应力张量。
σ ij
σ x = τ yx τ zx
τ xy σy τ zy
τ xz τ yz σz
例1：已知某点的应力状态为： σ x = 0 , σ y = 20 , σ z = 10 , ：已知某点的应力状态为： τ xy = 10 , τ yz = 0 , τ zx = 20 作用于过该点， 求：作用于过该点，方程为 3 x + 3 y + 2 z = 1 的平面外 侧的正应力和剪应力。 侧的正应力和剪应力。 解： l : m : n = 3 :
cos( N , x ) = l cos( N , y ) = m
B
σy
τyx τyz P τzy
τxy
σx τxz
fv
τzx σz
cos( N , z ) = n
o x
A
∆ABC = ∆S 则：
y
PABC 的体积为 ∆V
体力为 体力为 Fx，Fy，Fz
ABC 上的应力为 fv
∆BPC = l∆S ∆CPA = m∆S ∆APB = n∆S
3 :2 l 2 + m 2 + n2 = 1
f vx = lσ x + mτ yx + nτ zx
f vy = lτ xy + mσ y + nτ zy f vz = lτ xz + mτ yz + nσ z
2 2 2 f v2 = f vx + f vy + f vz = 29.44
3 3 l= m= 4 4 f vx = 14.33
m = cos(90° + α ) = − sin α
o o1 x
α
α
N
代入应力边界条件:
l(σx )s + m(τ yx )s = fx l(τxy )s + m(σy )s = f y
A B y
σ x cosα − τ yx sinα = 0
− σ y sin α + τ xy cosα = 0
1 n= 2
f vy = 16.16 f vz = 20.00
σ v = l 2σ x + m 2σ y + n 2σ z + 2lmτ xy + 2 mnτ yz + 2 nlτ zx
σ v = 27.75
τv =
f v2 − σ v2 = 9.83
应力状态理论
例2：写出水坝OA、O1B的边界条件，设水的密度为 ρ。 ： 解： (1) OA边界: 面力： f x = ρ gy, f y = 0 方向： l = cos( N , x ) = −1
σz
z
τzy τyz
σy
y
单元体的性质 任一面上， 任一面上，应力均布
σx
x
应力状态理论
单元体上的应力分量： 单元体上的应力分量： z
σz τzx τxz τxy τ yx σx τzy τyz σy
y
正应力： 正应力：
σx σy σz
切应力： 切应力：
τyx σy τyz
τxy τyx τyz τzy τzx τxz
应力状态理论
z
C v
由
τxy
fvy B y
∑ Fx = 0 :
f vx ∆S − σ x l ∆S − τ yx m∆S − τ zx n∆S + Fx ∆V = 0
σy
τyx fvz
σx τxz
o x
A
τyz Pfvx τzy τzx σz
当 PABC → P 时:
fvx = lσx + m yx + n zx τ τ
——27个独立变量的集合用三个下标表示
应力状态理论
求和定约 张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此 下标从1到3求和。
A = ∑ ak ζ k = ak ζ k
3
A = ∑∑ aijζ iη j = aijζ iη j
哑标： 哑标： 出现两次的下标——求和后消失 自由标： 自由标：非重复下标
全应力分解为： 全应力分解为：
∆F ∆S
C
F 4
fv
σv
τv
C
F 3 F 4
F 3
∆N dN 垂直于截面的应力称为“正应力” 垂直于截面的应力称为“正应力”： σv = lim = S dS ∆A→0 ∆ ∆T dT = 位于截面内的应力称为“切应力” 位于截面内的应力称为“切应力”： τv = lim S dS ∆A→0 ∆
应力状态理论
特殊的张量符号
克罗内克尔（ 克罗内克尔（Kronecker Delta）记号δ ij ）
1 δ ij = 0
显然
i= j i≠ j
δ 11 δ 11 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为 ∂σij ∂εij ∂ui σij, k = εij, k = ui, j =
ui,
jk
∂ ( ),i = () ∂xi
∂xk ∂εij
∂xj ∂ui = ∂xj∂xk
∂xk
εij, kl =
∂xk∂xl
σij, kl =
∂σij ∂xk∂xl
张量的偏导数集合仍然是张量(不作证明）
应力状态理论
一点的应力状态： 一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态（ 称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 ）。 应力状态的表示——单元体： 单元体： 应力状态的表示 单元体 单元体：构件内点的代表物， 单元体：构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小 的几何体，常用的是正六面体。 的几何体，常用的是正六面体。
∆ABC上的正应力 σ v ：
σ v = lf vx + mf vy + nf vz
σv
τv
fvy B y
将上式f vx,fvy ,fvz代入, 则:
σv = l2σx + m2σy + n2σz + 2lm xy + 2mn yz + 2nlτzx τ τ
2 2 2 Q fv2 = σ v2 + τ v2 = fvx + fvy + fvz
应力状态理论
笛卡儿（Descartes）张量定义
应力状态理论
三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相关独 立变量集合，通常可以用一个下标表示。 位移分量u，v，w 缩写记为ui（i=1, 2, 3） 表示为u1, u2, u3
i——下标
9个独立变量的集合，两个下标来表示
σij和εij ——9个应力分量或应变分量 σij,k
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
(1)
应力状态理论
2. AC: l2=cosα , m2=-sin α ∵ AC应力边界条件为：
y B o C A
σ x l2 + τ yx m2 = f x τ xy l2 + σ y m2 = f y
m = cos( N , y ) = 0
A B y N o o1 x
α
代入应力边界条件:
l(σx )s + m(τ yx )s = fx l(τxy )s + m(σy )s = f y
σ x = − ρgy , τ xy = 0
应力状态理论
(2) 01B 边界： 面力： f x = 0, f y = 0 方向： l = cos α
应力张量为二阶张量。 应力张量为二阶张量。 应力张量为对称张量。 应力张量为对称张量。 一点的应力状态完全 由应力张量确定。 由应力张量确定。
τxy ＝ τyx τyz ＝ τzy
τzx ＝ τxz
应力状态理论
§2－4 与坐标倾斜的微分面上的应力
z C v
v ― 平面ABC的外法线 v的方向弦为：
偶排列 有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的 排列 奇排列
e123 = e231= e312 =1
e132 = e321= e213 = −1
应力状态理论
二阶对称张量 反对称张量
T ij = T ji
T ij = − T ji
任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张 量和一个分对称张量之和。 张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上 高阶张量。
o x A
σ τ lτxy + m y + n zy = fy
lτxz + m yz + nσz = fz τ
fx , f y , fz ―― 面力
fy
B y
应力分量的边界值与面力之间的关系（应力边界条件） 应力分量的边界值与面力之间的关系（应力边界条件）。
f i = σ ij n j
应力状态理论
应力状态理论
例3: 3:计算图示薄板齿尖A点的应力。 解：
y B o C A
1. AB: l1=cosα , m1=sin α
α α
∵AB应力边界条件为：
x
σ x l1 + τ yx m1 = f x τ xy l1 + σ y m1 = f y
σ x cosα + τ yx sin α = 0 ∴ σ y sin α + τ xy cosα = 0
同理，由 ∑ F y = 0, ∑ Fz = 0 :
fvx , fvy , fvz为 v在 f x, y, z轴 的 影 上 投
fvy = lτxy + m y + n zy σ τ fvz = lτxz + m yz + n z τ σ
f vi = σ ij n j
应力状态理论 z C v fvz fvx P o x A
x1 = c11 y1 + c12 y2 + c13 y3 x2 = c21 y1 + c22 y2 + c23 y3 x3 = c31 y1 + c32 y2 + c33 y3
i j
k =1
x i = c ij y j
自由标个数表 示张量表达式 代表的方程数
应力状态理论
偏导数的下标记法 缩写张量对坐标xi偏导数的表达式 逗号约定 逗号后面紧跟一个下标i时，表示某物理量 对xi求偏导数。
克罗内克尔记号是二阶张量 运算规律
δ ii = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3 δ im a m = a i δ im Tmj = Tij
应力状态理论
置换符号eijk
1 eijk = − 1 0
i， j， k为1， 3的偶排列 2， i， j， k为1， 3的奇排列 2， 有相等下标时
性力等。 表示。单位： 性力等。用 Fx，Fy，Fz表示。单位：N/m3。
集中力：当面积趋于零时，面力的合力。用 P、F 当面积趋于零时，面力的合力。
表示。单位： 。 表示。单位：N。
应力状态理论
内力：由于外力作用，在构件内各部分之间引起的 内力：由于外力作用， 相互作用力。 相互作用力。 内力的特点： 内力的特点： 1. 随外力的变化而变化，是“附加内力”。 随外力的变化而变化， 附加内力” 2. 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。 内力的求法：截面法。 内力的求法：截面法。
x
应力状态理论
应力张量： 应力张量：应力分量 σx 、 σy 、 σz 、τxy 、 τyx 、 τyz 、 τzy 、 τzx 、 τxz满足上述性质，构成应力张量。 满足上述性质，构成应力张量。
σ ij
σ x = τ yx τ zx
τ xy σy τ zy
τ xz τ yz σz
例1：已知某点的应力状态为： σ x = 0 , σ y = 20 , σ z = 10 , ：已知某点的应力状态为： τ xy = 10 , τ yz = 0 , τ zx = 20 作用于过该点， 求：作用于过该点，方程为 3 x + 3 y + 2 z = 1 的平面外 侧的正应力和剪应力。 侧的正应力和剪应力。 解： l : m : n = 3 :
cos( N , x ) = l cos( N , y ) = m
B
σy
τyx τyz P τzy
τxy
σx τxz
fv
τzx σz
cos( N , z ) = n
o x
A
∆ABC = ∆S 则：
y
PABC 的体积为 ∆V
体力为 体力为 Fx，Fy，Fz
ABC 上的应力为 fv
∆BPC = l∆S ∆CPA = m∆S ∆APB = n∆S
3 :2 l 2 + m 2 + n2 = 1
f vx = lσ x + mτ yx + nτ zx
f vy = lτ xy + mσ y + nτ zy f vz = lτ xz + mτ yz + nσ z
2 2 2 f v2 = f vx + f vy + f vz = 29.44
3 3 l= m= 4 4 f vx = 14.33
m = cos(90° + α ) = − sin α
o o1 x
α
α
N
代入应力边界条件:
l(σx )s + m(τ yx )s = fx l(τxy )s + m(σy )s = f y
A B y
σ x cosα − τ yx sinα = 0
− σ y sin α + τ xy cosα = 0
1 n= 2
f vy = 16.16 f vz = 20.00
σ v = l 2σ x + m 2σ y + n 2σ z + 2lmτ xy + 2 mnτ yz + 2 nlτ zx
σ v = 27.75
τv =
f v2 − σ v2 = 9.83
应力状态理论
例2：写出水坝OA、O1B的边界条件，设水的密度为 ρ。 ： 解： (1) OA边界: 面力： f x = ρ gy, f y = 0 方向： l = cos( N , x ) = −1
σz
z
τzy τyz
σy
y
单元体的性质 任一面上， 任一面上，应力均布
σx
x
应力状态理论
单元体上的应力分量： 单元体上的应力分量： z
σz τzx τxz τxy τ yx σx τzy τyz σy
y
正应力： 正应力：
σx σy σz
切应力： 切应力：
τyx σy τyz
τxy τyx τyz τzy τzx τxz
应力状态理论
z
C v
由
τxy
fvy B y
∑ Fx = 0 :
f vx ∆S − σ x l ∆S − τ yx m∆S − τ zx n∆S + Fx ∆V = 0
σy
τyx fvz
σx τxz
o x
A
τyz Pfvx τzy τzx σz
当 PABC → P 时:
fvx = lσx + m yx + n zx τ τ
——27个独立变量的集合用三个下标表示
应力状态理论
求和定约 张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此 下标从1到3求和。
A = ∑ ak ζ k = ak ζ k
3
A = ∑∑ aijζ iη j = aijζ iη j
哑标： 哑标： 出现两次的下标——求和后消失 自由标： 自由标：非重复下标
全应力分解为： 全应力分解为：
∆F ∆S
C
F 4
fv
σv
τv
C
F 3 F 4
F 3
∆N dN 垂直于截面的应力称为“正应力” 垂直于截面的应力称为“正应力”： σv = lim = S dS ∆A→0 ∆ ∆T dT = 位于截面内的应力称为“切应力” 位于截面内的应力称为“切应力”： τv = lim S dS ∆A→0 ∆
应力状态理论
特殊的张量符号
克罗内克尔（ 克罗内克尔（Kronecker Delta）记号δ ij ）
1 δ ij = 0
显然
i= j i≠ j
δ 11 δ 11 δ 13 1 0 0 δ ij = δ 21 δ 22 δ 23 = 0 1 0 δ 31 δ 32 δ 33 0 0 1
利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为 ∂σij ∂εij ∂ui σij, k = εij, k = ui, j =
ui,
jk
∂ ( ),i = () ∂xi
∂xk ∂εij
∂xj ∂ui = ∂xj∂xk
∂xk
εij, kl =
∂xk∂xl
σij, kl =
∂σij ∂xk∂xl
张量的偏导数集合仍然是张量(不作证明）
应力状态理论
一点的应力状态： 一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态（ 称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 ）。 应力状态的表示——单元体： 单元体： 应力状态的表示 单元体 单元体：构件内点的代表物， 单元体：构件内点的代表物，是包围被研究点的无限小 的几何体，常用的是正六面体。 的几何体，常用的是正六面体。
∆ABC上的正应力 σ v ：
σ v = lf vx + mf vy + nf vz
σv
τv
fvy B y
将上式f vx,fvy ,fvz代入, 则:
σv = l2σx + m2σy + n2σz + 2lm xy + 2mn yz + 2nlτzx τ τ
2 2 2 Q fv2 = σ v2 + τ v2 = fvx + fvy + fvz
应力状态理论
笛卡儿（Descartes）张量定义
应力状态理论
三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相关独 立变量集合，通常可以用一个下标表示。 位移分量u，v，w 缩写记为ui（i=1, 2, 3） 表示为u1, u2, u3
i——下标
9个独立变量的集合，两个下标来表示
σij和εij ——9个应力分量或应变分量 σij,k