高一数学奇偶性1(教师版)

学科教师辅导讲义

【典型例题分析】

判断下列函数的奇偶性：

1 2 4 2

例 1、（1） y （2） y=2x （3） y= 3x +1 （4） y=2x +3x （ 5）y=0 （ 6）y=2x+1 （7） x 解析：（ 1）奇函数（ 2）奇函数（ 3）偶函数（ 4）偶函数（ 5）既奇又偶函数（ 6）非奇非偶函数

（ 注意：常函数 f （x ）=c （c 为常数）只要定义域是对称区间， 就一定是偶函数，当 c=0 时是既奇又偶函数； 对称区间的时候就是非奇非偶函数。

变式练习 1：

1 （1） f （x ）=x 2+x

2 ； 2 f （x ） （x 1）2

非奇非偶函数 当定义域不是 2) f(x)=x- 1 ；

x

4)f(x)= |x|

x

答案：（ 1）非奇非偶函数（ 2）奇函数（ 3）偶函数（ 4）奇函数

变式练习 2：已知 （f x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则 a ＝ ______

解析：定义域应关于原点对称，

1 故有 a － 1＝－ 2a ，得 a ＝ .

3 又对于所给解析式，要使 f （－ x ）＝ f （x ）恒成立，应 b ＝0. 答

案： 1 0

3

例 2 、判断下列函数的奇偶性：

b ＝ _________ 1 x 0 解：定义域： 1 x 0

1 x 0 ∴此函数为非奇非偶函数

1 x 1 关于原点非对称区间

2． f (x) x 2 1 1 x 2

2 x 10 x 1或 x 1

解 1 ：定义域： 1 x 2 0 1x

1

∴ 定义域为 x = ± 1

f ( x) x 2 11 x 2 f (x) 且 f ( ±1) = 0

3． f (x) 2

x x (x 0) x x 2 (x

0)

1． f(x) (x 1) 11 x x

∴此函数为即奇且偶函

数

答案：奇函数解：显然定义域关于原点对称 当 x>0 时 , x<0 f (

x) = x2 x = (x x2) 当 x<0 时 ,

x>0 f ( x) = x x2 = (x2+x)

(x 2 x) (x 0) f ( x) 2

f (x)

即： (x x 2) (x 0) ∴此函数为奇函数

4 .f （ x ） =|x+1|－ |x － 1| 解析：（ 1）函数的定义域 x ∈（－∞， + ∞），对

称于原点 .

∵f （－ x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（ |x+1|－ |x － 1|）=－f （x ），

∴f （x ）=|x +1|－| x －1|是奇函数 .

变式练习：判断下列函数的奇偶性，并证明你的结论。

4 2 3

1. f (x) 2x 4 3x 2

2. f (x) x 3 略

1 x

2 x 1

3、判断 f(x) 1 x x 1 的奇偶性。

1 x

2 x 1

解：∵

1x 2 x 1 0 ∴函数的定义域为 R

且 f (x) + f ( x) 1 x 2

x 1 1 ( x) 2 ( x) 1 1 x 2

x 1 1 ( x) 2 ( x) 1 ( 1 x 2

)2(x 1)2 ( 1 x 2)2 (x 1)2 0 ( 1 x 2 1)2 x 2 ∴f (x) = f ( x) ∴f (x) 为奇函数

注：判断函数奇偶性的又一途径： f (x) + f ( x) = 0 为奇函数

f (x) + f ( x) = 2 f (x) 为偶函数

例 3、 函数 f （ x ）的定义域为 D={ x|x ≠ 0} ，且满足对于任意 x 1、 x 2∈ D ，有 f （ x 1· x 2） =f （ x 1）

+f （ x 2）

（1）求 f （ 1）的值；

（2）判断 f （ x ）的奇偶性并证明；

解析：（ 1）解：令 x 1=x 2=1，有 f （1×1） =f （ 1）+f （1），解得 f （1）=0.

（2）证明：令 x 1=x 2=－1，有 f ［（－ 1）×（－ 1）］=f （－1）+f （－ 1）.解得 f （－ 1） =0.

令 x =－ 1， x =x ，有 f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴ f （－ x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数 .

变式练习 1、若 f （x ） 是定义在 R 上，对任意的 x,y 均满足 f(x+y)=f(x)+f(y),

试判断 f （x ） 为奇函数还是偶函数？

a 2

b b 变式练习 2、 已知 f （x ）、 g （ x ）都是 奇函数， f （

2 x ）> 0的解集是（ a 2，b ），g （x ）> 0的解集是（ 2 ， 2 ）， 2 >a 2，那 么f （x ）· g （x ） >0 的解集 是

a 2 b

A. ( 2 ，2 ）

B.( － b ，－ a 2）

b b 2

a C.（a 2， 2） ∪（－ 2 ，－ a2) D.( 2 ，

b ）∪（－ b 2，－ a 2）

f (x) 0,

f (x) 0, 提示： f （x ）

·g ( x ）> 0 g(x) 0或

g(x) 0. bb ∴ x ∈（ a ， 2 ）∪（－ 2 ，－ a ） 答案： C

2

x 3x x 0 例 判断函数 fx 的偶性。 2 x 3x x 0

解：

当

x 0时, x 0,f x x 当

x 0时， f 0 0, f 0 0,f 0 f0 当 x 0时， x 0, f x

fx 综上，

对于任意 x R , f x f x 恒成立， 故 f x 为偶函数。 【说明】对于分段函数的奇偶性也应该分段取 x 加以验证，本题也可以通过图像加以说明。

变式练习：（ 1）已知 f （x ） 为奇函数，且当 x>0 时的解析式是 f （x ） x x 3 ，求当 x<0 时的解析式。

（2）已知 f （x ）为偶函数，且当 x 《0时的解析式是 f （x ） x 2 2x ，求当 x>0 时的解析式。 2

（3）已知 f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 是， f （x ） x 2 4x 1求 f （x ）的解析式。 解析：

（ 1）x<0 时， f （x ） x x 3

2

（2） x>0, f （x ） x 2 2x