最新简单的复合函数求导法则教案

§1.2.3简单的复合函数求导法则

【学习目标】

1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则；

2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】

重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 一、复习引入：

1. 常见函数的导数公式：

0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=

2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．

法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=

法则3 '

2

''

(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x ).

4.复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 【思考】下列函数（1）用基本初等函数求导公式如何求导？（2）（3）能用学过的公式求

导吗？（1）2)32(+=x y （2）)2ln(-=x y （3）1005+-=x e y 二．新知探究

复合函数的导数求解法则：

复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为： x u x u y y '''⋅= 三．典例分析

例1：写出函数10)34(+-=x y 的中间变量，并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。 例2：求下列函数的导数

（1）)2ln(-=x y （2）1005+-=x e y （3）)4sin(+=x y π （4）12-=x y 【说明】①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量； ②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆； ③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．

例3：已知函数2

()(2)2x f x ln x a

=--，a 为常数。 (1)求(3)f '的值；

（2）当3x =时，曲线()y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。

四．反思小结：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数，分子为常数的分式函数，通常经过变形，转化成幂函数，这样求导起来会比较方便，利用幂函数的求导公式 五．当堂检测

1. 下列函数求导数，正确的是 ② . ①()

x

x

e e 22='

； ②()

[

]x x

x 2)3(8372

8

2

⋅+='

+； ③()

x

x 2ln 2='； ④()

x

x a a 222='.

2. 设 ()()x x f 32ln -=，则⎪⎭

⎫

⎝⎛'31f ＝ -3 .

3. 若()2

21x y -=，则='y 8x-4 ；()

='+-12x e 122+--x e .

4. 求下列函数的导数：

（1）3)31(x y -= （2）x e y 2= （3）x

y 1

ln = （4）y =2)13(1-x

六．课后作业