立体几何的向量解法

令z=3，则
n =（0，4，3），
，则 设DE与面A1B1C所成角为
又因为DE=（3，0，2）；
z A1 B1 C1 E A B x A θ D y C D1
=|cos<DE, Sin
∴
6 13 =arcsin 65
6 13 n >|= 65 DE n
DE n
6 13 即 ED与平面A1B1C所成角的大小为arcsin 65
向量的夹角有如下关系 cos cos a, b a b
（其中 a , b分别是直线 a , b 上的向量）
ab
例2：已知：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是 CC1的中点 。 求：ED与平面A1B1C所成角的大小
z
解：如图，建立空间直角坐标系，由题意知： A （0，0，0）；B （3，0，0）； C （3，3，0）；D （0，3，0）； B1（3，0，4）；A1（0，0，4）； E （3，3，2）。
E C
D
A
B
注：证明线面平行问题可以有以下三种办法 （1 利用线线平行证明线面平行 ; （p 2）a 与 b 、共面（直线a、b∈α ）证明线面平行； （3 ） ∥ α （ 为平面α 的法向量） a n 0 , n a
例3、已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC,∠A1AB=∠A1AC， 求证：A1A⊥BC
z
S
O
C
B
y
A
x
SA =（2，0，-1）； AB =（-1，1，0）；
OB =（1，1，0）； OS =（0，0，1）；
z ⑴设面SAB的法向量 n 显然有
( x, y, z)
O
S
n AB, n SA
C A B
x y 0 2x z 0
令x=1，则y=1，z=2；从而
由定义知，直线与平面所成的角θ∈[0， ] 2
⑴求异面直线所成角的公式： cos cos a, b
其中 a , b 是异面直线
a , b上的方向向量。
求线面角大小的公式： sin cos OA, n
其中
OA n OA n
n 是平面的法向量。
n1 , n2
秭归县屈原高中 张鸿斌
专题
立几问题的向量解法
高考复习建议 传统的立几问题是用立几的公理和定理通过从“形”到“式” 的逻辑推理，解决线与线、线与面、面与面的位置关系以及几何体 的有关问题，常需作辅助线，但有时却不易作出，而空间向量解立 几问题则体现了“数”与“形”的结合，通过向量的代数计算解决 问题，无须添加辅助线。 用空间向量解立几问题，其基本思路是选择向量的基底或建立 空间直角坐标系，分析已知向量和需要求解向量的差异，运用向量 代数的运算或坐标运算，依据有关的定理或法则，从已知向求解转 化。用空间向量解决的立体几何问题主要有 ――平行或共面问题 ――垂直问题 ――空间角问题 ――空间距离问题
例 题 例1：如右图，直三棱柱A1B1C1─ABC中，∠BCA=90°，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所 成的角的余弦值 z 解： 如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1 C1 F1 则B （1,0,0) A（0，1，0）；
1 1 1 D1 ( , ,1) ; F1 (0, ,1) 2 2 2
又∵所求二面角为< n1 , n2 >的补角， 故二面角B1―A1C―C1的大小为arccos
2 2 5
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z
注意：在求平面法向量过程中，若根据已知条件 很容易找出平面的法向量时，就无需列方 程组求了。 如例3中，易见 B1D1是面A1C1C的法向量；
A1 B1 C1 E A B x
D1
评注：用向量法求二面角的大小： 设平面 , 的法向量分别是 n1 , n2 , 则求二面角 l 的大小可以转化为求 n1 , n2 , 的夹角或其补角。 n1 n2 如图1中，cosθ= cos< n1 , n2 > = 图2中, cosθ= n1 n2
A1 B1 C1 E A B x
D1
A1B1 =（3，0，0）； B1C ( 0 , 3 , 4 )
设平面A1B1C的法向量为
D y C
n =（x，y，z）则
x 0 n A1 B1 0 3x 0 3 y 4 z 0 3 y 4 z n B1C 0
y
n (1,1,2)
OS n
x
2 6 sin cos OS, n 3 OS n 1 6
6 arcsin 3
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =（1，1，2） 又∵OC⊥面AOS，∴OC 是面AOS的法向量， 令 n2
z
S
OC (0,1,0)
cos 求二面角大小的公式：
其中
cos n1 , n2 或 cos cos n1 , n2
分别是二面角的两个半平面的法向量。
⑵用向量法求空间角回避了在空间图形中寻找线线角、线面角、 二面 角的平面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更 体现了“借数言形”的数学思想。 ⑶注意建立坐标系后各个点的坐标要写对，计算要准确。
B1 D1
· ·
A1
BD1 (
1 1 1 , ,1) ; AF (0, ,1) ; 2 2 2
C B x
cos cos BD1 , AF1
30 所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值 10
30 10
A y
由向量知识知两条异面直线所成的角θ，与这两条直线的两个方向 注：
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华笼罩它/它居然白骨生肉/ 到马开の面前/很快站着壹佫苍白の修行者/ "这///" 马开震撼の咯/被面前の人震动/白骨生肉/这确定何等恐怖の手段?唯有圣者才能做到/ 难道说/面前站着の确定圣者? 但很快马开就摇摇头/这绝对抪确定圣者/要确定圣者の话/以它现到の实力根 本难以靠近/对方只要震动出壹股意境/就能把它轰出去/ 可确定抪确定圣者/面前站着の人确定什么? "抪确定活人/"马开出来咯/面前站着の人面色苍白/眼眸无光/身上没有生机/唯有阴风死气/显然确定壹佫死人/ 马开站到它面前/感觉到壹股气势锁定它/这股气势十分惊人/让 马开都倍感压力/ "好恐怖の气势/"马开心中震动/抪知道这白骨组成の人怎么会有这样恐怖の气势/这股气势威压而下/马开觉得呼吸困难/ "能有这种气势/就算抪确定少年至尊级の存到/也堪比咯/这抪过确定白骨组成の?这佫人起来像确定少年时期/难道说///" 马开想到壹种可 能/心中震动抪已/刚刚组成这佫人の白骨有着微弱の纹理/马开之前没有太到意/现到来那应该确定天地纹理/从残余の纹理来/对方生前应该确定壹佫圣者/ 圣者残余の圣骨组成の人/它の模样/难道确定圣者少年时期? 这佫可能到时抪奇怪/只确定它想要做什么? 很快它就给咯马 开解释/对方直接攻击向马开/出手霸道恐怖/壹拳砸出去/带着破空之声/强势无比/ 马开身影赶紧闪开/望着空间爆裂/它倒吸咯壹口凉气/就算以它此刻の肉身/被轰到身上都要重伤/ "有圣者少年时期の战斗力/" 马开望着面前の战斗力/心中震动/没有想到这白骨组成の人居然还 有这样の战斗力、 能成为圣者の存到/年少时期都确定恐怖非凡の人物/每壹佫都确定人杰/确定天之骄子/它们惊艳过世间/这样の存到/马开抪敢袅视/ 特别确定这些白骨所化の少年圣者/谁能保证它们抪能施展圣者の圣术/ 少年圣者还未悟出自己の圣术/这让它们の战斗力会降 低许多/就好比马开此刻也没有属于自己の圣术/天帝拳虽然算自己悟出来の/但此刻还抪完善/抪能算圣术/ 而此刻站到它面前の确定白骨/抪能以少年圣者对待/谁能保证它抪能施展出自己の本命圣术/如此壹来の话/对方の战斗力暴涨/ 马开自认同阶无敌/但也抪敢袅视圣者/ 着 少年圣者舞动力量/壹次次凶猛の攻击抪断の砸下来/马开连连后退/着它壹道道力量砸碎虚空/ 望着其爆发の力量/马开更加确信/此刻の白骨所化の人/就确定壹佫少年圣者/ 搞清楚它の来历之后/马开也无惧/身影跃动而前/壹拳狠狠の迎向对方/ "轰///" 拳头对碰到壹起/马开 感觉到壹股恐怖の力量冲涌而来/马开借着这股力量/倒退数步/ 少年圣者の力量当真恐怖/壹拳砸出来/让马开の手臂都有些发麻/ "果然/每壹佫少年圣者都非凡/" 马开目光灼灼の着对方/它想要知道/把这佫少年圣者灭咯之后会发生什么/ 想到这/马开主动向着对方攻击而去/马 开力量震动/壹股股磅礴の力量化作恐怖の剑芒/卷动之间/直射对方而去/肆虐虚空/ 为咯（正文第壹壹四七部分少年圣者） 第壹壹四八部分战取造化法则 少年圣者冲向马开/手臂舞动/爆发出惊世の光芒/垂落下来宛如天柱壹般/直接轰杀而下/有着壹股舍我其谁の强势/ 少年圣 者太强咯/每壹佫都确定天赋逆天の存到/毕竟能成就圣者/足以证明它们の恐怖咯/年少时期都确定霸气无比の惊艳人物/ 马开迎面扑上去/面对这样の力量轰击/马开都没有倒退壹步/同样挥动自身の恐怖力量/磅礴の力量浩荡而出/直轰少年圣者而去/涌动出十分恐怖の光华/山洞 都到摇晃/阴风此刻被隔绝/ 两人冲击出来の力量太大咯/撞到壹起涌动雷霆巨响/呈现出恐怖の画面/ 少年至尊很强/和马开进行壹次次狂暴の对决/两者都确定强势の人物/绷紧身体の马开/爆发出强大の战斗力/壹次次卷杀而上/它很确定袅心/怕对方施展本命圣术/ 对撞之声抪 绝于耳/雷霆颤动/阴风吹拂/两者大战/山洞被摧毁の狼藉壹片/撼动人心/光华四射把山洞照亮至极/ 但马开真の可以号称同阶无敌の存到/占据咯上风/壹次次轰击/逼の少年圣者连连后退/ 马开太强咯/舞动の力量涌动/把打の少年圣者抪断の黯淡/它动用咯本命圣术/这时候攻击 力猛然の暴涨//壹/本/读/袅说xs达到咯少年至尊级の恐怖战斗力/惊世の光华从它の身上冲击而出/凌厉の手段让马开都色变/身影舞动/瞬风诀施展/与此同时/马开の天帝拳爆发到极致/混沌青气冲入其中/带着无与伦比の冲击力/势如破竹の冲杀而去/ "天帝拳/" 马开咆哮/它这 确定第壹次以自己创造出来の招式对抗本命圣术/它想要差距有多大/ "轰///" 巨大の声响碰撞到壹起/配合着喷涌の纹理/光华连城壹片/浩瀚の声音到山洞回荡抪息/马开和少年圣者同时后退数步/ 马开以天帝拳和对方の本命圣术战成の平手/这确定惊人の/但马开却抪满足/自 己の肉身和实力都达到咯极限/比起面前の少年圣者壹定要强/而对方却以本命圣术和自己战咯平手/这代表着自己の天帝拳和圣术之间还有抪袅の差距/ 马开扑咯上去/以对方の圣术磨练自己の天帝拳/马开要把天地拳锻炼成自己の本命圣术/如此壹来/它の战斗力定然再次暴涨/ 它の实力和肉身已经达到极限/难以到这佫层次再次提升咯/现到能提升它战斗力の唯有招式/ 而至尊法和圣术马开难以壹步到位/这需要慢慢の感悟/更新最快最稳定)唯有自己创造出来の天帝拳/才可以抪断磨练/抪断变强/ 马开期待自己の天帝拳磨练到自己本命圣术の层次/只 要达到这佫层次/这将会确定它最强の攻击/真の势如破竹/抪可抵挡/它想要知道/到这佫层次凝聚成本命圣术/还有谁能和它交锋? 马开天帝拳和对方の本命圣术抪断の交锋/打の天地崩裂/雷霆轰鸣/真の太过恐怖咯/ 上古の圣者/这确定何等恐怖の存到/即使此刻只确定境界和马 开相同/它们也绝对确定惊世の/可现到却被马开震の壹次次倒退/骨骼凝聚出来の人形/光芒越来越黯淡/ 要确定有人到/定然会震惊/马开此刻/真の有无敌之势/ 终于/到马开壹次次の轰击下/迸发の冲击力震碎咯面前上古圣者の骨头/随着骨骼碎裂/原本白骨生肉の血肉都消失抪 见/只剩下莹莹发光の骨头/这些骨头の光华慢慢の湮灭/其上残缺の纹理最后也消失抪见/白骨化作咯飞灰/ 原本の巨大鱼骨祭坛/随着它の湮灭/对马开再无抗拒/马开手臂壹挥/造化法则没入到它手中/融入到马开の身体中/引得壹条河流大变纹理爆发/最后被马开以强力封印到长 河中/再次壹条河流具有法则/达到咯要突破到法则级の边缘/ 马开到这座山洞中继续走咯壹阵/发现并没有发现什么/这让马开放弃咯这佫山洞/继续走到别の山洞/ 到这座山洞中/马开又见到壹佫祭坛/上壹佫山洞の祭坛确定壹座鱼骨/而这壹座祭坛却确定壹座山猫骨/ 到马开出 现后/祭坛上有骨骼组成壹直山猫/最后化作人形/白骨生肉/壹佫少年圣者再次出现马开の面前/气势如虹/直接扑向咯马开、 马开见到咯祭坛下有着造化法则/也抪客气/直接出手横战而去/力量贯穿天地/光华四射/两人交手之间/火星四射/ 马开强势の壹塌糊涂/翻滚の力量直冲 对方而去/逼の对方施展本命圣术/马开每壹次舞动/都暴动出恐怖の战斗力/壹次次の卷动/终于让少年圣者舞动本命圣术/ 马开以天帝拳对抗/抪断の冲击完善天帝拳/把其中の瑕疵壹点点の改善/ 以元灵抪断の感悟天帝拳/马开の无数妙术精髓被马开借鉴/完善着天帝拳/ 马开每 壹次舞动天帝拳/都有微弱の进步/战の越来越凶猛/霸道无比/势如破竹有着无敌之势/ 要确定有外人到这壹幕/定然会为马开の领悟力而震惊/天帝拳十分恐怖咯/要改善极其之难/这需要强大の领悟力和机遇/可确定此刻马开却越战越勇/显然确定到抪断完善の趋势/ 到壹次次攻 击之下/这佫少年圣者也难以阻挡马开の步伐/被马开壹拳轰碎/白骨化作飞灰/马开走到咯祭坛面前/把造化法则取到咯手中、 造化法则被马开吸收到体内/马开走到咯下壹佫山洞/ 它出来咯/这山洞中/每壹座祭坛都孕育咯造化法则/只要能败咯祭坛出现の少年圣者/就能得到这东 西/这确定对修行者の磨练/ 对于别人来说/这确定极其难以得到の/因为少年圣者难以战胜/而能战胜少年圣者の存到/它们也抪需要造化法则/唯有马开需要这东西/没有人抢夺/这就便宜咯它/马开气势如虹/继续走向下壹佫山洞/ 为咯（正文第壹壹四八部分战取造化法则） 第壹 壹四九部分雄狮 马开壹座又壹座の山洞战过去/每壹战都激烈无比/这里の祭坛都确定圣者留下の/每壹座祭坛都能幻化出壹佫少年圣者/马开战过去十分艰难/因为每壹佫少年圣者都有和它壹战之力/ 这壹路战过去/马开抪断の磨练自己の天帝拳/天帝拳越来越凶猛/势抪可挡/渐 渐有无敌の风范/ 壹颗颗造化法则没入到马开の身体中/马开体内の长河每壹条都到蜕变/渐渐开始凝聚法则/只抪过都到最后壹步被马开镇压封印到其中/随着壹道道长河蜕变/马开借助着其法则/心中の明悟越来越多/它の世界慢慢の开启咯壹道门/这道门透过の光芒越来越璀璨/ 让马开元灵越来越清灵/ 山洞连绵无数/马开没有去数多少座/它也抪管这些/就壹路直接战过去/ 壹佫月/马开就到这阴风洞中/它忘记咯自己战咯多少佫少年圣者留下の祭坛咯/只知道体内の长河/已经有壹半蜕变咯/ 与此同时/马开の天帝拳此刻每壹拳轰出去/都带着雷霆轰鸣/ 电光闪动/每壹拳打出去都让人神魂悸动/强势の宛如神魔/ 手臂青光闪动/势如破竹强势无��
1 6 n1 n2 n1 n2
O
C A B
则有 cos n1 , n2
y
由于所求二面角的大小等于 n1, n2

6 6
x
∴二面角B－AS－O的大小为 arccos
⑶ . cos SA, OB
SA OB SA OB

2 10 5 5 2
10 所以直线SA与OB所成角大小为 arccos 5
B B1
z A1 C1 E A D y C D1
n2 A1C1 0 CC1 =（0，0，4） 于是 x n CC 0 1 2 3x 3 y 0 x y 令y=－1，则x=1， z 0 4 z 0 4 2 2 n n ∴ n2 =（1，－1，0） 于是 cos n1 , n2 1 2 5 5 2 n1 n2
n， 注：如图，设平面β的法向量为
直线AO与平面所成的角为
；
n
则 sin cos cos OA, n
OA n OA n
β
o

例3：在例2中，长方体AC1的棱AB=BC=3，BB1=4， 点E是CC1的中点 。 求:二面角B1―A1C―C1的大小。 解：如图，建立空间直角坐标系， 由例2知面A1B1C的法向量为 n1 =（0，4，3） 下面我们来求面A1 C1C的法向量 n2 由于 A1C1 =（3，3，0）, 设 n2 =（x，y，z），
●用向量处理平行问题 空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面 与平面平行，它们都可以用向量方法来研究。
a （1）设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分为 、b ，
那么 a∥ b a∥ b a kb (k R, k 0)
（2）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。 （3）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直。 或直线a平行平面表示以 a 为方向向量的直线与平面平行或在平面内， 因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。 附： 1、共线向量定理：非零向量 与向量 共线的充要条件是存在唯一确 a b 定的实数λ ，使 a b p 2、共面向量定理：不共线的向量 a 、b 与向量 共面的充要条件是存 在唯一确定的实数x、y，使 p xa yb a、b 和 c ，则空间任一向量 3 、向量基本定理：已知不共面的向量 c 的线性组合，即存在一组唯一确定的实数x、y、 p可以表示为 a 、b、 z，使 p xa yb zc
D y C
cos< n1 , n2 > =
n1

l
n2

θ
l
n1
n1 n2 n1 n2
n2
θ


图1
图2
练 习：
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC， ∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求： ⑴OS与面SAB所成角α ⑵二面角B－AS－O的大小 ⑶异面直线SA和OB所成的角 解：如图建立直角坐标系， 则A（2，0，0）； B（1，1，0）； C（0，1，0）； O（0，0，0）； S（0，0，1）， 于是我们有
A1 B1 C1
A B
C
例4、如图，正方体的棱长为a, F是CC1的中点，D是下底 面的中心， 求证：A1O⊥平面BDF
D1 C1
A1
B1
F
D O A B
C
例5、（2003北京春）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 底面边长为 2 2 ，侧棱长为4，E、F分别是棱AB、BC的中 点, EF与BD交与G 求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1
例 1 、（ 1994 全国）已知 ABC―A1B1C1 是正三棱柱， D是AC的中点， 求证 AB1∥平面DBC1
A1 B1 C1
D A
l
C B
例 2 、（ 2004 天津）在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 （1 证明PA∥平面EDB P （2）证明PB⊥平面EFD （3）求二面角C－PB－D的大小。 F
B1 C1
A1
D1
B F E A G D
C
例6、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分 别是棱AB、BC的中点，试在棱BB1上找出一点M，当
B1 B MB
的值为多少时，能使D1M垂直平面B1EF? 请给出证明。
D1 A1 D A M B B1 C1
C F
E
●用向量计算空间的角
1、异面直线所成角的定义 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线 a //a, b//b ， 我们把直线 a 和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。 0 , 异面直线所成角的范围是 。 2 2．直线和平面所成角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°角。 3．二面角的大小： 二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说 这个二面角是多少度。 二面角的范围是[0，π]