空间内分割球问题

空间内分割球问题的数学分析
山西省临汾市第一中学
高494班贺立丹
指导教师：樊广元张艳
【摘要】本文将试图用建立数学模型的方法，对空间内，有限平面最多可将球分割为多少个部分进行研究，使人们加深对空间分割的理解。

【关键词】建立数学模型分割球类问题
【正文】
一、问题提出：
由上述百度截图可得在现实生活中存在各种各样的空间分割问题，掌握如何合理分割空间对提高空间利用率具有重要意义。

二、模型假设
本文对球类问题的分割进行研究，通过向球中插接平面的方法来对问题进行研究，进行建模分析，归纳出空间内球类分割的一般规律并进行证明。

三、模型建立
1,设置模型变量为空间平面N。

2,建立数学模型
①N个点最多把线段分成G(N)部分
②N条直线将平面分成了最多的H(N)块
③N个平面最多把空间分成F(N)个部分
【图表说明】
下列即为所做图表
【问题分析】
对于一般的情形很难找到思路，我们可以从简单特殊的情况进行研究，勇敢探究。

大胆猜想一般规律。

当N=1时，即球被一个平面所分割，显然可以将球分为两个部分，如图所示
当N=2时，即球被两个平面所分割，显然可以将球分为四个部分，如图所示
当N=3时，即球被三个平面所分割，显然可以将球分为八个部分，如图所示
【模型求解】
在研究上述问题先研究以下三个问题
①首先考虑n条直线最多把平面分成G(N)部分
②对于已经有n条直线将平面分成了最多的H(N)块
③再考虑n个平面最多把空间分成F(N)个部分
解决方案如下：
①N个点最多把一条线段分成的段数.通项公式记为G(n)
②N条直线最多把圆分成的区域数.通项公式记为H(n)
③N个平面最多把球分割的块数.通项公式记为F(n)
①,显然,G(n)=n+1
②,假设圆上有N条直线，把圆划分成最多的区域,当第N+1条直线下去的时候,为了得到最多的区域,则这条直线与前面的N条直线都相交,并且新产生的交点不与之前的交点重合.显然第N+1条直线和之前的N条直线产生N个交点,这N个交点把第N+1条直线划分成A(n)段,每一段都将原来的区域一分为二,于是H (N+1)=H (N)+G (N),
将H (1)=2,G (n)=n+1带入很容易求得H(N)=[N (N+1)/2]+1
第三个问题,同理第n+1个平面下去多增加了多少块.前面的N个平面都和第N+1个平面相交,在第N+1个平面上留下N条交线,这N条交线最多将第N+1个平面划分成H(N)个区域,每个区域都将原来的块一分为二,于是F(N+1)=F (N)+H (N),将F (1)=2,H(N)=[N (N+1)/2]+1带入可以求得F(N)=[(N ^3+5N)/6]+1
【研究结论】据上可知。

在空间内，用有限N个平面切割球最多可将球分为F(N)=[(N ^3+5N)/6]+1 个部分。

【参考内容】
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《中学数学建模与竞赛集锦》，上海市中学生数学知识应用竞
赛组织委员会，复旦大学出版社，2008年6月
数学选修2-2 人民教育出版社P99页
普通高中新课程问题导学数学选修2-2人教A 版山西教育出版社；。