有限元基础知识

(3) 本构关系（stress-strain）
G
0 0 0 x x 2G 2G 0 0 0 y y z 2G 0 0 0 z xy 0 0 0 G 0 0 xy yz 0 0 0 0 G 0 yz 0 0 0 0 G zx zx 0
3 1 2
3 2 4
(a)
（3）建立虚功方程
RC 1 P 1 P2 2 0 1
(b) 刚体
代入虚位移，得：
3 3 RC P P2 0 1 2 4
(c)
求出：
3 3 RC P P2 1 2 4
x y z xy yz zx
E (1 )(1 2 )
and where
（4） 应力边界条件
二维为例
X S x xy zx nx YS xy y yz n y Z nz S zx yz z
(d)
2. 直接平衡法 由隔离体 d 得:
M
E
0,
P2 yD 2
(e)
M B 0, 2lRC 3lyD 3lP1 0
虚力原理
最小余能原理 （等价变形协调条件）
设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由 于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形（称虚位 移和虚应变），则外力在虚位移上所作的虚功W，恒等于 应力乘虚应变的虚变形功U: W=U
虚功方程的应用: (1) 虚设位移状态 —— 求未知力：
在虚功方程中，若是给定力系，虚设位移，求未知力，
x 2G 0 x 2G 0 y y xy 0 0 G xy
However
z 0
z ( x y ) Zs
四、经典结构力学：梁，板
{u} [ H ]{uc } Constrained displacement equat
2 梁 2.1 以梁在轴向力作用下为例
x
Equivalent eq.
y z
S x ( x) F
S x ( x) F x A A
Sx ( x)
f x ( x)
S x ( x dx)
Resultant-stress
? ?
三、弹性力学平面问题经典方程
1 Hale Waihona Puke Baidu维弹性力学问题基本方程 （1）平衡方程
E f
Where
x 0 0 0 0 y 0 0 z
y x 0
x 0 z y fx z 0 fy xy z fz yz y x zx
1 一般理论
Concentrated loads {F} { } { Es } {G} { } {D} Geometric constraints {u} {H} { uc }
{f} {E}
{S}
Where
{f} applied force {S} stress resultant { } Stress component { } strain component {u} displacement components {uc } constrained displacements
4 结构模型
simplification
discretization
?
3D-Actual structure
?
Continuous model
(partial or total differential equation)
Discrete model
(algebraic equation)
d 4w q 4 dx EI
EI zz v '' M z
EI yy w '' M y
My Mz x ( x, y, z) y z I zz I yy
y x
Note: thin-walled open section and thin-walled closed section:
shear flow due to a transverse force
结构分析中的数值方法——有限单元法基础
Computer Methods in Structural Analysis
授课教师：朱宏平
华中科技大学土木工程学院 2005.4
基础知识
结构模型
线性与非线性问题的特征
弹性力学问题的基本方程 传统的结构力学：杆件与板 虚功原理
主要参考文献
有限元教材或相关书籍
非对称应力等于0
x , y , xy 0
基本方程
The equations for equilibrium and strain-displacement are exactly the same as for plane stress, but for stress – strain ?
结构矩阵分析 弹性力学教材
结构力学教材
计算机程序设计
一、结构模型
1. 工程结构设计
建筑方案
数学模拟
结构模型
结构分析
外荷载下结构模型的响应
结构设计
结构构件
Yes 施工
NO
实际结构
2 结构的定义
A structure model can be defined as an assembly of structural members interconnected at certain portions of boundaries
2 平面应力问题
共同特点：
• 几何外型，等厚度的平面薄板；
• 受力状态，面力作用在板边上，面力和体力平行于板面且不沿厚 度变化
以深梁为例
Y
X
Z
z
t z 2
zx
t z 2
zy
t z 2
0
z zx zy 0
只在XOY平面有应力
x , y , xy 0
dx
Strain-displacement
u0 x S x ( x) x x E EA
dS x f x ( x) dx
Stress-strain
EAu f x ( x)
'' 0
2.2 梁弯曲变形
v
( EI zz v '')'' f y ( x)
( EI yy w '')'' f z ( x)
E E 2w 2w y ( y x ) z ( 2 2 ) 2 2 1 1 y x
h – the thickness
E 2w xy G xy z 1 xy
五、虚功方程
变形体的虚功原理是力学中最基本的原理，它包含两个平 行的原理：虚位移原理和虚力原理。 虚位移原理 最小势能原理 （等价静力平衡条件）
这种形式的应用称为虚位移原理 （2）虚设力状态 —— 求未知位移：
在虚功方程中，若是给定位移状态，虚设力系，求未 知位移，这种形式的应用称为虚力原理 在弹性力学有限元中，由于应用上的方便，通常用虚位移 方程代替平衡微分方程与应力边界条件
例：对比虚功法和直接平衡法，求图所示静定多跨梁
在点C的支座反力
解： 1. 虚功法 (1) 为使该梁发生刚体虚位移，撤除支杆C，把支座反
力变成主动力 RC 。（图b）
(2) 取图c中虚线所示机构的刚体体系的位移作为虚位
移，并设沿 RC 方向的位移 C 1 。根据几何关系，
可求得与 P1 和 P2 相应的位移。并因 1 与 P1 的方
向相反，故取 1 为负值。
(2) 位移协调方程（strain-displacement）
Du
Where
x 0 0 y 0 z 0 y 0 x z 0 0 0 u z v 0 w y x
2.1 结构构件
（1）一维构件： 杆件（bar）、索(cable)、 梁(beam and curved beam)
（2）二维构件： 板(plane and plate)、
膜(membrane)、壳(shell) (3) 三维构件： 实体 （solids）
2.2 典型结构
(1) 由一维构件组成的二维结构：
基本方程
x 0 0 y x fx y y fy xy x
0 u y v x
E 1 2 x E y 1 2 xy 0
yz xz 0
w z ( x y ) E z

3 平面应变问题
共同特点
• 几何形状：长度比横截面尺寸大得多 • 受 力 上：只有平行于横截面，且沿纵向长度均布的面力和体力
无论两端有无约束
w 0, z 0
zx zy 0
zx zy 0
E 1 2
E 1 2 0
x x y 0 xy y
0 x 0 y xy G
X s x xy l Y s xy y m
(1) 力平衡方程在原始状态和变形状态下均成立
(Equilibrium equation) (2) 变形与位移间的关系是线性的 (Strain – displacement relation be linear) (3) 材料是线弹性、均匀、各向同性，且应力-应变满足虎 克定理
（constitutive equation follows Hooke’s Law）
桁架结构 truss（承受平面内力）
(2) 由一维构件和二维构件组成的二维结构：
（承受平面外力）
(3) 三维结构: 建筑（building）、桥梁(bridge)、
体育馆(gymnesium)等
3. 线性结构与非线性结构
线性结构的定义
叠加原理 (Principle of superposition)
3 薄板 (thin-plates)
Thin flat plate
4w 4w 4w p w 4 2 2 2 4 x x y y D
4
w
x w x
Eh3 D 12(1 2 )
E E 2w 2w x ( x y ) z ( 2 2 ) 2 2 1 1 x y
[ L]{uc } { f }
{ f } [ E ]{S} Equilibrium equations
{S} [ Es ]{ } Definition of stress resultant { } [G]{ } Stress-strain equation
{ } [ D]{u} Strain-displacement equation