第六章图与网络分析习题及参考答案案
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习题六图与网络分析习题及参考答案
.1 十名学生参加六门课程的考试。由于选修内容不同,考试门数也不一样。下表给出了每个学生应参加考试的课程(打⊙的):
学生考试课程 A B C D E F
1 ⊙⊙⊙
2 ⊙⊙
3 ⊙⊙
4⊙⊙⊙
5⊙⊙⊙
6 ⊙⊙
7⊙⊙⊙
8 ⊙⊙
9 ⊙⊙⊙
10⊙⊙⊙
规定考试在三天内结束,每天上下午各安排一门。学生希望每人每天最多考一门,又课程A必须安排在第一天上午考,课程F安排在最后一门,课程B只能安排在下午考,试列出一张满足各方面要求的考试日程表。
参考答案
把同一个研究生参加的考试课程用边连接,得图如下。由图看出,课程A只能同E排在一天,B同C排在一天,D同F在一天。再据题意,考试日程表只能是下表:
B E 上午下午
第一天 A E
A F 第二天 C B
第三天 D F
D C
2 求下图的最小生成树和最大生成树:
V6
3
需
参考答案
将每小块稻田及水源地各用一个点表示,连接这些点的树图的边数即为至少要挖开的堤埂数。(至少挖开11条)
4. 请用标号法求下图所示的最短路问题,弧上数字为距离:
参考答案
路线为1-2-4-6,距离为9个单位
5 用Dijkstra标号法求下图中始点到各顶点的最短路,弧上数字为距离:
v3 3 v5
1 5 4
v1 2
4
v2 2 v4
参考答案
1-2,3,4,5最短路:3*,1*,5*,4*
6最短路问题:某公司使用一种设备,此设备在一定年限内随着时间的推移逐渐损坏。每年购买价格和不同年限的维修使用费如下表所示。假定公司在第一年开始时必须购买一台此设备,请建立此问题的网络图,确定设备更新方案,使维修费和新设备购置费的总数最小。说明解决思路和方法,不必求解。
年份 1 2 3 4 5
价格20 21 23 24 26
使用年限0-1 1-2 2-3 3-4 4-5
费用8 13 19 23 30
参考答案
弧(i,j)的费用或“长度”等于j-i年里的设备维修费加上第i年购买的新设备的价格。例如,弧(1,4)的费用为(8+13+19)+20=60
现用p j表示第j年的购买费,m k表示使用年限为k年的设备的维修费。一般,任一弧(i,j)的长度=(j—i)年里的设备维修费+第i年设备的购买费=( m1+m2+…m j-i)+p i
然后,1-6最短路即为所求。答案:第1年及第3年购买新设备
7 试将下述非线性整数规划问题归结为求最长路的问题。要求先根据这个问题画出网络图,扼要说明图中各节点、连线及连线上标注的权数的含义,再用标号法求数值解。
max z =(x1+1)2+5x2x3+(3x4-4)2
x1+x2+x3 +x4 ≤
3
x j≥0,且为整数(j=1,2,3,4)
参考答案
将x1,x2与x3,以及x4的取值看成3个阶段,各阶段状态为约束右端项的剩余值,画出网络图如下。各连线权数为对应各变量取值后的目标函数项的值,其中x2与x3的取值应考虑使其乘积为最大。求目标函数最大值相当于求图中A点至D 点的最长距离,用标号法求得为32,即应取x1=3,x2=x3=0,x4=0。
D
32
8 用标号法求下图所示的最大流问题,弧上数字为容量和初始可行流量:
v1(7,4)v3
(8,8)(3,1)(8,6)
v s(3,3)(3,0)v t
(9,4)(2,2)(9,6)
v2(5,5)v4
参考答案
最大流值f*=15
9 已知有6个村子,相互间道路的距离如下图所示,拟合建一所小学。已知A处有小学生50人,B处40人,C处60人,D处20人,E处70人,F处90人,问小学应建在哪一个村子,使学生上学最方便(走的总路程最短)。
B· 6 ·D
2 8 6
A· 4 1 ·F
7 1 3
C · 3 ·E
参考答案
先求出任意两点间的最短路程如下表所示:
D,即小学应建立在D村。
A B C D E F
0 100 300 350 400 550
80 0 160 200 240 360
360 240 0 60 120 300
140 100 20 0 20 80 560 420 140 70 0 210 990 810 450 360 270 0
2130 1670 1070 1040 1050 1500
10 如下图,从三口油井1、2、3经管道将油输至脱水处理厂7和8,中间经4、5、6三个泵站。已知图中弧旁数字为各管道通过的最大能力(吨/小时),求从油井每小时能输送到处理厂的最大流量。
1 7
4 10 2 20 10 6 50
30 20 3 5 30 8
20 50 10 15 20
参考答案
最大流量为110吨/小时
11 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人,有5人应聘。已知乙懂俄文,甲、乙、丙、丁懂英文,甲、丙、丁懂日文,乙、戊懂德文,戊懂法文,问这5个人是否都能得到聘书?最多几个得到招聘,招聘后每人从事哪一方面翻译任务?
参考答案
将五个人与五个外语语种分别用点表示,把各人与懂得的语种之间用弧相连。虚拟发点和收点,规定各弧容量为1,求出网络最大流即为最多能得到招聘的人数。(只能有4人得到招聘,方案为:甲-英,乙-俄,丙-日,戊-法,丁未能得到应聘)
12. 下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价表。将此问题转化为最小费用最大流问题,画出网络图并求数值解。