岩石弹性本构关系

5.2 岩石弹性本构关系
a.岩石强度是指岩石抵抗破坏的能力。破坏是指岩石材料的应力 超过了它的极限或者变形超了它的限制。 b.破坏两种形式：断裂破坏和流动破坏（显著塑性变形或流动现 象） c.断裂破坏发生于应力达到强度极限，流动破坏发生于应力达到 屈服极限。
d.材料强度确定——试验方法。单轴压缩试验→单轴抗压强度； 单轴拉伸试验→单轴抗拉强度；同时建立强度准则。复杂应力条 件？？（仿照单轴情况一一试验，建立强度准则，难以实现） e.采用推理方法，提出一定假说，推测材料在复杂应力状态下破 坏的原因，从而建立强度准则，这些假说称为强度理论。
5.1 综述
由于P点在y方向的位移分量为v，A点 在y方向的位移分量为：
v v dx x
因此PA的转角是：
yx
v v dx v v x dx x
同理，PB的转角是：
u u dy v y u xy dy y
5.2.5 岩石力学的习惯符号规定
a.到目前为止有关力、位移、应变和应力的符号规定都是按照 一般弹性力学通用规定。 b.在岩石力学中，往往以承受压应力为主，如果仍采用弹性力 学的符号规定，应力和应变计算的结果将出现很多负值，处理 起来不方便。 c.岩石力学的习惯符号规定

力和位移分量的正方向与坐标轴的正方向一致；
5.2 岩石弹性本构关系
a.岩石本构关系是指岩石的应力或应力速率与其应变或应变 速率的关系。
b.只考虑静力问题，则本构关系是应力与应变，或应力增量 与应变增量之间的关系。 c.岩石的变形性质按卸载后是否可恢复，弹性和塑性 d.弹性和塑性是两种物质变形的性质，与时间无关，属即时 变形。一般也是物质变形的两个阶段，物质在变形的初始阶 段呈弹性，后期呈塑性，包括岩石。岩石变形一般为弹塑性。 e.本构关系又分线弹性本构、非线性弹性本构、塑性本构、各 向同性本构、非各向同性本构 f.物体的应变或应力随时间而变化，则称物体具有流变性，流 变本构关系
压缩的正应变为正；
压缩正应力为正； 假如表面的外法线与坐标轴的正方向一致，则该表面上正的剪 应力的方向与坐标轴的正方向相反，反之亦然。
正应变以伸长为正,压缩为负;剪应变以直角变小为正,变 大时为负;作用力和位移以沿坐标轴的正方向为正,沿坐标 轴负方向为负

5.1 综述
1. 平衡方程
a.如右图所示，从物体中取出 一个z方向单位长度的微元体， 在x和y方向上的尺寸各为dx,dy。 可看成平面问题 b.由符号规定可知，应力全都 是正的。 c.对于平面问题，应力分量是 位置坐标x和y的函数。
5.2.2 平面弹性本构关系
平面应力问题： τzx=τzy=τxz=τyz=0，σz=0，代入上式得平 面应力问题本构方程：
1 x v y E 1 y y v x E 2(1 v) xy xy E 第三方向应变可表示为：
x
z
v ( x y ) E
经整理得到
x yx X 0 x y
同理，得y方向 平衡方程
y y

xy x
平衡方程
Y 0
5.1 综述
2. 几何方程
物体在外力作用下将产生形状和 尺寸的改变，这种改变使物体内 各点的位置发生了变化，即各点 都有位移。推导应变分量与位移 的关系。即几何方程
5.2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变
与平面应力问题相反，设有很长的 柱形体，如右图的挡土墙，以任一 横截面为xy面，任一纵线为z轴，所 受荷载都垂直于Z轴而且沿z方向没 有变化，则所有一切应力分量、应 变分量和位移分量都不沿z方向变 化，而只是x和y的函数。 如果近似的认为墙的两端受到光滑平面的约束，使之在z方 向无位移，则任一横截面在z方向都没有位移，也就是w=0， 所有变形都发生在xy面内。这种情况称为平面应变问题。
5.1 综述
几个概念：
a.体积力：分布在物体体积上的力，如重力和惯性力 b.表面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和接触力
符号规定(弹性力学)：

在外法线的指向与坐标轴的正向一致的面上,应力的正向 与坐标轴的正向相同;

在外法线的指向与坐标轴的正向相反的面上,应力的正向 与坐标轴的正向 x cos(N , x) yx cos(N , y) Y y cos(N , y) xy cos(N , x)
三组8个方程，包含8个未知数
3个应力分量：σx，σy，τxy 3个应变分量：εx，εy，γxy
2个位移分量：u，v
5.2.4 平面问题求解
求解弹性问题，有三种基本方法，即按应力求解、按位移求 解和混合求解。 按应力求解： 变换基本方程和边界条件为应力分量的函数，求出应力分量 后，代入本构关系求出应变分量，再代入几何方程求出位移 分量。
按位移求解：
变换基本方程和边界条件为位移分量的函数，求出位移分量 以后，代入几何方程求应变分量，再代入本构方程求出应力 分量。 混合求解： 变换部分基本方程和边界条件为只包含部分求知函数，先求 出这部分未知函数以后，再适当的方程求出其他的未知函数
平衡方程
x yx X 0 x y
y y xy x Y 0
几何方程
u x v y y v u xy x y
本构方程
1 x v y E 1 y y v x E 2(1 v) xy xy E
如右图所示，在物体边界上取一 斜面，N代表斜面AB的外法线方 向，X，Y表示边界上给定的面力 在x，y轴方向的分量。设AB的长 度为ds，
5.2.3 边界条件
列出
F
x
0
平衡方程：
Xdx 1 x ds cos(N , x) 1 yxds cos(N , y ) 1 X cos(N , x)ds cos(N , y )ds 1 0 2
忽略3阶小量，整理可得到
yxdxdy xydxdy 0
即
xy yx
剪应力互等定理
5.1 综述
以x轴为投影轴，列出平衡方程：
F
x
0
x x dx dy 1 x dy 1 x yx yx y dy dx 1 yx dx 1 Xdxdy1 0
PA，PB之间直角的改变，即剪应变γxy为
xy yx xy
v u x y
5.1 综述
综合以上三式，可得平面问题中的几何方程为： u x x v y y v u xy x y 可以看出，平衡方程和几何方程与材料的性质无关；只有 本构关系反映材料的性质。
除以ds，然后略去微量，从而得
X x cos(N , x) yx cos(N , y)
同理，可得出另一个方程，则平面问题的应力边界条件为：
X x cos(N , x) yx cos(N , y) Y y cos(N , y) xy cos(N , x)
5.2.4 平面问题求解
f. 岩石力学性质：变形与强度，变形性质→本构关系；强度性质 →强度准则
5.2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力
设所研究的物体为等厚度薄板，所受荷载与z轴垂直，在z方 向不受力，并且由于板很薄，外力沿z轴方向无变化，可以 认为在整个板内任何一点都有：
σz=0，τzx=0，τzy=0
由剪应力互等关系，可知τxz=0， τyz=0。只剩下平行于xy面的三个 应力分量，σx，σy，τxy=τyx，它 们只是x和y的函数，不随z而变 化，因此，这种问题称为平面 应力问题。
d.设作用于左边面的平均正应力分量为σx，由于右边面在x方向上 x dx 相差了dx的距离，则该面上的平均正应力分量表示为 x
x
同理，可表示出其他面上的正应力和剪应力分布。
5.1 综述
通过中心点C并平行于Z轴的直线为矩 轴，列出力矩平衡方程：
M
即
C
0
xy dx dx dx dy 1 dy 1 xy xy x 2 2 yx dy dy dy dx 1 dx 1 0 yx yx y 2 2
如右图，在弹性体内任一点P，沿x轴和y轴的方向取两个微小 长度的线段PA=dx和PB=dy，设弹性体受力后，P，A，B三点移 动到P’，A’，B’。
用u，v表示P点在x和y方向的位移分量，则A点在x方向的位移 u 分量为 u dx x
5.1 综述
因此，线段PA的正应变是：
u dx u u u x x dx x
对比平面应力和平面应变的本构关系可以看出，只要将 平面应力问题本构方程中有E换成E/(1-v2)，v换成v/(1-v)就 可得到平面应变问题的本构
5.2.3 边界条件
边界条件是求解弹性力学问题的重要条件，它可分为位移 边界条件、应力边界条件和应力位移混合边界条件。 位移边界条件 设us，vs为物体的边界位移，u0，v0表示边界点在x，y轴方向 的给定位移，则位移边界条件为： us = u0 ，vs = v0 应力边界条件
τzx=τzy=τxz=τyz=0，由于z方向伸缩被阻止，所以σz≠0
5.2.2 平面弹性本构关系
在完全弹性的各向同性体内，根据胡克定律可知
1 [ x v( y z )] E 1 y [ y v( z x )] E 1 z [ z v( x y )] E 1 1 1 xy xy , yz yz , zx zx G G G
x
式中，E为物体弹性模量；v为泊松比；G为剪切弹性模量，而
E G 2(1 v)
5.2.2 平面弹性本构关系
平面应变问题： τzx=τzy=τxz=τyz=0，εz=0，代入上式得平 面应变问题本构方程：
z v( x y )
1 v2 v x x y E 1 v 1 v2 v y x y E 1 v 2(1 v) xy xy E
同理，线段PB的正应变为：
v v dy v y v y dy y
PA，PB二线段之间直角的改变，也就是剪应变γxy。由图可 知，剪应变由两部分组成，一部分是x方向的线段PA向y方向 的线段PB的转角αyx，另一部分是y方向的线段PB向x方向的 线段PA的转角αxy。
第五章 岩石本构关系与强度理论
5.1 综述 5.2 岩石弹性本构关系 5.3 岩石流变理论 5.4 岩石强度理论
5.1 综述
研究对象：岩石或岩体.
力学性质: 表现为弹性、塑性、粘性或者三者之间的组合，如粘 弹性、弹塑性、粘弹塑性等表示。 岩石力学问题的求解过程
从物体的单元微元体出发， 研究微元体的力的平衡关系 （平衡方程）、位移和应变 的关系（几何方程）以及应 力和应变的关系（本构方程 或物理方程），得到相应的 基本方程，然后联立并结合物体的边界条件求得整个物体内部 的应力场和位移场。