数学分析区间套定理 聚点定理及应用

复习 定理证明与例题
123
聚点定理
讲授新拓展内容
课后总结
说明区间套定理与聚点定理的作用
系主任
年
月
日
教学过程全设计与教学内容 教学内容
备注
一、复习柯西收敛准则，单调有界原理与致密性定理，请同学回答，教师只板书单
调有界原理；
区间套定理与聚点定理（板书）
二．区间套与区间套定理
1. 首先，开门见山给出区间套的定义： 教师板书；

M 2 n1
0
n
即an ,bn 是区间套，且其中每一个闭区间都含有 S 中无穷多个点．
由区间套定理，存在唯一的一点 an ,bn ，n 1,2,, ．于是由定理 7．1 的推论，
对任给的 0 ，存在 N 0 ，当 n M 时有 an ,bn U ; ．从而U ; 内含有 S
1 n
，易
见
lim
n
xn

。
2、聚点定理及证明：给出聚点定理并用区间套定理加以证明 教师板书 定理 2 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集 S 至 少有一个聚点．
证 因 S 为有界点集，故存在 M 0 ，使得 S M , M ，记 a1,b1 M , M
S
，则其极限
lim
n
xn

称为
S
的一
个聚点。现证定义 2’ 定义 2”
设 为 S(按定义 2’)的聚点，则对任给的 0 ，存在 x U ; S ．
令 1 1，则存在 x1 U ;1 S ；
令2

min
1 2
,


x1

定义 1 设an ,bn 为一闭区间列，若满足：
1. an ,bn an1,bn1, n 1, 2,.
2.
lim
n
bn

an


0
，
则称该闭区间列为一个区间套。
2. 在分析区间套左右端点构成的两个数列的性质后给出区间套定理，教师板书；
定理 1 设an ,bn 为一区间套，则在实数系中存在唯一的一点 an ,bn , n 1, 2,.
现在证明数 就是数列 an 的极限．事实上，由定理 7.1 的推论，对任给的 0 ，
存在 N 0 ，使得当 n N 时有
n , n U (; )
因此在U (; ) 内除有限外的所有项，这就证得
lim
n
an

．
四. 聚点与聚点定理
1、聚点的定义
因而
am

A

2
,
an

A

2
am
an

am
A

an

A

2

2


[充分性] 按假设,对任给的 0 ,存在 N 0 ,使得对一切 n N 有 an aN ,即
在区间 aN , aN 内含有 an 中几乎所有的项(这里及以下,为叙述简单起见,我
整数集 没有聚点，任何有限数集也没有聚点． 教师启发，学生给出聚点概念的另两个等价定义，并证明等价定义定义 2” 定义 2’ 对于点集 S，若点 的任何 邻域内都含有 S 中异于 的点，即
U 0 (; ) S ，则称 为 S 的一个聚点．
定义 2”
若存在各项互异的收敛数列xn

1 22
, aN2

1 22

内含有
a
n

中几乎所有的项．
记
2 , 2
a N2

1 22
, aN2

1 22



1
,
1

，
它也含有 an 中几乎所有的项，且满足
1, 1
2 , 2 及 2
2

1 2
继续依次令


1 23
牡丹江师范学院教案
学院系别：理学院
课程名称 授课内容 教学目的 教学重点 教学难点 教具和媒体使用 教学方法
教 学 过 程
板 书 设 计
数学分析（2）
授课专业和班级
区间套定理 聚点定理及应用
授课学时
2 学时
理解区间套的定义，掌握区间套定理定理，掌握聚点的三个定义，掌握聚点定理， 能够应用区间套定理和聚点定理证明一些问题
中无穷多个点，按定义 2， 为 S 的一个聚点． 说明由聚点定理可以得到致密性定理
六、总结本节课所学习到的两个定理都是寻找和构造实数的方法
们用“ an 中几乎所有的项”表示“ an 中除有限项外的所有项”).
据此,令

1 2
,则存在
N1 ,在区间 aN1

1 2
,
a
N1

1 2
内含有 an 中几乎所有的项.记
这个区间为 1, 1 .
再令

1 22
，则存在 N 2 (
N1 ) ，在区间 a N2
，，21n
,,
照以上方法得一闭区间列
n ,
n
，其中每个区间
都含有 an 中几乎所有的项．且满足
n , n n1, n1 , n 1,2,,
n
n

1 2 n1
0
(n )
即 n , n 是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数 n , n n 1,2,, ，
即 an bn , n 1, 2 .
证明定理 1（板书证明） 由于 a1 a2 an bn b2 b1，则知an 为
递 增 有 界 数 列 ， 依 单 调 有 界 定 理 ， an 有 极 限 ， 且 有 an , n 1, 2,
定义 2 设 S 为数轴上的点集， 为定点(它可以属于 S，也可以不属 S)． 的任
何邻域内都含有 S 中无穷多个点，则称 为点集 S 的一个聚点．
例如，点集
S

(1) n

1
n

有两个聚点 1

1 和 2
1 ；点集
S


1 n

只有一个聚
点
0 ；又若 S 为开区间 a, b ，则 a, b 内每一点以及端点 a 、 b 都是 S 的聚点；而正
现将 a1,b1 等分为两个子区间．因 S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个
含有 S 中无穷多个点，记此子区间为 a2 ,b2 ，则 a1,b1 a2 ,b2 且
b2

a2

1 2
b1

a1
M
再将 a2 ,b2 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有 S 中无穷多个点，
1、区间套的定义
2、区间套定理及其证明
30
3、关于区间套定理的两点注
三、应用区间套定理证明柯西收敛准则
13
四、聚点与聚点定理
1、聚点的领域刻画的定义
2、聚点的序列刻画的等价定义
30
3、聚点定理及其证明
五、应用聚点定理证明致密性定理
10
Байду номын сангаас
六、总结 作业
5
区间套 区间套定理 两点说明
区间套定理与聚点定理
聚点的定义
并板书应用区间套定理的证明：
数 列 an 收 敛 的 充 要 条 件 是 : 对 任 给 的 0 , 存 在 N 0 , 使 得 对 m, n N 有
| am an | .
证：[必要性]
设
lim
n
a
n

A
.由数列极限定义,对任给的

0
,存在
N

0
,当
m, n N 有
区间套定理及如何应用 聚点的等价定义和聚点定理
应用区间套定理时依据实际问题构造区间套 聚点的序列等价定义的运用
启发式 反例
包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、 时 间 分 配
问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容
(90 分钟)
一、复习所需要的知识
1．单调有界原理
2
2．致密性定理
二、区间套与区间套定理
同理，递减有界数列bn 也有极限，并按区间套的条件
2.有
lim
n
bn

lim
n
an


下 面 说 明 是 唯 一 的 ， 设 数 也 满 足 an bn , n 1, 2, ， 则 有
| | bn an , n 1, 2, ， 由 区 间 套 的 条 件 2. 得 | | lnim(bn an ) 0 ， 故 有
，则存在
x2
U ; 2 S
，且显然 x2

x1 ；

令n

min
1 n
,


xn1

，则存在
x
n
U ; n S
，且 xn与x1,, xn1 互异。
无限地重复以上步骤，得到 S 中各项互异的数列xn ，且由 xn
n

取出这样的一个子区间，记为 a3 ,b3 ，则 a2 ,b2 a3 ,b3 ，且
b3

a3

1 2
b2

a2


M 2
将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列an ,bn ，它满足
an , bn an1, bn1 , n 1,2,,
bn
an
.
3. 教师和学生一起分析区间套定理的几何意义，教师板书；
注 1：几何意义：U ( ), 有 an , bn U ( ), n N
注 2：对开区间列定理 1 不成立
(0,
1 n
)
,
n

1,
2,

.
三、区间套定理的应用，证明数列极限柯西收敛准则，教师和学生复习之前的证明