圆锥曲线里弦长公式与点差法

知识点1：直线与圆锥曲线的位置关系

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

例1：P228，例4

练习：已知直线1:-=kx y L 与双曲线2

2:y x C -=4。

⑴若直线L 与双曲线C 无公共点，求k 的范围；

⑵若直线L 与双曲线C 有两个公共点，求k 的范围；

⑶若直线L 与双曲线C 有一个公共点，求k 的范围；

知识点2：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：

例1：在抛物线x y 642

=上求一点，使它到直线L ：04634=++y x 的距离最短，并求这个最短距离。

练习：椭圆14

162

2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A.3 B.11 C.22 D.10

知识点3：弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线()

k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ，()22y ,x B 时，则AB =2k 1+21x x -=2

k 1+()212214x x x x -+ =211k +21y y -=211k +()2

12214y y y y -+ 可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。

例1：过双曲线16

32

2=-y x 的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 。

练习：1、已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6

π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长

2、过椭圆22

154

x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为

知识点4：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法： ⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；

⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k ，然后写出弦的方程； ⑶.设弦的两个端点分别为()()2211,,,y x y x ，则这两点坐标分别满足曲线方程，又⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,2

2121y y x x 为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。

例1：已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22-，0）和F 2（22，0），长轴长为6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

已知双曲线方程2

22y x -=2。⑴求以A ()1,2为中点的双曲线的弦所在的直线方程； ⑵过点()1,1能否作直线L ，使L 与双曲线交于1Q ，2Q 两点，且1Q ，2Q 两点的中点为()1,1？如果存在，求出直线L 的方程；如果不存在，说明理由。

练习：1、直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.

2、如果椭圆19

362

2=+y x 的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A.02=-y x B.042=-+y x C.01232=-+y x D.082=-+y x

3、已知椭圆方程为2212x y +=，内有一条以点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭

为中点的弦AB ，求AB 所在的直线l 的方程及AB 的弦长。

4、中心在原点，一个焦点为F 1（0，50）的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中

点横坐标为2

1，求椭圆的方程

5、求过定点(0,1)的直线被双曲线2

2

14y x -=截得的弦中点轨迹方程

练 习 题

1.（09上海）过点)0,1(A 作倾斜角为4

π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则MN = 。

2.（09海南）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 。

3.（08宁夏海南）过椭圆22

154

x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为

4.（11全国）已知直线L 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，L 与C 交于A ，B 两点，

||12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）

A ．18

B ．24

C ． 36

D ． 48 5.（09山东）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,

若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )

A.24y x =±

B.28y x =±

C. 24y x =

D. 2

8y x = 6.（09山东）设双曲线122

22=-b

y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. 4

5 B. 5 C. 25 D.5 7.（10全国）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +2

2y b

=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线L 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。⑴求AB

⑵若直线L 的斜率为1，求b 的值。