大变形问题的基本方程

第五章 大变形问题的基本方程和Lagrangion 表示法（列式法）

§5-1物体的运动分析和应变度量

严格来说任何一个变形过程都是非线性的，因为平衡状态和变形有关。但在小变形情况下，以物体变形的平衡方程可始终建立在初始构形上，而与实际情况相差不大，足够满足工程要求。

而研究大变形物体的变形过程，，必须在变形之后的物体构形上建立平衡方程。研究方法：把连续的的变形过程分为若干个增量步，在每个增量步内建立它的增量运动方程——即变形体内质点的运动规律。要选取某一坐标系：初始（initial ）坐标系; 相邻（adjacent, neighboring ）坐标系; 瞬时（current ）坐标系.

1． 物体运动方程：物体构形（configuration ）内一点P 的增量运动方程。

选择两个固定坐标系,以t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系a i , 以+t t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系x i

研究（t t t →+）具有普遍意义

.t 时刻 ()i P a ； t t + 时刻 '()i P x △t 增量步内，P 的变形

i i i u x a =- （1）

研究t 时间步内物体内一点P 的变形。最简便的办法是将两个坐标系重合在一起。

2． 应变度量

研究P 点附近线素变形 在 t t t →+ 时间步内 ''PQ P Q →

线素变形 i i i du dx da =- （1）’

将i du 在i a 坐标系中，在P 点处作一阶泰勒展开并考虑到()=i P du O 得i

i j j

u du da a ∂=

∂ 代入(1)’ 式得 ()i

i ij j j

u dx da a δ∂=+

∂ (2) 同理将i du 在x i 坐标系中，在P ’点处作一阶泰勒展开,并考虑到()'=i P du O 得

i

i j j

u du dx x ∂=

∂

代入(1)’ 式 ()i

i ij j j

u da dx x δ∂=-

∂ (2)’ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 附：若位移i du 是坐标i a 的单值连续函数，则可在i a 空间中p 点处展成泰勒级数

. 123123()⎫⎛∂∂∂∂=+++=⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭i i i i i i p j j

u u u

u du du da da da da a a a x i.e 111

111231232222212312333333123123()()()p p p u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a ⎧⎫⎛∂∂∂=+++⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎪⎭⎪

⎫⎛∂∂∂⎪

=+++⎪⎨ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪

⎪

⎫

⎛∂∂∂⎪=+++⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎩

代入（1）式 i i i dx da du =+

写成张量形式： i

i ij j j u

dx da a δ⎛⎫

∂=+ ⎪ ⎪∂⎝

⎭

(2) 同理若将位移i du 在i x 坐标系中p ’点处展成泰勒级数并取一阶项：

123123()⎫⎛∂∂∂∂=+++=⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭

i i i

i i i p j u u u u du du dx dx dx x x x x 代入（1）得

i

i ij j j u

da dx x δ⎛⎫

∂=- ⎪ ⎪∂⎝

⎭

(2)’ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 上两式中 i i j j u du da a ∂=

∂ i i j j

u

du dx x ∂=∂ 其中

i j u a ∂∂和i j

u

x ∂∂ 可分别记为,i j u 和,i j u ，可称为相对位移张量（不对称张量），而且可将,i j u 分解成对称部分和反对称部分。

i.e. ,i

i j ij ij j

u u a εω∂=

=+∂ (3)

其中 1(

)21()2j i ij j i j i ij j i u u a a u u a a εω∂⎫

∂=+⎪∂∂⎪

⎬∂∂⎪

=-⎪∂∂⎭

(4)

同理 ,i

i j ij ij j

u u x εω∂=

=+∂ (3)’ 1()21()2j i ij j i j i ij j i u u x x u u x x εω∂⎫∂=+⎪

∂∂⎪

⎬∂∂⎪

=-⎪∂∂⎭

(4)’

将（3）（4）和 (3)’ (4)’代入（2）(2)’

得变形前线素 ()i ij ij ij i dx da δεω=++ (5) 变形后线素 ()i ij ij ij i da dx δεω=-- (5)’

为了定义应变要讨论t ∆时间步内线素的长度变化PQ

t 时刻变形前线素长度 ： PQ 长度ds 0 ()2

0i i ds da da = (6) t+t ∆时刻变形前长度 ： ''P Q 长度ds ()2i i ds dx dx = (6)’ 定义应变为: ()()22

02ij

i i

ds ds E da da -=

和 ()()22

02ij

i i

ds ds e dx dx -=

(7)和(7)’

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 附录：

1. 说明：平衡方程和变形有关，否则无法求解或求解错误。

由两杆三铰结构，且三铰位于同一条直线上。从小变形的观点，平衡方程始终相对于初始坐标建立。所以，外力P 无法抵挡，成为结构力学中瞬变机构。

而实际上，平衡状态是客观存在的，如图平衡状态和变形有关。当铰2有了一定的微小法向位移δ之后，杆中的轴力，有一部分可以抵抗外力P ，而平衡与变形δ有关。平衡方程应相对于变形后的构型为参考的坐标系来建立。 2. 说明：用线性理论求解会得到错误的结果。

物体作平面转动的刚体运动。角速度为3ω，t 时间内转动量为t 3ω。按小变形理论，

x