考点15三角恒等变换高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过

考点15 三角恒等变换
1．和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=
tan tan π
(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z
（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π
(,,π,)1tan tan 2
k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z
2．二倍角公式
（1）2S α：sin2α=2sin cos αα
（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ
(π,)
1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且
3．公式的常用变形
（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()
αβαβ
αβαβαβ+-=-=-+-
（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=
；21cos 2cos 2αα+=；1
sin cos sin 22
ααα=
（3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；2
1sin 2(sin cos )ααα+=+；
21sin 2(sin cos )ααα-=-
（4）辅助角公式：sin cos a x b x +22)a b x ϕ++，其中2
2
2
2
cos a b
a b ϕϕ==
++
二、简单的三角恒等变换 1．半角公式 （1）sin
2
α
=1cos 2α
- （2）cos
2
α
=1cos 2
α
+ （3）tan
2
α
=1cos sin 1cos 1cos 1cos sin ααα
ααα
--==++
【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：
1
cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；
1
sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；
1
sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；
1
cos sin [sin()sin()]2
αβαβαβ=+--.
（2）和差化积公式：
sin sin 2sin cos 2
2
αβ
αβ
αβ+-+=； sin sin 2cos
sin
22αβ
αβ
αβ+--=； cos cos 2cos
cos
22
αβ
αβαβ+-+=； cos cos 2sin
sin
2
2
αβ
αβ
αβ+--=-.
考向一三角函数式的化简
1．化简原则
（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；
（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．2．化简要求
（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
（2）式子中的分母尽量不含根号.
3．化简方法
（1）切化弦；
（2）异名化同名；
（3）异角化同角；
（4）降幂或升幂．
典例1 化简：.
【解析】原式
.
【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．
(3)在化简时要注意角的取值范围.
+-________．
122cos821sin8
考向二三角函数的求值问题
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2
，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ
(,)22
-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角
例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，
(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，2
2
αβ
αβ
α+-=
+
，2
2
αβ
αβ
β+-=
-
.
（2）互余与互补关系 例如：π3π()(
)π44αα++-=，πππ()()362
αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°. 典例2 求下列各式的值： （1）cos
π8+cos 3π8-2sin π4cos π
8
; （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.
【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.
2．o o
2cos553sin5-的值为__________． 典例3 已知tan(α−β)=,tan β=−,且α,β∈(0,π),则2α−β= A ．
π
4
B ．π4
-
C ．3π4
-
D ．
π4或3π4
- 【答案】C
【解析】因为tan 2(α−β)=
()()221
22tan 4211tan 3
1()2
αβαβ⨯
-==---, 所以tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=()()41tan2tan 37411tan2tan 137αββαββ⎛⎫+- ⎪
-+⎝⎭
=--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=1.
又tan α=tan[(α−β)+β]=()()11tan tan 127111tan tan 3127αββαββ
⎛⎫+- ⎪
-+⎝⎭
==--⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭
,
又α∈(0,π),所以0<α<
π4
. 又
π2<β<π,所以−π<2α−β<0,所以2α−β=3π4
-.故选C ． 【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围. 3．已知1413)cos(,71cos =-=
βαα，且02
βαπ
<<<. （1）求α2tan 的值． （2）求β的值. 典例4 在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.
（1）求的值；
（2）求
的值.
【解析】（1）由于角的终边经过点，
所以
，
.
.
（2）
.
则
，
故
.
【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角. 4．已知()2tan 5αβ+=
，π1tan 44β⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
，则cos sin cos sin αααα+-的值为______________.
考向三 三角恒等变换的综合应用
1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式． （2）利用公式2π
(0)T ωω
=
>求周期．
（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．
2．与向量相结合的综合问题
三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则
a·b =x 1x 2＋y 1y 2，a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍
然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用. 3．与解三角形相结合的综合问题
（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；
（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．
【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π
(0,)2
内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意. 典例5 已知函数
.
（1）求函数
的对称中心及最小正周期；
（2）ABC △的外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，.若
，且
，
求
的值.
【解析】（1）22
π()43sin cos sin 3cos 123sin 22cos 24sin 26f x x x x x x x x ⎛
⎫=+-+=-=-
⎪⎝
⎭
. 由
2π
π2
=，得最小正周期为. 令π2π()6x k k -=∈Z ，得ππ
122
x k +=()k ∈Z ，
故对称中心为ππ0122k ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，（）.
（2）∵，∴
.
∵，
，∴，
∵，∴ ，
又∵，∴
，
即，即
，
∵，∴，
∴， ∵，∴，∴.
∴
. 5．已知向量()()sin ,2,cos ,1θθ==a b ，且,a b 共线，其中.
（1）求的值；
（2）若
，
，求的值.
1．cos45°·cos15°＋si n45°·sin15°＝ A ．
1
2
B ．
32
C 3
D 3
2．已知，则的值是
A．
24
25
-B ．
12
25
-
C．12
25
D．
24
25
3．已知锐角,αβ满足
1025
sin,cos
105
αβ
==，则αβ
+的值为
A．3π
4
B．
π
4
C．π
6
D．
3π
4
或
π
4
4．已知，则
A．B．
C．D．
5．已知为锐角，为第二象限角，且，，则
A．
1
2
-B．
1
2
C．
3
2
-D．
3
2
6．函数图象的一条对称轴为
A．
π
4
x=B．
π
8
x=
C．
π
8
x=-D．
π
4
x=-
7．已知
cos25
π2
2sin
4
α
α
=
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，则
A．
1
8
-B．8-
C．1
8
D．8
8．已知
5
cosθ=-，且，则__________．
9．已知
，则__________(填“>”或 “<”)；
__________(用表示).
10．在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则C ∠=_____________. 11．已知函数()2
ππsin 23sin cos sin sin 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，若00π02x x x ⎛
⎫=≤≤ ⎪⎝
⎭为函数
()f x 的一个零点，则0cos2x =__________．
12．已知tan 2α=．
（1）求πtan 4α⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值； （2）求
2
sin 2sin sin cos cos 21
α
αααα+--的值． 13．在平面直角坐标系
中，锐角
的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为
．已知点的横坐标为
，点的纵坐标为
．
（1）求的值； （2）求的值.
14．已知,
(),函数,函数的最小正周期为
． (1)求函数的表达式; (2)设
,且
,求
的值．
15．已知函数()2ππ13cos cos sin 262
f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-
+-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；
（2）若π04x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()3
6f x =，求cos2x 的值. 16．在ABC △中，角
所对的边分别为
，
.
（1）求； （2）若
，ABC △的周长为
，求ABC △的面积.
1．（2018新课标全国Ⅲ文科）若1
sin 3
α=
，则cos2α=
A ．
89 B ．
7
9 C ．79
-
D ．89
-
2．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知4
sin cos 3
αα-=
，则sin 2α= A ．79-
B ．29
-
C ．
29
D ．
79
3．（2016新课标全国Ⅲ文科）若tan 1
3
θ=，则cos2θ= A ．4
5- B ．15
- C ．
1
5 D ．
45
4．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点
()1A a ，，()2B b ，，且2
cos 23
α=，则a b -=
A ．15
B 5
C 25
D ．1
5．（2018新课标全国Ⅱ文科）已知5π1
tan()45
α-
=，则tan α=__________． 6．（2017新课标全国Ⅱ文科）函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 . 7．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4
α-= .
8．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （34
55-，-）．
（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=
5
13
，求cos β的值． 9．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=，5cos()αβ+=．
（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．
1．【答案】−2sin4
【解析】原式=224cos 42(sin 4cos 4)2|cos 4|2|sin 4cos 4|+-=+-， 因为
53
π4π42
<<， 所以cos4<0，且sin4<cos4，
所以原式=−2cos4−2(sin4−cos4)=−2sin4. 2．【答案】1 【解析】
()2cos 6053sin52cos553sin5cos53sin53sin51cos5cos5cos5︒-︒-︒︒-︒︒+︒-︒
===︒︒︒
.
（2）由02βαπ<<<
，得0.2αβπ
<-< 又14
13
)cos(
=-βα ， 14
3
3)1413(
1)(cos 1)sin(22=
-=--=-∴βαβα. 由)(βααβ--=得)](cos[
cos βααβ--= 2
11433734141371)sin(sin )cos(cos =⨯+⨯=
-+-=βααβαα. 4．【答案】
3
22
【解析】因为
π
tan
tan cos sin 1tan π4tan πcos sin 1tan 41tan tan 4
ααααααααα+++⎛⎫===+ ⎪--⎝
⎭-⋅， 且()()()πtan tan ππ4tan tan π441tan tan 4αββααββαββ⎛
⎫+-- ⎪
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝
⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦++⋅- ⎪⎝
⎭，
将()2π1tan ,tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝
⎭代入可得21cos sin 35421cos sin 22154
αααα-
+==-+⨯. 5．【解析】（1）∵∥a b ，∴
，即
.
变式拓展
∴
.
1．【答案】B
【解析】cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝.故选B ．
2．【答案】A 【解析】，∵
，∴，
∴
，故选A ．
3．【答案】B
【解析】因为锐角,αβ，所以3105
cos ,sin 105
αβ=
=， 因此()310251052
cos cos cos sin sin 1051052
αβαβαβ+=-=⨯-⨯=， 因为()0,παβ+∈，所以π
4
αβ+=，选B ． 4．【答案】D
【解析】ππtan tan
πππ1363tan tan 23ππ663131tan tan 63αααα⎛
⎫+- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-=
==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫+⎝⎭⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝
⎭，故选D ． 5．【答案】B
【解析】因为为锐角，为第二象限角，，
，
所以为第二象限角，
因此sin ，cos
， 所以
,
因为为锐角，所以 ，2
)=cos
,选B ．
6．【答案】C 【解析】由题意得
，
考点冲关
令，得
，
当
时，π8
x =-
． 故π
8
x =-
是函数图象的一条对称轴．故选C ． 7．【答案】D
【解析】22cos2cos sin 5
cos sin πsin cos 22sin 4ααααααα
α-==+=
-⎛⎫- ⎪
⎝
⎭，从而，
则1sin cos 1tan 8tan cos sin sin cos αααααααα+=+==，故选D ． 8．【答案】
43
【解析】因为且，所以
，
所以．
9．【答案】；
【解析】
，且， ；
∵
，
.
11．【答案】
351
8
【解析】由()2
sin 23sin cos f x x x x =+ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫++
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，化简可得π()2sin(2)6f x x =-
12+，由00π1()2sin(2)062f x x =-+=，得0π1
sin(2)=064
x --<, 又0π02x ≤≤
，0ππ5π2666x -≤-≤，所以0ππ
2066
x -≤-≤，故0π15cos(2)64x -=，
此时：0000π
πππππ351cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 6
666668
x x x x +=-+
=---=.
12．【解析】（1）π
tan tan
πtan 1214tan 3π41tan 121tan tan 4
ααααα+++⎛⎫+=
===- ⎪--⎝
⎭-. （2）
2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()22
2sin cos sin sin cos 2cos 11
αα
αααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=
+-22tan tan tan 2ααα=+-2
22
222
⨯=+-1=. 13．【解析】（1）因为点P 的横坐标为
，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝
，
所以cos2α＝2cos 2
α－1＝． （2）因为点Q 的纵坐标为
，所以sin β＝
．
又因为β为锐角，所以cos β＝． 因为cos α＝
，且α为锐角，所以sin α＝
，
因此sin2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β) ＝
．
因为α为锐角，所以0＜2α＜π． 又cos2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝． 14．【解析】(1)
=
,
因为函数的最小正周期为
,所以,解得
,
所以．
(2)由,得
,
因为,所以
,
所以,
所以
=
=
=
=
．
15．【解析】（1）()2ππ13cos cos sin 262f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
π1cos 2133sin cos 22x x x ⎛
⎫-- ⎪
⎝⎭=+- 31sin2cos24x x =
-1πsin 226x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭， 令πππ2π22π262k x k -
≤-≤+，即π2π
2π22π33k x k -≤≤+
， 则ππππ63
k x k -≤≤+，
所以()f x 的单调递增区间为ππππ63k k ⎡
⎤-
+⎢⎥⎣
⎦
，，k ∈Z . （2）∵()1π3sin 2266f x x ⎛⎫=
-=
⎪⎝⎭，∴π3sin 263x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭， ∵π04x ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣⎦，，∴π
π
π
2663x -≤-≤，∴π6
cos 263x ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭， 故ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛
⎫=-
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3π1cos 2sin 26262x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 63132=
⨯-⨯232=-. （2）因为，所以
，
所以，
，
或
，
解得或， 因为，所以
，所以
，
所以，
因为，所以，
所以
.
1．【答案】B
直通高考
【解析】，故选B.
2．【答案】A
【解析】()2
sin cos 1
7
sin 22sin cos 1
9
ααααα--==
=--.所以选A.
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：
（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. （3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3．【答案】D
【解析】2
2
2
2
22221
1()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 5
1()3
θθθθθθθ---===
=+++．故选D. 5．【答案】
【解析】5π
tan tan
5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4
ααααα--⎛⎫-=== ⎪
+⎝
⎭+⋅，解方程得.
6．5【解析】2()215f x ≤+=【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用22|sin cos |a x b x a b +≤+求最值. 7．【答案】
310
10
【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=，
又22
sin cos 1αα+=，所以21cos 5
α=
， 因为π(0,)2α∈，所以55cos 55
αα=
=，
因为π
ππ
cos()cos cos sin sin 444
ααα-=+，所以π52252310cos()4525210α-=
⨯+=. 9．【解析】（1）因为4tan 3
α=
，sin tan cos ααα=，所以4
sin cos 3αα=．
因为22sin cos 1αα+=，所以29
cos 25
α=， 因此，27cos22cos 125
αα=-=-
． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=225sin()1cos ()αβαβ+-+， 因此tan()2αβ+=-．
因为4tan 3
α=
，所以2
2tan 24
tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2
tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．。