第二章 行列式 练习题答案

第二章 行列式 练习题答案

预备知识

1．{0，1}是不是数域？请写出4个你知道的数域。

答：{0，1}不是数域，它关于加法不封闭。事实上，最小的数域是有理数域。 4个数域：Q ，R ，C ，{a +bi |a ，b Q}，其中，i 为复数单位。

2．设σ是由R 到R 的对应法则，σ：x →tan x , 问σ是否为R 到R 的映射，在怎样的范围内，它是映射，单射，满射？ 答：由于tan

2

π无意义，所以，σ不是R 到R 的映射，但是，它是从(,)22

ππ

-

到R 的映射的单射，满射，从而是双射。 一．排列

1. 添上适当的数，使得5314i7k 为偶排列。（5314276） 2．)2

)

1((

)()(1121-=+-n n i i i i i i n n n ττ 3. )2

)

1(()21)1((-=-n n n n τ 4.

).

1(1221121)1()12(3)12(2)2(1(-=+++-+-+-+++=+--n n n n n n n n n n τ5. 排列…i …j …和…j...i...的逆序数相差1？

二．行列式定义及性质

1. 设D=|a ij |是一个4阶行列式，问该行列式中含a 24且取正号的项是那些？ a 23a 42a 14a 31, -a 32a 43a 14a 21是该行列式的项吗？

答：该行列式中含a 24且取正号的项是.,,423124134133241243322411a a a a a a a a a a a a

a 23a 42a 14a 31不是，-a 32a 43a 14a 21是。

2.(1)

abcd

d

c b a

=(2)

!)1(21

2

)1(n n

n n --=

(3)

!)1(0

1020

12)

2)(1(n n

n n n ---=

- (4)

!)1(0

102

010

1n n n

n --=-

(5) 设1

1

21

1

1

2222

11

21

11

211

1

1)(-------=n n n n n n n a a a a a a a a a x x x x p ， 多项式的常数项是？x n -1

的系数是？这个多项

式是几次的？试求它的根。

解：常数项是∏

-≤<≤---------=1

112121

21

1

22222

2

1211121)(111

n i j j i n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a

x n -1的系数是

∏

-≤<≤-2

1)(n i j j i a a

3. 已知

,2122221

11211

d a a a a a a a a a nn

n n n

n

=

求

(1)))

1((?,2)

1(11211

112112

1

1d a a a a a a a a a D n n n

n

n n n nn

n n -----==

(2)))1((?)21(2

1

2221

2121112d a a a a a a a a a D n j j j n

nj nj nj n

j j j n j j j τ-==

(3) ))

1((?2)1(1112

122

11

111

2d a a a a a a a a a D n n n n n nn

n n n n -----==

(4) ))1((?)21()21(2

1

2221

2121112n j j j n i i i n

j n i j n i j n i n

j i j i j i n j i j i j i a a a a a a a a a D ττ+-==

4. (0)

823)24)(46)(26)(68)(48)(28(5126481218366164

16418421⋅=------=

(1)

h g

f e d

c b a 0

00000=（af-be ）(ch-dg ) (2) 1

1

2

1

01

12

131001012

1-- = 8/3

(3) 加边：

)

())()(1(0

010

01001100012211222

1112

2112

12131

21

21

32

1321321n n n

n n n

n n n

n n n n

n

n

a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a x a a a x a a a x a a a x a a a x a a a a a x a a a a x ----++-+-+

=------=

=

(4) D=|a ij | a ij =|i-j | (5) 1

112

3212322

212131212

1+++n n n n n

n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

(加边)

2

22212

1

212

32

1

232221213

132

122

11

11

01000111

10

1

01n

n

n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=---=+++

三．请叙述Cramer 法则。

四．(1) ?2

23507702

2

220

40344434241=+++-=

A A A A D ，（0）