L4中平均曲率方向平行的类时曲面的等距变形
弹性理论及有限元方法学习通课后章节答案期末考试题库2023年
弹性理论及有限元方法学习通课后章节答案期末考试题库2023年1.弹性力学的基本假定为___、___、___、___。
参考答案:连续性###完全弹性###均匀性###各向同性;2.在弹性力学中规定,切应变以___时为正,___时为负,与___的正负号规定相适应。
参考答案:直角变小###变大###切应力;3.连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。
()参考答案:错4.下面哪些物体可以作为平面应力问题分析？参考答案:大平圆盘###大平薄板5.当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。
()参考答案:对6.物体受外力以后,其内部将发生___,它的集度称为___。
与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的___和___的分量,也就是___和___。
应力及其分量的量纲是___。
参考答案:内力###应力###法线方向###切线方向###正应力###切应力###ML7.下列属于平面应变问题的是:参考答案:天然气输送管道###具有固定截面的型材8.按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。
()参考答案:错9.弹性力学体素变形分为几类？分别是什么，简述之？参考答案:两类：长度的变化和角度的变化。
任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变（或称正应变）。
当线素伸长时，其线应变为正。
线素缩短时，其线应变为负。
任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变。
夹角变小时为正，变大时为负。
10.弹性力学中应力如何表示?正负如何规定?参考答案:正应力分量三个、剪应力分量六个；正面上与坐标轴方向一致，为正；负面上与坐标轴负向一致，为正。
11.表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。
()参考答案:错12.平面问题分为___问题和___问题。
参考答案:平面应力###平面应变;13.按应力求解平面问题,最后可以归纳为求解一个应力函数。
()参考答案:错14.平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。
专升本三维设计第6-9章习题答案6至第8章+九章
6至第8章练习题1.（1.5分）在3D草图中绘制曲线：选择一个点后，将显示一个坐标系，然后按（），选择绘制曲线所在的基准面。
再指定下一点，刚该点自动作为新的原点，并可以再次选择基准面。
A．Ctrl键 B. Shift键 C. Tab键 D. Ctrl + Shift键答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：2.拉伸曲面生成的是（）。
A. 体B. 面C. 块D. 以上都不正确答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：3.在延伸曲面中，表示沿曲面的几何体延伸曲面，是属于（）延伸类型。
A. 同一曲线B. 同一曲面C. 离散D. 线性答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.在延伸曲面中，表示沿边线相切于原有曲面来延伸曲面，是属于（）延伸类型。
A. 同一曲线B. 同一曲面C. 离散D. 线性答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：5.曲面编辑操作中，填充曲面功能的曲率控制用四种类型，其中使用所选边界内生成曲面，但保持修补边线相切，是使用（）类型实现。
A. 相触B. 相切C. 交替面D. 曲率答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：6.曲面编辑操作中，填充曲面功能的曲率控制用四种类型，其中使用与相邻曲面交界的边界线上生成与所选曲面的曲率相配套的曲面，是使用（）类型实现。
A. 相触B. 相切C. 交替面D. 曲率答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：7.在删除曲面操作中，不但所选曲面被删除，而且还自动沿边界进行填充。
这是选择了（）功能选项。
A. 删除B. 删除并修补C. 删除并填补D. 裁剪答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：8.在曲面编辑中，使用自由形功能时，连续性选项中选择（），可以曲面变形沿原始边界保持接触，不保持相切和曲率。
A. 接触B. 相切C. 曲率D. 可移动答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：9.在曲面编辑中，使用自由形功能时，连续性选项中选择（），可以曲面变形沿原始边界保持相切。
在等距变换下曲面的第一基本形式
在等距变换下曲面的第一基本形式
1 均匀变换
均匀变换是指将几何原理应用到曲面理论中，以解决这种曲面变换中几何问题的问题。
它根据曲面的某种变化，就可以在等距变换中获得一种基本形式。
等距变换包括一般数学概念中的等距转换，但它不局限于这些转换，而是指由一般几何原理组成的更广泛的概念。
均匀变换是一种唯一的等距转换，即在固定的条件下，任何曲面上的点的变换，都必须是以恒定的距离变化的。
所以大多数称它为恒定距离变换。
换句话说，均匀变换是一种特殊的几何变换，可以将表面上的任何一点，以制定的距离进行变化，使得曲面在被变换过程中保持平滑度。
因此，在等距变换中，由于在变换的过程中，点的变化是以一定的步伐，从而获得均匀变换中的第一基本形式。
换言之，经过这种变换，可以将曲面定义为几何体的一部分，其几何形状是更加有序的。
2 结论
综上所述，均匀变换是一种等距变换，在此变换过程中，获得的第一基本形式可以用来定义曲面几何体的一部分，从而获得更加有序的几何体。
因此，均匀变换是应用于曲面理论中提出的一种非常有用的变换方法。
Lorentz空间中Ricci曲率平行的类空超曲面的分类
如所 知 Ｎｒ （ ）的结构方 程为 ｃ
收 稿 日期 ： ０ ７ １ － １ ２ ０ — １ ２
作者简介： 郑
嫒 （ ９ ３ ） 女 ， 江嘉 兴 人 ， 础 数学 硕 士研 究 生 ， 要 从 事 微分 几 何 研 究 １８一 ， 浙 基 主
＊通 讯 作 者 ： 开 仁 （９ ２ ） 男 ， 苏 苏州 人 ， 授 ， 要从 事 微 分 几 何 研 究 ． 蔡 １４一 ， 江 教 主
Ｃ ０ 及 Ｍｉｏ ｋ 空 间 Ｒ ． ＜ ； ｋ ｗｓｉ 钟定 兴等 给出 了 Ｌ ｒｎｚ 间中这类 超 曲面 的分类 ， 们证 明 了： Ｍ — ｏｅｔ空 他 设
Ｎｉ ｃ ＇ ）是一个 类空超 曲面 ， Ｍ 具有 平行 的 Ｒ ｃｉ ¨（ 若 ｉｃ曲率 ， 局部 的 Ｍ — Ｍ 则 ×Ｍ… ， 和 Ｍ… 均为 常曲率 Ｍ 流形 ． 然而 ， 这样 的分类 是不 完全 的 ， 他们 忽略 了当 ｄｍＭ＇ １ ｉ 一 情况 ， 如所 知 当 ｄｍＭ＇ １ ， ｉ 一 时 它局部 地等 距 同构 于实数 空间 Ｒ， 因此并 不包含 在上述 的分 类 中． 在此将 给 出 Ｎｒ （ ） ｃ 中具有平 行 Ｒ ｃｉ ｉ 曲率 的类 空超 ｃ
超 曲面的分类 ， 同柱 等 给出 了常 曲率 流形 中这类 超 曲面的分类 ． 知指标 为 １ 李 众 且截 面 曲率为 Ｃ的不定
的 空 间 型 称 为 Ｌ ｒｎｚ 间 ， 为 Ｎ （） 它 包 括 ｄ ｉ ｅ 空 间 Ｓ （） Ｃ ０ 反 ｄ ｉ ｅ 空 间 Ｈｒ （） ｏｅ ｔ 空 记 “ ｃ， ｅｓ ｔｒ ｔ ｆ ， ＞ ； ｅｓｔ ｒ ｔ ｆ，
Ｖｏ号 ：６ ４ ２ ２ ２ ０ ） ２ ０ ０ — ０ １ ７ — ３ Ｘ（ ０ ８ ０ ～ １ ４ ４
曲面的基本形式与曲面上的曲率
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．一．主曲率定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向．注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ．主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为(5.1) |ω - λI 2 | = 0 ；等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为(5.2) |Ω - λg | = 0 ．② 对于主方向的算法，各种等价算式为a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向 ⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ ∃λ , ∍(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0)⇔ det. ⎝⎛⎭⎫(a 1, a 2)Ω (a 1, a 2)g = 0⇔(a2)2-a1a2 (a1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．主方向所对应的微分方程通常写为(5.3)(d u2)2-d u1d u2 (d u1)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积K，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．注记3①注意到(4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4)K=|ω|=|Ω||g|=LN-M2EG-F2,(5.5) H= tr.ω2=LG- 2MF+NE2(EG-F2)．②主曲率方程 (4.3) 式现可改写为(5.6)λ2- 2Hλ+K= 0 ；其中H 2-K= (κ1-κ2)24≥ 0 ．③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．④当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7)κi=H±H2-K , i= 1, 2处处连续，并且在非脐点处连续可微．⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）． ⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．例1 证明可展曲面的Gauss 曲率 K ≡ 0 ．证明 对可展曲面 S 的直纹面参数化 r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，由可展定义得知 n v ≡ 0 ，故其第二基本形式系数满足M = - r u ∙n v ≡ 0 , N = - r v ∙n v ≡ 0 ,于是K = LN - M 2 EG - F 2≡ 0 ． □ 在上例中，若取准线使 a '∙l ≡ 0 且 |l | ≡ 1 ，则可展曲面 S 的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且(5.8) κ1 = L E, κ2 ≡ 0 ． 三．Gauss 映射和第三基本形式Gauss 在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．定义4 对于 C 3 正则曲面 S : r (u 1, u 2) 及其单位法向量场 n (u 1, u 2) ，曲面 S 到以原点为心的单位球面 S 2(1) 上的映射(5.9) G : S →S 2(1) r (u 1, u 2)→G (r (u 1, u 2)) = n (u 1, u 2)称为曲面 S 的Gauss 映射．二次微分形式(5.10) Ⅲ = d n ∙d n图4-5称为曲面S的第三基本形式．性质①n1⨯n2=K r1⨯r2．②|K(P)|=limU收缩至P A(G(U))A(U)，其中P∈U⊂S, U为单连通区域，A(G(U)) 是G(U)⊂S2(1) 的面积，A(U) 是U⊂S的面积．③Ⅲ- 2HⅡ+KⅠ= 0 ．证明①由Weingarten公式得n1⨯n2= [-(ω11r1+ω12r2)]⨯[-(ω21r1+ω22r2)]=|ω|r1⨯r2=K r1⨯r2．②A(U) =⎰⎰r-1(U)| r1⨯r2| d u1d u2 ,A(G(U)) =⎰⎰r-1(U) | n1⨯n2| d u1d u2=⎰⎰r-1(U)|K|| r1⨯r2| d u1d u2．而由积分中值定理，∃P*∈U使⎰⎰r-1(U) |K|| r1⨯r2| d u1d u2=|K (P*)|⎰⎰r-1(U)| r1⨯r2| d u1d u2．故而lim U收缩至P A(G(U))A(U)= limP*→P|K (P*)|=|K (P)|．③结论用系数矩阵等价表示为(Ω g-1)g(Ω g-1)T- 2HΩ+K g≡ 0⇔Ω g-1Ω- 2HΩ+K g≡ 0⇔Ω g-1Ω g-1- 2HΩ g-1+K I2≡ 0⇔ωω- (tr.ω)ω+|ω|I2≡ 0 ．而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为ωi kωk j- (tr.ω)ωi j+|ω|δi j=ωi1ω1j+ωi2ω2j- (ω11+ω22)ωi j+ (ω11ω22-ω12ω21)δi j≡ 0 ．□习题⒈对于螺面r= (u cos v , u sin v , u+v) ，试求：①主曲率κ1和κ2；②Gauss曲率和平均曲率．⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即 2πH(P) =⎰2πκ(P, θ) dθ．⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．⒌设正则曲面S: r(u1, u2) 当常数μ足够小时 1 - 2μH+μ2K> 0 ．按参数相同作对应曲面S*: r*(u1, u2) =r(u1, u2) +μn(u1, u2) ，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：①S和S* 在对应点具有相同的单位法向和法线；②S和S* 在对应点的Weingarten矩阵具有关系式ω* =ω (I2-μω )-1；③S和S* 在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式K* =K1 - 2μH+μ2K，H* =H-μK1 - 2μH+μ2K；④S的曲率线对应于S* 的曲率线．⒍已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为κn(1), …,κn(m)，m> 2 ．试证：S在该点的平均曲率H=κn(1)+…+κn(m)m．⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．。
常曲率空间中曲面的等距变形
常曲率空间中曲面的等距变形
王兴林;宋瑞霞
【期刊名称】《北方工业大学学报》
【年(卷),期】1997(009)003
【摘要】Ｏ．Ｂｏｎｎｅｔ首先研究了保持主曲率不变的曲面的等距变形问题，并证明了常中曲率曲面具有保主曲率的等距变形。
１９８５年Ｓ．Ｓ．Ｃｈｅｒｎ证明了在欧氏空间中具有保持主曲率不变的非常中曲率曲面是Ｗ－曲面。
【总页数】8页(P24-31)
【作者】王兴林;宋瑞霞
【作者单位】贵州师大学数学系;贵州师大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O186.12
【相关文献】
1.拟常曲率空间中具常平均曲率的闭超曲面 [J], 吴泽九
2.关于拟常曲率空间中具有常平均曲率超曲面 [J], 宋卫东;潘雪艳
3.Anti-de Sitter空间中具有常k阶平均曲率及两个不同主曲率的完备类空超曲面[J], 刘建成;魏艳
4.常曲率空间中超曲面的平均曲率 [J], 周振荣
5.拟常曲率空间中具有常平均曲率的完备超曲面 [J], 何国庆;宋卫东
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可展曲面到平面的等距变换
可展曲面到平面的等距变换可展曲面和平面是几何中两种不同形式的几何体，它们之间的变换可分为六种：翻折、旋转、平移、缩放、膨胀和等距变换。
本文重点研究的是可展曲面到平面的等距变换。
可展曲面到平面的等距变换是指把一个有弧度的曲面折痕展成平面，能够在不改变曲面内部曲率的前提下，将曲面表面展开到一个平面上。
在数学上，这可以通过称为等距变换的一种函数表示。
等距变换由三个步骤组成：求曲面弧度、把曲面展开、建立展开表面的坐标系统。
求曲面弧度，是从一个点沿曲面曲率半径向外推进，计算出两点之间的距离，可以求出曲面的弧度。
把曲面展开，先按照曲面弧度展开90度，分成多个折痕，然后把折痕的弧形展开成直线，将曲面展开到平面上。
最后建立展开表面的坐标系统，将曲面展开到平面形状，就可以用等距变换实现曲面到平面的映射关系。
等距变换在工程中有很多应用。
例如，等距变换可用于从非平面几何体（比如曲面）到平面几何体（比如图形）的转换，这样可以使几何体可以在屏幕上显示，也可以用于设计新的几何体，或者研究几何体的变换特性。
另外，等距变换也被用于遥感图像中的自动数据检测和信息提取，比如空中影像检测、测量、重建等，以及地形学和水文学的分析。
其中，空中影像检测是利用等距变换重建室外场景，从而可以对被拍摄场景进行更深入的研究。
最后，等距变换也用于计算机图形学的设计，比如模型表面的构建、3D形状的变换以及实现立体效果等。
例如，计算机图形学中的模型表面一般都是曲面，为了使模型表面的细节呈现出3D效果，就需要把曲面展开，这时就需要使用等距变换。
等距变换可以用在许多场景中，为几何形状的变换提供了一种有效的方法。
本文讲述了可展曲面到平面的等距变换，结合实例介绍了等距变换的相关内容，并从实用和数学角度对等距变换的应用进行了介绍。
微分几何期末复习题答案
微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。
2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。
答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。
3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。
4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。
5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。
6. 描述Christoffel符号的作用。
答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。
7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。
8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。
9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。
10. 描述Hodge星算子的作用。
答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。
11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。
12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。
13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。
14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。
曲率变形定义
曲率变形定义曲率是数学上定义的一个重要概念，它涉及到几何、微积分以及物理学等多个学科，曲率变形定义也是极具争议性和复杂性的课题。
曲率变形定义是指利用一定的变换，将原来的平面及非平面几何定义变形，以达到非常复杂的曲率变形效果。
曲率的定义曲率的定义源于微积分学中的几何原理，其中“曲率”是指在某一特定点的曲率半径，即在这一点附近曲线的紧密程度。
它可以用来量度曲线或曲面的弯曲程度，也能描述物体的变形状。
在几何学上，曲率的定义是指曲线的某一特定点处曲线的曲率半径，简单来讲，曲率就是某一特定点处曲线的曲率半径。
曲率变形定义在几何学中，曲率变形定义是指利用一定的变换，将原来的平面及非平面几何定义变形，以达到非常复杂的曲率变形效果。
这种变形方法往往可以大大提高几何图形的折叠程度和曲率，从而使平板材料具有更高的弯曲或变形性能，满足不同的设计要求。
曲率变形定义的原理曲率变形定义的原理也建立在微积分学的基础之上。
基本思想是利用重力、压力和其他机械力以及惯性力，使材料发生挠曲变形，如果将被变形的材料拉伸或放缩，其面积和体积也会随着材料的变形而变化，从而影响曲率的变化。
曲率变形定义的应用曲率变形定义的应用非常广泛，在建筑、船舶和飞机等工程中，曲率变形定义可以极大地提高结构的强度和耐用性，延长使用寿命。
另外，曲率变形定义也可以应用在照明行业，利用变形灯箱可以同时达到照明效果和装饰效果。
曲率变形定义技术还可用于现代先进材料的制备，如超级细菌单层材料、功能性微纤维材料等，这些材料可以实现精细的加工以及强度高的制备，使工程材料具有更好的耐用性和美观性。
总结曲率变形定义是一种利用一定的变换，将原来的平面及非平面几何定义变形，以达到曲率变形效果的技术。
曲率变形定义的基本原理是利用重力、压力和其他机械力，使材料发生挠曲变形；曲率变形定义的应用也非常广泛，可广泛应用于建筑、船舶和飞机等工程领域，也可用于现代先进材料的制备。
《平面弯曲变形》课件
平面弯曲变形的应用实 例
桥梁和建筑结构的平面弯曲变形分析
桥梁结构：桥梁 的平面弯曲变形 分析，包括梁、 拱、索等结构
建筑结构：建筑结构 的平面弯曲变形分析， 包括框架、剪力墙、 筒体等结构
变形原因：荷载、 温度、湿度、地 震等外部因素引 起的变形
变形影响：对结构 安全性、稳定性、 耐久性的影响
变形控制：通过设 计、施工、维护等 手段控制变形，保 证结构安全
剪切应力的分布规律：剪切应力在剪切面上分布不均匀，靠近剪切面中心处应力较小， 远离剪切面中心处应力较大
剪切应力的影响因素：剪切力、剪切面形状、材料性质等
剪切应力的应用：在工程设计中，需要考虑剪切应力对结构的影响，以避免结构破坏 或失效。
平面弯曲变形的能量平 衡
弹性势能与动能之间的关系
弹性势能：物体在弹性形变过 程中储存的能量
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平面弯曲变形可以分为弹性变形和塑性变形两种类型。
弹性变形是指物体在外力作用下，其形状和尺寸发生变化，但外力消失后，物体可以 恢复到原来的形状和尺寸。
塑性变形是指物体在外力作用下，其形状和尺寸发生变化，但外力消失后，物体不能 恢复到原来的形状和尺寸。
平面弯曲变形的分类
弯曲变形：物体在外力作用下发生弯曲变形 扭转变形：物体在外力作用下发生扭转变形 弯曲-扭转变形：物体在外力作用下同时发生弯曲和扭转变形 弯曲-弯曲变形：物体在外力作用下同时发生弯曲和弯曲变形
平面弯曲变形的稳定性 分析
稳定性分析的基本概念
稳定性分析的目的：确定结构在受力作用下的稳定性 稳定性分析的方法：有限元分析、能量法等 稳定性分析的指标：临界载荷、临界应力等 稳定性分析的应用：结构设计、优化等
稳定性分析的方法和步骤
空间曲面的曲率与法线认识空间曲面的曲率与法线的计算方法
空间曲面的曲率与法线认识空间曲面的曲率与法线的计算方法空间曲面是指三维空间中的曲面，它在我们日常生活和科学研究中都有着重要的应用。
在研究空间曲面时，了解曲率与法线是必不可少的。
曲率描述了曲面的弯曲程度，而法线则是曲面上某一点的垂直方向。
本文将介绍空间曲面的曲率与法线的基本概念，并探讨了曲率与法线的计算方法。
一、曲率的概念曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要量值。
通常情况下，曲率有两个主要的方向，分别是主曲率方向和平均曲率方向。
主曲率方向在曲面上的某一点上表征了曲面在该点上弯曲最大和最小的方向，主曲率分别是这两个方向上的曲率值。
平均曲率方向在曲面上的某一点上表征了曲率的平均变化率。
二、法线的概念曲面上的法线是垂直于曲面某一点切平面的向量。
当我们观察曲面的时候，曲面上的每一点都有唯一对应的法线。
法线的方向垂直于曲面，因此法线是曲面上点的切平面的垂直方向。
三、曲率的计算方法计算曲面的曲率可以使用多种方法，这里我们介绍两种常用的方法：通过法线曲率半径和高斯曲率。
1. 法线曲率半径：法线曲率半径描述了曲面在某一点上的弯曲程度，其定义为曲率圆上某一点到曲面上对应点的法线的长度。
法线曲率半径的倒数称为法线曲率。
假设我们要计算曲面上的某一点P的法线曲率半径，可以先计算曲率圆的曲率半径R。
计算方法是选择曲面上的两条曲线，分别通过点P，并且曲线的切线方向与曲面的主曲率方向平行。
然后，计算这两条曲线上点P到曲面的垂直距离d，法线曲率半径R就等于d的倒数。
2. 高斯曲率：高斯曲率是描述曲面在某一点上弯曲性质的一个重要指标。
高斯曲率是曲面的两个主曲率的乘积。
如果高斯曲率为正，则曲面局部呈凸曲面，如果高斯曲率为负，则曲面局部呈凹曲面。
高斯曲率的计算可以通过计算曲面的一阶偏导数和二阶偏导数得到。
选择曲面上的一对正交曲线，分别在某一点P处通过曲面的主曲率方向，并将其表示为u和v两个参数。
然后计算这两个参数对应的一阶偏导数和二阶偏导数，最后通过一个公式计算得到高斯曲率。
《金属塑性成形原理》试卷及答案
《金属塑性成形原理》试卷及答案一、填空题1. 设平面三角形单元内部任意点的位移采用如下的线性多项式来表示：，则单元内任一点外的应变可表示为＝。
2. 塑性是指：在外力作用下使金属材料发生塑性变形而不破坏其完整性的能力。
3. 金属单晶体变形的两种主要方式有：滑移和孪生。
4. 等效应力表达式：。
5.一点的代数值最大的 __ 主应力 __ 的指向称为第一主方向，由第一主方向顺时针转所得滑移线即为线。
6. 平面变形问题中与变形平面垂直方向的应力σ z = 。
7．塑性成形中的三种摩擦状态分别是：干摩擦、边界摩擦、流体摩擦。
8．对数应变的特点是具有真实性、可靠性和可加性。
9．就大多数金属而言，其总的趋势是，随着温度的升高，塑性提高。
10．钢冷挤压前，需要对坯料表面进行磷化皂化润滑处理。
11．为了提高润滑剂的润滑、耐磨、防腐等性能常在润滑油中加入的少量活性物质的总称叫添加剂。
12．材料在一定的条件下，其拉伸变形的延伸率超过１００％的现象叫超塑性。
13．韧性金属材料屈服时，密席斯（Mises）准则较符合实际的。
14．硫元素的存在使得碳钢易于产生热脆。
15．塑性变形时不产生硬化的材料叫做理想塑性材料。
16．应力状态中的压应力，能充分发挥材料的塑性。
17．平面应变时，其平均正应力σｍ等于中间主应力σ２。
18．钢材中磷使钢的强度、硬度提高，塑性、韧性降低。
19．材料经过连续两次拉伸变形，第一次的真实应变为ε１＝０.1，第二次的真实应变为ε２＝０.25，则总的真实应变ε＝0.35 。
20．塑性指标的常用测量方法拉伸试验法与压缩试验法。
21．弹性变形机理原子间距的变化；塑性变形机理位错运动为主。
二、下列各小题均有多个答案，选择最适合的一个填于横线上1．塑性变形时，工具表面的粗糙度对摩擦系数的影响A工件表面的粗糙度对摩擦系数的影响。
Ａ、大于；Ｂ、等于；Ｃ、小于；2．塑性变形时不产生硬化的材料叫做A。
Ａ、理想塑性材料；Ｂ、理想弹性材料；Ｃ、硬化材料；3．用近似平衡微分方程和近似塑性条件求解塑性成形问题的方法称为B。
《微分几何》考试试卷与参考答案
《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。
每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。
三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为331u v C =+或332()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E=（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分） v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n r n r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。
空间曲面的曲率
空间曲面的曲率引言：曲率是几何学中的一个重要概念，它描述了曲线或曲面的弯曲程度。
空间曲面的曲率是研究曲面在某一点的弯曲程度的关键指标。
本文将介绍空间曲面的曲率的基本概念、计算方法以及曲率对曲面性质的影响。
一、基本概念1. 曲率的定义：空间曲面的曲率描述了曲面在某一点上的弯曲情况。
对于平面曲线而言，曲率只有一个方向，两个方向上的曲率都是一样的；而对于空间曲面而言，曲率具有两个方向，分别是主曲率和平均曲率。
2. 主曲率：主曲率是空间曲面上某一点的弯曲程度最大和最小的两个曲率，分别记作k1和k2。
主曲率可以用曲面上的曲率切线来表示，其中曲率切线在每个方向上的倾斜角度与主曲率成正比。
3. 平均曲率：平均曲率是主曲率的算术平均值，记作H=(k1+k2)/2。
平均曲率可以用曲面上的球面表示，该球面的半径等于1/平均曲率。
平均曲率描述了曲面上整体的弯曲情况。
二、计算方法计算空间曲面的曲率需要用到微积分的工具。
下面介绍一些常用的计算方法。
1. 方程法：对于给定的曲面，我们可以写出其方程。
然后通过微积分对方程进行求导，从而得到曲率切向量。
通过计算曲率切向量的长度，我们可以得到主曲率和平均曲率。
2. 平行搬移法：平行搬移法是一种几何计算曲率的方法。
通过在曲面上平行搬移一段长度为Δs的曲线段，可以得到该曲线段的弯曲程度。
然后通过取Δs 趋近于0的极限，可以得到曲率切向量和曲率。
3. 流线法：流线法是一种流体力学中使用的计算曲率的方法。
将曲面看作流体流动的路径，在曲面上选取一条流线。
通过计算流线的弯曲程度，可以得到对应点的曲率。
三、曲率对曲面性质的影响曲率是描述曲面形状的重要性质，不同曲率的曲面具有不同的性质。
1. 平面曲率为0的曲面：当曲面的主曲率都为0时，该曲面在该点附近呈现平坦的性质，类似于一个平面。
2. 主曲率为正的曲面：当曲面的主曲率都为正时，该曲面在该点附近呈现凸起的性质，类似于一个凸出的球面。
3. 主曲率为负的曲面：当曲面的主曲率都为负时，该曲面在该点附近呈现凹陷的性质，类似于一个凹入的碗形。
Lorentz空间型L_1~(n+1)(c)中具有平行Ricci曲率的类空超曲面
Ｖｏ １ ． １ ２ ＮＯ ． ２
Ｍａ ｒ ．２ Ｏ１ ３
Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｔ ｚ空 间 型 Ｌ （ Ｃ ） 中具 有 平 行 Ｒｉ ｃ ｃ ｉ 曲率 的 类 空 超 曲面
耿 杰 ， 何 百通 。 ， 宋卫 东
（ １ ．安 徽 师 范 大 学 数 学 计 算机 科 学 学院 ， 安徽 芜 湖 ２ ４ ｌ ０ ０ ３ ； ２ ．衢 州 职 业 技 术 学 院基 础 部 ， 浙江 衢 州 ３ ２ ４ ０ ０ ０ ）
幽 一 一∑ ＾ ， ， ０ ３ ＋∞ 一０ ，
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（ ２ ）
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幽 一 ∑ｃ Ｕ ｃ ｕ 一 ∑Ｒ 叫 ＾
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Ｒ 一Ｋ 一∑ （ 矗 是 一ｈ ｕ ｈ ） ，
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（ ５ ）
（ ６ ）
这里 ｈ ＲＡ Ｂ 。及 Ｋ 。分 别是 Ｍ ” 的第 二基 本形 式 ， 黎曼 曲率 张 量及 Ｌ ｒ （ ｃ ）的黎 曼 曲率 张 量 的分 量．
ｉ ・ ，
２ 预 备 知 识
本 文对 各类 求 和指标取 值 范 围约 定如 下
１≤ Ａ ， Ｂ， Ｃ， … ≤ ＋ １ ； １≤ ｉ ， Ｊ ， 走， … ≤ ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ － １ ０ － ２ ５
基 金项 目 ： 安 徽 省 教 育 厅 自然科 学 基金 重 点 项 目 （ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ０ Ａ１ ２ ５ ） ； 浙 江 省 新 世 纪 高 等 教 育 教 学改 革 项 目（ ２ ０ １ ０ ０ ７ ４ ） 通信作者 ： 宋卫东（ １ ９ ５ ８ 一） ， 男， 教授 ，主 要 从 事 微 分几 何 研 究 ． Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｓ ｗｄ ５ ６ ＠ｓ ｉ ｎ ａ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
微分几何练习题库及参考答案(已修改)
微分几何练习题库及参考答案（已修改）《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限lim[(3t21)it3jk]13i8jk．t22．设f(t)(int)itj，g(t)(t21)ietj，求lim(f(t)g(t))0．t03．已知r(t)dt=1,2,3，r(t)dt=2,1,2，a2,1,1，b1,1,0，则244642ar(t)dt+bar(t)dt=3,9,5.264．已知r(t)a（a为常向量），则r(t)tac．15．已知r(t)ta，（a为常向量），则r(t)t2ac．26.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___和密切平面____.7.曲率恒等于零的曲线是_____直线____________.8.挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.10.曲线rr(t)在t=2处有3，则曲线在t=2处的曲率k=3.11.若在点(u0,v0)处rurv0，则(u0,v0)为曲面的_正常______点.12．已知f(t)(2t)j(lnt)k，g(t)(int)i(cot)j，t0，则13．曲线r(t)2t,t3,et在任意点的切向量为2,3t2,et．14．曲线r(t)acoht,ainht,at在t0点的切向量为0,a,a．15．曲线r(t)acot,aint,bt在t0点的切向量为0,a,b．d(fg)dt26co4．dt041某eez1．16．设曲线C:某et,yet,zt2，当t1时的切线方程为1e2ey17．设曲线某etcot,yetint,zet，当t0时的切线方程为某1yz1.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_______________.19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20.在欧拉公式knk1co2k2in2中，是方向(d)与u－曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式,,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是2HK0.22．已知r(u,v)uv,uv,uv，其中ut2,vint，则23．已知r(,)acoco,dr2tcot,2tco,2tvtucotdt．acoin,ain，其中t，t2，则dr(,)ainco2atcoin,dtainin2atcoco,aco．24．设rr(u,v)为曲面的参数表示，如果rurv0，则称参数曲面是正则的；如果r:Gr(G)是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．26．平面r(u,v)u,v,0的第一基本形式为du2dv2，面积微元为dudv．27．悬链面r(u,v)cohucov,cohuinv,u第一基本量是Ecoh2u，F0,Gcoh2u．28．曲面za某y上坐标曲线某某0，yy0的交角的余弦值是a2某0y0(1a某0)(1ay0)2222.29．正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的第一基本形式是du2(u2b2)dv2．30．双曲抛物面r(u,v)a(uv),b(uv),2uv的第一基本形式是(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2．31．正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的平均曲率为0．32．方向(d)du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)0或Ldu22MdudvNdv20．33.方向(d)du:dv和(δ)δu:δv共轭的充要条件是II(dr,δr)0或LduδuM(duδvdvδu)Ndvδv0．EL34.是主曲率的充要条件是FMFM0．GNEduFdvLduMdvdv20或ELdudvdu2FMG0．N35.(d)du:dv是主方向的充要条件是FduGdvMduNdv36.根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(du:dv)是主方向，则dnkndr，其中kn是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C某)的曲率．39．k,kg,kn之间的关系是k2kg2kn2．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．41．正交网时测地线的方程为2EvGud=coind2EG2GEduco．=Eddvin=Gd42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1．已知r(t)et,t,et，则r(0)为（A）．A.1,0,1；B.1,0,1；C.0,1,1；D.1,0,1.2．已知r(t)r(t)，为常数，则r(t)为（C）．A.ta；B.a；C.eta；D.ea.其中a为常向量．3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）．A．切线与固定方向成固定角；B．副法线与固定方向成固定角；C．主法线与固定方向垂直；D．副法线与固定方向垂直．4.曲面在每一点处的主方向（A）A．至少有两个；B．只有一个；C．只有两个；D．可能没有.5．球面上的大圆不可能是球面上的（D）A．测地线；B．曲率线；C．法截线；D．渐近线．.6.已知r(某,y)某,y,某y，求dr(1,2)为（D）．A.d某,dy,d某2dy；B.d某dy,d某dy,0；C.d某-dy,d某+dy,0；D.d某,dy,2d某dy.7．圆柱螺线rcot,int,t的切线与z轴（C）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角；D.有固定夹角.438．设平面曲线C:rr()，为自然参数，,是曲线的基本向量．叙述错误的是（C）．A.为单位向量；B.；C.k；D.k.9．直线的曲率为（B）．A.-1；B.0；C.1；D.2.10．关于平面曲线的曲率C:rr()不正确的是（D）．A.k()()；B.k()()，为()的旋转角；C.k()；D.k()|r()|.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）．3A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.12．下列论述不正确的是（D）．A.,,均为单位向量；B.；C.；D..13．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.14．某a(tint),ya(1cot),z4aint在点t的切线与z轴关系为（D）．22A.垂直；B.平行；C.成的角；D.成的角.34某2y2z215．椭球面2221的参数表示为（C）．abcA.某,y,zcoco,coin,in；B.某,y,zacoco,bcoin,in；C.某,y,zacoco,bcoin,cin；D.某,y,zacoco,binco,cin2.16．曲面r(u,v)2uv,u2v2,u3v3在点M(3,5,7)的切平面方程为（B）．A.21某3y5z200；B.18某3y4z410；C.7某5y6z180；D.18某5y3z160.17．球面r(u,v)Rcoucov,Rcouinv,Rinu的第一基本形式为（D）．A.R2(du2in2udv2)；B.R2(du2coh2udv2)；C.R2(du2inh2udv2)；D.R2(du2co2udv2).18．正圆柱面r(u,v)Rcov,Rinv,u的第一基本形式为（C）．A.du2dv2；B.du2dv2；Cdu2R2dv2；D.du2R2dv2.19．在第一基本形式为I(du,dv)du2inh2udv2的曲面上，方程为uv(v1vv2)的曲线段的弧长为（B）．A．cohv2cohv1；B．inhv2inhv1；C．cohv1cohv2；D．inhv1inhv2．20．设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．A．E0；B．F0；C．G0；D．M0．21．高斯曲率为零的的曲面称为（A）．A．极小曲面；B．球面；C．常高斯曲率曲面；D．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．0；B．1；C．2；D．3．423．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．A．lnE1lnE；B．；2Eu2Gv1lnG1lnE；D．．2Ev2Gu1C．24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）．A．直线；B．平面曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打某）1.向量函数rr(t)具有固定长度，则r(t)r(t).√2.向量函数rr(t)具有固定方向，则r(t)r(t).√3.向量函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模r(t).某4.曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线.某5.若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.√6.圆柱面r{Rco,Rin,z},z线是渐近线.√7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.某8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.√9.等距变换一定是保角变换.√10.保角变换一定是等距变换.某11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.某12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一．某13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向．√15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量．某16.曲面上的直线一定是测地线．√17.微分方程A(u,v)duB(u,v)dv0表示曲面上曲线族.某18.二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudvC(u,v)dv20总表示曲面上两族曲线.某19.坐标曲线网是正交网的充要条件是F0，这里F是第一基本量.√20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.√21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.某22.球面上的圆一定是测地线.某23.球面上经线一定是测地线.√24.测地曲率是曲面的内蕴量.√四、计算题1．求旋轮线某a(tint),ya(1cot)的0t2一段的弧长．解旋轮线r(t)a(tint),a(1cot)的切向量为r(t)aacot,aint，则在0t2一522段的弧长为：r(t)dt002a1cotdt8a．2．求曲线某tint,ytcot,ztet在原点的切向量、主法向量、副法向量．解由题意知r(t)inttcot,cottint,ettet，r(t)2cottint,2inttcot,2ettet，在原点，有r(0)(0,1,1),r(0)(2,0,2)，又r(rr)r(rr)rrr,，，rrrrrr22666333,),(,,),(,,).22366333所以有(0,3．圆柱螺线为r(t)acot,aint,bt，①求基本向量,,；②求曲率k和挠率.解①r(t)aint,ac ot,b，r(t)acot,aint,0，又由公式1ab2r(rr)r(rr)rrr,,rrrrrr1ab22aint,acot,b,cot,int,0,2rrr3bint,bc ot,a②由一般参数的曲率公式k(t)有kab，.a2b2a2b2及挠率公式(t)(r,r,r)2rr4．求正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的切平面和法线方程．解rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，切平面方程为某ucovcovuinvyuinvinvucovzbv0b0，binv某bcouyuzbuv0,法线方程为某ucovyuinvzbv．binvbcovu5．求球面r(,)acoco,acoin,ain上任一点处的切平面与法线方程．解rainco,ainin,aco，racoin,acoco,0，e1rraincoacoine2aininacocoe3aco06a2cococo,coin,in球面上任意点的切平面方程为某acoco,yacoin,zaina2cococo,coin,in0,即coco某coinyinza0，法线方程为(某acoco,yacoin,zain)a2co(coco,coin,in),即某acocoyacoinzain．cococoinin6．求圆柱螺线某acot,yaint,zt在点(a,0,0)处的密切平面.解r(t){ainta,cotr,(t){acot,aitn,所以曲线在原点的密切平面的方程为某aaintacoty0acotaintz01=0，0即(int)某(cot)yazaint0.7．求旋转抛物面za(某2y2)的第一基本形式．解参数表示为r(某,y)某,y,a(某2y2)，r某1,0,2a某，ry0,1,2ay，Er某r某14a2某2，Fr某ry4a2某y，Gryry14a2y2，I(d某,dy)(14a2某2)d某28a2某yd某dy(14a2y2)dy2．8．求正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的第一基本形式．解rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，I(du,dv)du2(u2b2)dv2．9．计算正螺面r(u,v)ucov,uinv,bv的第一、第二基本量．解rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，ruu0,0,0，ruvinv,cov,0，rvvucov,uinv,0，ijkrurvcovinv0binv,bcov,u，uinvucovbnrurvbinv,bcov,u，22rurvbubbu22Eruru1，Frurv0，Grvrvu2b2，Lruun0，Mruvn，Nrvvn0．710．计算抛物面z某2y2的高斯曲率和平均曲率．解设抛物面的参数表示为r(某,y)某,y,某2y2，则r某1,0,2某，ry0,1,2y，r某某0,0,2，r某yry某0,0,0，ryy0，0，2，ijkr某ry102某2某,2y,1，012ynr某ry2y,1|r2某,某ry|4某24y21，Er某r某14某2，Fr某ry4某y，Gryry14y2，Lr某某n24某24y2，1Mr某yn0，Nryyn2，4某24y214KLNM24某24y204EGF21(14某2)(14y2)(4某y)2(4某24y21)2，H1GL2FMEN4某24y22EGF223．(4某24y21)211.计算正螺面r(u,v)ucov,uinv,av的高斯曲率.解直接计算知E1，F0，Gu2a2，L0，Mau2a2，N0，KLNM2a2EGF2(u2a2)2．12.求曲面z某y2的渐近线.解z某y2，则pz某y2，qz2y2某y，rz2z某20，某y2y，所以，L=0，M2y1y44某2y2，N2某1y44某2y2渐近线微分方程为4yd某dy2某1y44某2y21y44某2y2dy20，化简得dy(2yd某某dy)0，dy0或2yd某某dy0渐近线为y=C1，某2y=C213.求螺旋面rucov,uinv,bv上的曲率线.解ru{cov,inv,0},rv{uinv,ucov,b}8t2zy22某2Eur21,Furvr0,Gv2r2ub,nrurvbinv,bcov,ubinv,bcov,u22rurvbinv, bcov,ububub22ruu=0,0,0,ruv=inv,cov,0,rvvucov,uinv,0，L0,M曲率线的微分方程为:dv210dudv0bub22,N0du2u2b2=0或dv01ub22du积分得两族曲率线方程:vln(uu2b2)c1和vln(u2b2u)c2.14.求马鞍面r{u,v,u2v2}在原点处沿任意方向的法曲率.解ru{1,0u,2rv},，{0v,1,Er u214u2,Frurv4uv,G14v2Ⅰ(14u2)du28uvdudv(14v2)dv2n2u,2v, 1，rurvrurv4u24v2124u4v1222Lnruu,Mnruv0,Nnrvv24u4v1222（du2dv2)22Ⅱ14u4v.Ⅱdudv，kn==22222222Ⅰ(14u)du8uvdudv(14v)dv14u4v14u4v22215.求抛物面za(某2y2)在(0,0)点的主曲率.解曲面方程即r{某,y,a(某2y2)}, r某{1,0,2a某},ry{0,1,2ay},E(0,0)=1,F(0,0)=0,G(0,0)=1,r某某{0,0,2a},r某y{0,0,0},ryy{0,0,2a}，L(0,0)=2a,M(0,0)=0,N(0,0)=2a,代入主曲率公式，2akN002akN0，所以两主曲率分别为k1k22a.16.求曲面r{u,v,u2v2}在点(1,1)的主方向.解ru==0,1,2v,E14u,F4uv,G14v1,0,2urv,229E(1,1)=5,F(1,1)=4,G(1,1)=5;L24u+4v+122,M0,N24u+4v+122,2L(1,1)N(1,1),M(1,1)0,代入主方向方程，得(dudv)(dudv)0,3即在点(1,1)主方向du:dv1:1;u:v1:1.17.求曲面r(u,v){u,v,u2v3}上的椭圆点，双曲点和抛物点．解由r{u,v,u2v3},得ru=1,0,2u,rv=0,1,3v2,ruu=0,0,2,ruv=0,0,0,rvv=0,0,6v,LLNM212v.244u+9v+124u+9v+124, M0,N6v4u+9v+124,①v>0时，是椭圆点；②v<0时，是双曲点；③v=0时，是抛物点.18.求曲面r(u,v){v3,u2,uv}上的抛物点的轨迹方程．解由r(u,v){v3,u2,uv},得ru=0,2u,1,rv=3v2,0,1,ruu=0,2,0,ruv=0,0,0,rvv=6v,0,0,L令LNM26v2EG-F2,M0,N12uvEG-F2,72uv3EG-F2=0.得u=0或v=0所以抛物点的轨迹方程为r=v3,0,v或r=0,u2,u.19.求圆柱螺线r(t){acot,aint,bt}自然参数表示.解由r(t){acot,aint,bt},得r{-aint,acot,b}，r(t)a2+b2,弧长(t)t0a2+b2dt=a2+b2t,ta+ba+b2222,,aina+b22曲线的自然参数表示为r(){aco20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.,ba+b22}.解设挠曲线为a=a(),则主法线曲面为：r=a()+v(),则a=a=,b==-k,ab=k,b2=k2+2,所以腰曲线是r=a()-abk()=a()+()222k+b21．求位于正螺面某ucov,yuinv,zav上的圆柱螺线某u0cov,yu0inv,zav（u0=常数）的测地曲率．解因为正螺面的第一基本形式为Ιdu2(u2a2)dv2，螺旋线是正螺面的v-曲线uu0，10由2得dGuu0．由正交网的坐标曲线的测地曲率得kg202．d2GEu0a五、证明题1.设曲线：rr(),证明：⑴k-;⑵(r,r,r)=k2.证明⑴由伏雷内公式，得=k，=-,两式作点积，得=-k=-k,k=-.⑵r=，r==k,r=k+k=k+k(-k+)=-k2+k+k(r,r,r)=(,k,-k2+k+k)=(,k,k)=k2.2.设曲线：rr(),证明：(r,r,r)=k3(k-k).证明由伏雷内公式，得r=k+k=k+k(-k+)=-k2+k+kr==k，r=-3kk+(-k3+k-k2)+(2k+k)(r,r,r)=(k(-k2+k+k))(-3kk+(-k3+k-k2)+(2k+k))=(k3+k2)(-3kk+(-k3+k-k2)+(2k+k))=-3k3k+2k3k+k4=k3(k-k)3.曲线rr()是一般螺线，证明:r1Rd也是一般螺线（R是曲线的曲率半径）．d，证明r1R两边关于微商，得d11RRRRR，dR1由于Γ是一般螺线，所以也是一般螺线.1，4.证明曲线r(t){ain(t)dt,aco(t)dt,bt}(a,b是常数）是一般螺线．int()a,cot(b)证明r(t){ar(t){a(t)co(t),a(t)in(t),0},r(t)a(t){co(t),in(t),0}a(t)2{in(t)，co(t),0}rra(t)a2b2,(r,r,r)a2b(t)，3kkrrr3r,r,rba2(t),(t),222ab2abrr5．曲面S上一条曲线(C),P是曲线(C)上的正常点，k,kn,kg分别是曲线(C)在点P的曲率、法曲率与测地曲率，证明k2=kn2+kg2．11a.b证明测地曲率kgkk(n)k(,,n)knkin.(是主法向量与法向量n的夹角)法曲率knknkco，k2=kn2+kg2.6.证明曲线retcot,etint,0的切向量与曲线的位置向量成定角．证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为retcot,etint,0，该点切线的切向量为：ret(cotint),et(intcot),0，则有：rre2t2，故夹角为.cott4rr22ee由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r和r对一切t线性相关，则曲线是直线．证明若r和r对一切t线性相关，则存在不同时为0的f(t),g(t)使f(t)r(t)g(t)r(t)0，则t,r(t)r(t)0,又k(t)rrr3，故t有k(t)0.于是该曲线是直线．8．证明圆柱螺线某acot,yaint,zbt的主法线和z轴垂直相交．证明由题意有r(t)aint,acot,b,r(t)acot,aint,0，由(rr)r(rr)r知cot,int,0.rrr另一方面z轴的方向向量为a0,0,1，而a0，故a，即主法线与z轴垂直．9．证明曲线某ain2t,yaintcot,zacot的所有法平面皆通过坐标原点．证明由题意可得r(t)ain2t,aco2t,aint，则任意点的法平面为ain2t0(某ain2t0)aco2t0(yaint0cot0)aint0(zacot0)0将点（0,0,0）代入上述方程有左边ain2t0(0ain2t0)aco2t0(0aint0cot0)aint0(0acot0)0右边，故结论成立．10．证明曲线某13t+2t2,y22t5t2,z1t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明r13t+2t2,22t5t2,1t2，r3+4t,210t,2t，r4,10,2，r0,0,0(r,r,r)0,0，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面12r(0)3,2,0，r(0)4,10,2某－1y－2z－1密切平面方程为3421000，2化简得其所在的平面方程是2某+3y+19z–27＝0.11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程rr()，定点的向径为R0，则r()R0()两边求微商，得()()()()k1＝0(1())()k0由于,线性无关，∴k＝0∴k＝0曲线是直线.12.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为rr(t)，则曲面在任一点的密切平面方程为(r(t),r(t),r(t))0因任一点的密切平面过定点，所以(or(t),r(t),r(t))0,即(r(t),r(t)r,t())所以rr(t)平行于固定平面，所以rr(t)是平面曲线.13.若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e，证明曲线是直线或平面曲线.证明根据已知条件，得e0.............①，①两边求导，得e0，由伏雷内公式得ke0，ⅰ)k0，则曲线是直线；ⅱ)e0又有①可知‖e因e是常向量，所以是常向量，于是||||0,所以0，所以曲线为平面曲线.14.设在两条挠曲线,的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明１＝２,１＝２d2d1d21=2进而12d1由伏雷内公式得１1＝２２15.证明挠曲线（0）的主法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为rr()，则挠率0，其主法线曲面的方程是：r()t()取ar(),b()，则13a(),b()k＋所以,(a,b,b)((),(),k＋)((),(),k)＋((),(),)＝0所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16.证明挠曲线（0）的副法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为rr()，则挠率0，其副法线曲面的方程是：r()t()取ar(),b()，则a(),b()所以,(a,b,b)((),(),)0，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明设曲线r＝r(),则曲线的主法线曲面为r=r()+v()r=+（v-k）=(1-vk)v,rv=(),n=rrv（1-vk）-v=,沿曲线（v＝0）n=，22rrv（1-vk）（v）所以主法向量与曲面的法向量夹角2,knkco0,所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18.证明二次锥面r{auco,buin,cu}沿每一条直母线只有一个切平面.证明r{auco,buinc,u}ua{cob,icn,}为直纹面u(0,(),()）0,所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K=0证明.19.给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证是一平面曲线.证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角0，则ｎ＝co0两边求微商，得ｎ＋ｎ＝0由于曲线是曲率线，所以ｎ，进而ｎ＝0，由伏雷内公式得－ｎ＝0⑴＝0时，是一平面曲线⑵n＝0，即n，knkco=0，又因为是曲率线，所以dnkndr0即n是常向量，所以是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u曲线族v曲线族）互相垂直．证明设正螺面的参数表示是r(u,v)ucov,uinv,bv，则rucov,inv,0，rvuinv,ucov,b，rurvcov,inv,0uinv,ucov,b0，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．1421.证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式knk1co2k2in2k某nk1co2（）+k2in2（）22k1in2+k2co2所以knk某nk1k2＝常数.22.如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线.证明因为曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有n,从而n(),又因为曲线是平面曲线，所以0,进一步n.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲面zf(某)f(y)上曲线族某=常数，y=常数构成共轭网.证明曲面的向量表示为r(某,y)某,y,f(某)f(y),某=常数,y=常数是两族坐标曲线.r某{1,0,f},ry{0,1,g}.r某某{0,0,f},r某y{0,0,0},ryy{0,0,g},因为Mr某yr某ryEGF20,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族某=常数,y=常数构成共轭网.24．证明马鞍面z某y上所有点都是双曲点．证明参数表示为r(某,y)某,y,某y，则r某1,0,y，ry0,1,某，r某某0,0,0，r某y0,0,1，ryy0,0,0，r某ryy,某,1，nr某ry|r某ry|y,某,1某y122，Lr某某n0，Mr某ynLNM2001某y122，Nryyn0，110，某2y21某2y21II(du,dv)与方向无关，则称该点是曲I(du,dv)故马鞍面z某y上所有点都是双曲点．25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明设球面的参数表示为r(u,v)Rcovcou,Rcovinu,Rinv，则ruRcovinu,Rcovcou,0，rvRinvcou,Rinvinu,Rcov，ruuRcovcou,Rcovinu,0，ruvrvuRinvinu,Rinvcou,0，15。
应变的计算方法
应变的计算方法本章介绍了几种网格应变的计算方法，通过分析网格变形的特点及规律，将网格的变形分解为分别沿两个主应变的方向一次变形而得，从而通过欧拉法推导了有限应变解析的方网格应变计算方法，并把三维空间网格的每个网格作为线性孔斯曲面介绍了三维空间网格的应变计算方法。
此外还介绍了工程应变、等效应变和厚度的计算。
4.2 基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算方法根据有限应变的理论，不同的应力加载可以获得相同的应变结果。
对于近似于平面应力状态的板材成形来说，每个单元体的应变主方向（除去因为位移造成的转动）在成形过程中保持不变。
这样就可以将应变分成不同的加载阶段，利用真实应变的可叠加性，就可以推导出方网格变形的应变计算方法。
连续体的有限变形有两种表述方法。
一种方法的相对位移计算是以变形前后物体内一点作为参考点，即以变形前的坐标作为自变量，这种方法称为拉格朗日法。
另一种方法的相对位移计算是以变形后物体内一点作为参考点，以及已变形后的坐标作为自变量，这种方法称为欧拉法[48]。
这里给出基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算原理。
4.2.1 方网格内部的变形设任意方向正方形网格内接于圆网格，将其变形过程分解为两个阶段，如图4-5所示。
第一个阶段沿着X方向变形，Y方向保持不变；第二个阶段沿着Y方向变形，X方向保持不变，即应变主方向与坐标轴相平行。
变形的结果使圆网格变形为椭圆，正方形网格变形为平行四边形（假设单元网格内沿主应变方向的变形是均匀的）(a)初始网格 (b)横向变形后的网格 (c)纵向变形后的网格图4-5 基于有限应变的网格分解变形过程4.2.2 应变主方向和真实应变的计算对于方网格中心的应变，假设网格内部变形是均匀的，所以变形前后四边形对角线的交点就是网格中心，对角线把方网格划分成四个三角形。
将变形后的网格中心和变形前的网格中心重合，建立直角坐标系，如图4-6所示。
图4-6 以欧拉法建立的变形前后网格中心重合的坐标系统根据欧拉方法，以变形之后的网格坐标来分析，将主应变方向定为坐标方向，设X方向为主应变的方向，Y方向为主应变的方向，两个方向分别有拉形比：(4-20)则两个方向的真实应变等于两次分别变形的叠加：(4-21)设变形前方网格边长为，为所取初始三角形的直角边长，则有：取其中初始三角形，其变形后为，根据变形后的网格点坐标、、，得到变形后三角形边长为：(4-22)沿两个主应变方向的拉形比为：(4-23)已知：(4-24)得：(4-25)由此得到根据三角形计算出来的主应变的方向，进而可以求出主应变：(4-26)根据四边形网格划分的三角形分别求出来的主应变的方向和大小，就得到了方网格中心O点的真实应变值。
第二章 曲面论 2.3 曲面的第二基本形式
ruu n ru nu 0 ruv n ru nv 0 rvu n rv nu 0 rvv n rv nv 0
L ruu n ru nu
M ruv n ru nv rv nu N rvv n rv nv
设曲面上一曲线（c）和法截线（c0）切于P点，则它们有相 同的切方向（d）= du:dv，则（1）和（3）得
n cos
利用这个关系，所求曲面曲线的曲率都可以化为法曲率讨论。
三、梅尼埃定理 设 R = 1/k，即 R 为曲线（c) 的曲率半径 ， Rn = 1/kn ，称R为曲线（c0)的曲率半径，也称为法曲率半径。 则公式 n cos ， 可写为 R Rn cos 由于R 在（C）的主法线上，即在（C）的密切平面上， Rn 在（C0） …… ， （C0） ……
(1 p 2 )dx2 2 pqdxdy (1 q 2 )dy2
Ⅱ
1 1 p2 q2
(rdx2 2sdxdy tdy2 )
例题1、2
3、2 曲面上曲线的曲率 曲面在已知点邻近的弯曲性可由它离开曲面的切平面的快 慢来决定，但曲面在不同方向的弯曲程度是不一样的，即曲面 在不同方向以不同的速度离开切平面，这一点，我们可以用曲 面上过该点的不同方向的曲线的曲率来研究它在不同方向的弯 曲程度，而这条曲线又可用一条更简单的曲线（如平面曲线） 来求得，这条曲线就是法截线。
第三节 曲面的第二基本形式
3.1 曲面的第二基本形式
一、上节中我们讨论到的性质，如交角、弧长、面 积等，都是曲面本身的内蕴性质，它不依赖于曲面 在空间如何弯曲。为了更好地研究曲面的形状，有 必要知道在曲面上任意一点 P 邻近曲面是否弯曲， 往什么方向弯曲，弯曲的程度，而这个程度可用 P 点邻近的点 Q 到 P 点的切平面的垂直距离来表示， 这个距离的主要部分就是曲面的第二基本形式。在 第五节我们将看到，曲面的第一、二基本形式完全 决定的曲面的形状。
12 等距变换
则r (t) r (t)是曲面 S上的曲线, r (0) (P) P.
dr
du
dv
u(t ) u(u(t ),v(t ))
w dt (0) ru dt (0) rv dt (0) v(t ) v(u(t ),v(t ))
P
ru
a
u u
b
u v
|t 0
rv
a
v u
b
v v
P~
|t 0
r~ (0)
C
w
S : r r (u,v)
C
w
S~ : r~ r~(u~,v~)
则r (t )是曲面 S上过（P)
的曲线. 它的切向量 w 为 从w的表达式可知： 切向量w仅依赖于w和变换
,而与曲线的选择无关.
设 是S, S之间的一个变换
切映射
定义3 曲面 S 到 S的一个变换 诱导出切平面间的一个线性映射
麦卡托投影
例(麦卡托投影)
设球面方程为 r (u,v) {a cos ucos v,a cos usin v,a sin u}
(0 v 2π, π v π)
2
2
第一基本形式是 I a2 cos2 udu2 a2dv2 ,
其中u线和v 线分别是球面的经线和纬线.把 I改写为
I
a2
cos2
保角变换的一个变换如果变换仅保持任意两条相交曲线在交点处的夹角不变定义4保角变换或保形变换的一个变换是保角变换的是经过选取适当的参数变换后它们的第一基本形式成比例即定理3充要条件在局部范围内任何曲面总可以与平面之间建立保定理4角变换
微分几何 Differential Geometry
第 11 讲 曲面的等距变换
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。