L4中平均曲率方向平行的类时曲面的等距变形
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第 ２ 卷第 ４ ８ 期
２０ 年 ７月 ０１
浙 江 大
学
学
报（ 理学版 ）
Ｊｕｎｌ Ｚ ｅｉ ｇ ｉ ｒｉ （ｃ ｎｅ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｈｊ ｎ Ｕ ｖ ｓｙ ｉ ｃ Ｅ ｔ ｎ ｆ ａ ｎ ｅ ｔ Ｓｅ ｄｉ
Ｖ．． ８ ｏ Ｉ２ Ｎ Ｊｌ ０ １ ２ ０ ｖ．
文章 编号 １０ 一９９ （０ １０ 一３ ４ ８ ０ ８ ４ ７ ０ ４ ６ 一０ ２ ）
ｒｉｅ ． ａｎ ｄ
Ｋ ｙ ｒ ： ｅｎ ｖｔｒ ｉ ｍ ｔｃ ｏｍ ｔ ｎ ｐｒｌｌ ｎ ｖｔ ｅ ｃｏ ｓｍ ａ ｃｒａｕ ； ｅ ｉｄｆｒ ａｏ ： ａｅ ｍ ａ ｃｒａ ｒ ｄ ｅｔ ｎ ｅｗ ｄ ｏ ｕ ｅ ｓ ｒ ｅ ｏ ｉ ａ ｌ ｅ ｕ ｕ ｉ ｉ ｒ
１ 引
言
３ 维常曲率空间形式中的Ｂ ｎ ｅ 曲面是指容有保平均曲率单参数簇等距变形的曲面． ＇ ｏｎｔ Ｒ中 这类曲面的研究始于Ｂｎｅ＇ 至今在这方面已 ｏｎｔ－ （， 做了许多工作， 例如文献「 －５ 等． ２ 口 最近， 文献仁］ ６ 中对 Ｂ ｎｅ 曲面自然地引人了一个半测地等温标架， ｏ ｎｔ 把偏微分方程问题转化为常微分方程， 从而 在此标架下显式地给出了从此标架到曲率线标架 的旋转角， 得到了一个漂亮 的分类结果． 对于 Ｌ ｒ ｔ ｍｎｏ ｓｉ ｏｅ ｚ ｉ ｗ ｋ空间Ｌ 中类空Ｂｎｒ曲面的情况与Ｒ 的一致； ｎ－ ｋ ＇ ｏｎｔ ３ 对类时Ｂｎｅ 曲面， ｏｎｔ 文献［口 ６ 进一步给出分类结果 本文研究了Ｌ 平均曲率方向平行类时曲面的保平均曲率函数的等距变形问题（ ＇ 无须单参数簇 的变形）具体地， 节给出了一些基本公式； 节得到容有等距变形的特征； 节从曲率线标 ． 第２ 第３ 第４ 架通过Ｌ ｒｎｚ ｏｅｔ旋转（ 旋转角内，自然地得到一个半测地的等温标架， 在此标架下， 给出４，的显式 ｅ 笋 表示， 得到了本文的主要结论 — 定理 ４１ ４２ 定理表明， ． 和 ． ． 只要给出满足一常微分方程的平均 曲率函数 Ｈ， 就能构造一簇平均曲率方向平行的曲面， 其两对主曲率能显式地表示出来．
（ａ＋ ｈ ‘ ｗ ） ‘ ０ ｄ （ ａ一 ） ＇ ｎ ｗ 二 ，
（ｃ＋ ｋ ‘一 ａ － ） ＝ ０ ｄ （ ） ＇ Ａ－ ＇ ．
同样由（） （） １ 和（ 式有 ６
ｍ ｔｃ ｆｒ ａｉ ｐｅｅｖ ｇ ａ ｃｒａ ｒ． ｃ ｓｉｃｔ ｎ ｕ ｆ ｓｃ ｋｎ ｏ ．ｒ ｃｓ ｏ ｅｒ ｄ ｏｍ ｔ ｎ ｓｒｉ ｍｅｎ ｖｔ ｅ Ａ ａｓ ｉ ｉ ｒ ｌ ｏ ｕｈ ｄ ｓ ｆ ｅ ｉ ｂ ｉ ｅ ｏ ｒ ｎ ｕ ｕ ｌ ｆａ ｏ ｅ ｔ ｓ ｒ ｉ ｆ ａ ｓ ｕ
ｊｎ Ｕｎ ｅｓ ｙＳｉ ｃ Ｅ ｉｏ ）２０ ，８４ ：６－３ １ ｉ ｇ ｉ ｒｉ （ｃ ｎｅ ｔ ｎ ，０ Ｌ２ （ ）３４－７ ａ ｖ ｔ ｅ ｄｉ
Ａ ｓ ａｔＬ ｔ ｅ ｍ ｌｅ ｆ ｅ ， ｉ ｔｅ ａｅｍ ａ ｃｒａ ｒ ｄ ｅｔ ｎ ｗ ｉ ａｍｔｉ ｂｔ ｃ： Ｍ ａ ｅｋ ｓｒ ｃ ｉＩ ｗｔ ｈ ｐｒ ｌ ｅｎ ｖｔ ｅ ｃｏ ， ｃ ｄ ｉ ｓ ｒ ｅ ｂ ｔ ｉ ｕ ａ ｎ ｈ ａ ｌｌ ｕ ｕ ｉ ｉ ｉ ＇ ｒ ｈ ｈ ｓ ｏ
（ １ （ ｝｝ （ ＇ 一 （ Ｙ ， ｗ Ｐ 一 ｗ） ＝ ｗ丫 Ｗ
引理 ３ ．
刀 ＝Ｈ， 尺 二Ｋ． 设 Ｍ容有保平均曲率函数的非平凡等距变形， 则
ａ
（ ａ一 ｃ ｝ ４ ） 一 ｍｚ
４ ＣＩ
： ： ； ：
关 健
词： 平均曲率 ； 等距 变形； 平均曲单方向平行 文献标识码 ： Ａ
中圈分类号 ； ８．３ ０１６１
Ｚ Ａ Ｇ ｎ－ ｅｇＤｐｒ ｅｔ Ｍ ｔ ｍ ｔｓ Ｚｅａｇ ｉ ｒｔ， ｎｚｏ ３０２， ｎ） Ｈ Ｎ Ｙ ｎｚ ｎ（ｅａｔ ｎ可 ａ ｅ ａｃ， ｊ ｎ Ｕ ｖ ｓｙ Ｐａｇｈｕ ０８ Ｃ ｉ ｏ ｈ ｍ ｈ ｉ ｈｉ ｎｅｉ ｆ １ ｈａ
Ｌ 中平均 曲率方 向平行的类时 曲面的等距变形 ４
张远 征
（ 浙江大学 数学 系 ， 浙江 杭 州 ３０ ２ ） １０ ８
摘
要 ： Ｍ 为 Ｌ 中平均 曲率方向平行 的奥时曲面， 设 ＇ 容有保平均曲率的等距 变形． 文给 出了这类曲 本
面 的 一 个 分 类 结 泉．
外微分（ｏ ）（０ ） ｌｂ ， １ｃ 得
０＝ ｄ ＇ ｄ，ｗ． ａ＝ ； 故 由（ 幻 式有 工 ｄ＊ 一 ｄ， 声＝ ０ ａ ｄ ．
（６ １ ）
（５ １）
３ 平均曲率方向平行曲面的等距变形
设后是Ｌ 中另一平均曲率方向平行的曲面， ＇ 且它是Ｍ的保平均曲率函数的非平凡等距变形，
故可取曲率线标架｛ ＇ ｝． ｗ ， ｝使 ｗ
，ｅ 一－ “＊ ｛ ２ ｅ ＇
设 ａ， 由下列式子决定 ，拼 ｄ ， ＇ ａ， ａ ＝ ａ Ａ ， ａ 二ａ Ａ ｌ ＇ ａ ， ｄ ； ｄ， ０ ｅ， ｅ 一 ｅ ｎ ， Ｂ 二 ＇ ｎ ｄ＝ ＇ ＝ ２ １ ｅ
直接计算可得
可二叫 ＋ｄ ＋ ‘ Ｉ ， 卢 ｄ ｎ Ａ ｍ 二斌 一ｄ ＋ ， Ｉ ， ＂ ｄ ｎ Ａ，
Ｉ ｍ ｔｃ ｏｍ ｔ ｎ ｔ ｅ ｋ ｓｒ ｃ ｗｔ ｐｒｌｌ ｎ ｖｔｒ ｄｒ ｔ ｎ Ｌ． ｒａｏ Ｚ ｅ ｓ ｅ ｉｄｆ ａｏ ｏ ｉ ｌ ｅ ｆ ｅ ｉ ａ ｌ ｍ ａ ｃｒａ ｅ ｅ ｉ ｉ ＇ ｏ ｎｌ ｈ ｏ ｒ ｅ ｒ ｉ ｆ ｉ ｕ ａ ｓ ｈ ａ ｅ ｅ ｕ ｕ ｉ ｃｏ ｎ Ｊｕ ｍ ｆ
： ； ：
（ ） ３
称此标架 为曲率线标架． 因此 月 一ａ 结构方程 为
井
Ｋ 二 ａ ‘一 ．Ｉ
ｄ ＇ ｗ ｎ ， ｗ ＝ 。 ｎ。 ， ． ＝ ＇ ｗ ｄ ＇ ‘ ｝ ，
（４） （５） （６）
ｄ ｝ ； ｝ ： ｗ 一。 ｎ。 ＋。 ｎ。 ＝一Ｋ ＇ ， ； ｗ ｎ。，
２ 基本公 式
设 Ｌ 为４ 维 Ｌ ｒ ｔ 空间， ４ ｏ ｎｚ ｅ 我们考虑一片类时曲面二Ｍ Ｌ ： － ＂沿 Ｍ， 选取局部正交标架
收稿 日期 ２０ －３２ ０００－１ 作者简介 ： 张远征（９ ６ ， 副教授 ， １６ 一）男， 博士生 ． 主要从事徽分几何研究．现工作单位为浙江教 育学院 ， 邮编 ３０ １ １０２
ａ， ｄ ＇ ｄ＋ ＂＝ ０ ．
证明
由（７ 式存在 Ｍ 上的函数 ：ｓ ｈ 半 。 ， １） （ｉ ２ ｎ ｒ ）使
ｃ 二ｃｓ ：， ｉ ｒ＇ ｝二ｓ ｈ：， ｏｈ ， ｉ 。 ＋ｃｓ ｒ＇ ｕ ｏｈ 。 ＋ｓ ｈ ， ‘ ｎ ｒ ｃ ｎ ， ｎ ．
故
（ Ｈ 。 Ｈ ）＝ 甲 甲
ａｃ一 ２ ＿， ， － ２ Ｉ “ （
假定 ｐＨ 是非类光的。 ， ｚ６ 记 即ｕ 一。 ；０ ．
Ａ｝ Ｅｕ ｖ ） Ｅ＝ 士 Ｉ ＝ （， ＇ ， ，
引人 ０ 使
ｕ 二 二二
六二 ７
月 ＃ Ｅ＇ ｅ＋ ｅ
因此 有
万方数据
３６ ６
浙 江 大 学 学 报（ 理学版 ）
ａ ２Ｈ ＝ （ ｄ
第 ２ ８卷 （０ ） １ａ
）＇ Ｂ
ｄ （ ｌｇ ａ ｏ
‘ ）二 ａ 一 ２ ２ ， ． ， －
（ｏ ｌ ｂ）
（０） １ｃ
ｍ． ｄｌｇｍ ＝ 一 ２并 ． ｏ
从（０ ） １ａ 得到平均曲率的梯度
－ ｃ ｐ 一 －（ｅ一ｖｚ， Ｈ ａ 、 ｅ） ２ｕ
曲面的平均曲率和高斯曲率记为
Ｈ 告 ＋＋，‘ 一 （ ・ａ 。 ＋
Ｋ＝ａ ｃ＋ ｂ ＋ ａ 十 ｂ２ Ｚ ＇ ｃ ， ＇ ．
取 ： 则 现设 Ｍ 在 ４ Ｌ 中的平均曲率 Ｈ 不等于 ０且平均曲率方向平行， ｅ 为平均曲率方 向， 叫 一 ，
０选取切标架｛ ｅ？使 Ｗｅ ｇｒ ｎ变换 Ａ ， ‘ ｅ ， ， ｉ ａｔ ｎ ｅ ３ 同时对角化． Ａ 故 叫 ＝ａ ｍ ＝一ｃ， ｍ． ｚ ＇ ．， 。 一。 ， 。 ＝ｍ ３ ｝ 。， 鑫 ．，
其中。 － ＝ 。 一 明 一 。 一 叫 ＝ ０． ＝ 。 ，互 ３ ４ ｛ ｝ ｝ ＇＂ 鑫。 ＝一 叫 ，二 。 ＝一 叫，艺 ｒ ， ３４ 由 Ｃ ｒａ 。 ＝ ａ ａ＝ ，． ａｔｎ ｉ
引理 ， 外微分
阴３ 田＇
０可设 ，
叫 一ａ ＇ ｍ， 叫 ＝ｂ＇ ，， ｍ ＋ｂ｝ ． 一：ｚ 叫 ＝ａ－ ＋ｂ ＇ ｍ ＝ｈ １ ＇ ＇＇ ＇ ， １ ＇ 一ｃ ， ． ． ．
记
ｕ＝ ｋ一 ｐ ｖ＝Ｙ一 ｈ ， ， Ｂ ＝ ｕ ， ｖ ＇ Ｏ ＝ ． １ ｖ ＇ ｕ ２ ＇ ． ＋ ． ， ｚ ０ 一 ｗ ＋ ｗ， ａ ＝ ｕ ＇ ｗ ， Ｑ ＝ ． 一一 ｖ ＇ ｕ ｝ ＇ ｗ 一ｖ ｚ ｚ ａ ＇ ． ＋ ｗ，
ｄ ＝一 ２ ｍ ｍ，。， ｛
（７） （９）
其中 二是Ｈ ｄｅ ｏｇ 星算子， 其定义是
＋ ＇ 田 ， 关 ２ 田 ， 关 ＝ ｉ． ｒ ＝ ２ ｗ 田＝ ， ２ ｄ
故
ຫໍສະໝຸດ Baidu
： ： ； ：
（ ３） １ （ ４） １
ａ ＝ Ｂ ＋ ２ ＂＝ ２ 一 Ｂ 十 ２＊ ｎ ＩＡ， ｛ ｄ ｗ ｄ 外微分（Ｏ ）得 Ｉａ ， （， ２， ｝ ， Ｄ Ｂ ＝０ ａ 一 二 ； ２ ＩＡ） Ｂ ＝ ０ ａ一 。 ＋ Ｂ Ａ ＇ 或（‘ ａ ＋ ｄ Ａ ｎ ＇ ．
（ｍ ＋ ２ ｗ ）八似 ＝ ０ ｄ ｍｈ ＇ ， ， （ｍ ＋ ２ ． ） － 二 ０ ｄ －ｋ ＇ Ａ ＇ ， 故可令
ｄ ａ＝ （ 一ａ （ｗ ＋ｈ ＇， ｃ ）ｐ ＇ ｗ） （８） ｄ ＝ （ ｃ（－ ＋ ｑ ｚ ｏ ａ一 ） ＇ ｗ） ｋ ，
万方数据
第 ４期
张远征 ：＇ Ｌ 中平均曲率方向平行的类时曲面的等距变形
３ ５ ６
｛ ； ｅ， ， 使 。是类空切向量， 是类时切向量， Ｚｅ ， ３ 小 ｅｅ ： 。 ： 因此。， 是类空法向量． ，， 。 则有
ｄ ｓ＝ ｒｅ ＋ ．ｅ， ａ ＇ ＇，
ｄ，＝。ｅ ｅ ， 戈－
ｄ ； 叫 ｎ。 ， ｄ ＇ 。 ｗ＝ １ ． 二 ；八。 ， ， ｝ ｄ 一 斌 ｎ码， ｄ ＝ 码 八叫， 叫 码
其中（） ４ 式是Ｇ ｕｓ ａｓ 方程，５ 和（） （） ６ 是式 Ｃ ｄｚｉ ｏａｚ方程． 假设 ａ一 共 ， ‘ 。，护 。 设 叫 ＝ ｈ ＇ ｋ， 由（）和（） ． ． ＋ － ， Ｌ （ 式得 ＇ ４
２０ 年 ７月 ０１
浙 江 大
学
学
报（ 理学版 ）
Ｊｕｎｌ Ｚ ｅｉ ｇ ｉ ｒｉ （ｃ ｎｅ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ ｈｊ ｎ Ｕ ｖ ｓｙ ｉ ｃ Ｅ ｔ ｎ ｆ ａ ｎ ｅ ｔ Ｓｅ ｄｉ
Ｖ．． ８ ｏ Ｉ２ Ｎ Ｊｌ ０ １ ２ ０ ｖ．
文章 编号 １０ 一９９ （０ １０ 一３ ４ ８ ０ ８ ４ ７ ０ ４ ６ 一０ ２ ）
ｒｉｅ ． ａｎ ｄ
Ｋ ｙ ｒ ： ｅｎ ｖｔｒ ｉ ｍ ｔｃ ｏｍ ｔ ｎ ｐｒｌｌ ｎ ｖｔ ｅ ｃｏ ｓｍ ａ ｃｒａｕ ； ｅ ｉｄｆｒ ａｏ ： ａｅ ｍ ａ ｃｒａ ｒ ｄ ｅｔ ｎ ｅｗ ｄ ｏ ｕ ｅ ｓ ｒ ｅ ｏ ｉ ａ ｌ ｅ ｕ ｕ ｉ ｉ ｒ
１ 引
言
３ 维常曲率空间形式中的Ｂ ｎ ｅ 曲面是指容有保平均曲率单参数簇等距变形的曲面． ＇ ｏｎｔ Ｒ中 这类曲面的研究始于Ｂｎｅ＇ 至今在这方面已 ｏｎｔ－ （， 做了许多工作， 例如文献「 －５ 等． ２ 口 最近， 文献仁］ ６ 中对 Ｂ ｎｅ 曲面自然地引人了一个半测地等温标架， ｏ ｎｔ 把偏微分方程问题转化为常微分方程， 从而 在此标架下显式地给出了从此标架到曲率线标架 的旋转角， 得到了一个漂亮 的分类结果． 对于 Ｌ ｒ ｔ ｍｎｏ ｓｉ ｏｅ ｚ ｉ ｗ ｋ空间Ｌ 中类空Ｂｎｒ曲面的情况与Ｒ 的一致； ｎ－ ｋ ＇ ｏｎｔ ３ 对类时Ｂｎｅ 曲面， ｏｎｔ 文献［口 ６ 进一步给出分类结果 本文研究了Ｌ 平均曲率方向平行类时曲面的保平均曲率函数的等距变形问题（ ＇ 无须单参数簇 的变形）具体地， 节给出了一些基本公式； 节得到容有等距变形的特征； 节从曲率线标 ． 第２ 第３ 第４ 架通过Ｌ ｒｎｚ ｏｅｔ旋转（ 旋转角内，自然地得到一个半测地的等温标架， 在此标架下， 给出４，的显式 ｅ 笋 表示， 得到了本文的主要结论 — 定理 ４１ ４２ 定理表明， ． 和 ． ． 只要给出满足一常微分方程的平均 曲率函数 Ｈ， 就能构造一簇平均曲率方向平行的曲面， 其两对主曲率能显式地表示出来．
（ａ＋ ｈ ‘ ｗ ） ‘ ０ ｄ （ ａ一 ） ＇ ｎ ｗ 二 ，
（ｃ＋ ｋ ‘一 ａ － ） ＝ ０ ｄ （ ） ＇ Ａ－ ＇ ．
同样由（） （） １ 和（ 式有 ６
ｍ ｔｃ ｆｒ ａｉ ｐｅｅｖ ｇ ａ ｃｒａ ｒ． ｃ ｓｉｃｔ ｎ ｕ ｆ ｓｃ ｋｎ ｏ ．ｒ ｃｓ ｏ ｅｒ ｄ ｏｍ ｔ ｎ ｓｒｉ ｍｅｎ ｖｔ ｅ Ａ ａｓ ｉ ｉ ｒ ｌ ｏ ｕｈ ｄ ｓ ｆ ｅ ｉ ｂ ｉ ｅ ｏ ｒ ｎ ｕ ｕ ｌ ｆａ ｏ ｅ ｔ ｓ ｒ ｉ ｆ ａ ｓ ｕ
ｊｎ Ｕｎ ｅｓ ｙＳｉ ｃ Ｅ ｉｏ ）２０ ，８４ ：６－３ １ ｉ ｇ ｉ ｒｉ （ｃ ｎｅ ｔ ｎ ，０ Ｌ２ （ ）３４－７ ａ ｖ ｔ ｅ ｄｉ
Ａ ｓ ａｔＬ ｔ ｅ ｍ ｌｅ ｆ ｅ ， ｉ ｔｅ ａｅｍ ａ ｃｒａ ｒ ｄ ｅｔ ｎ ｗ ｉ ａｍｔｉ ｂｔ ｃ： Ｍ ａ ｅｋ ｓｒ ｃ ｉＩ ｗｔ ｈ ｐｒ ｌ ｅｎ ｖｔ ｅ ｃｏ ， ｃ ｄ ｉ ｓ ｒ ｅ ｂ ｔ ｉ ｕ ａ ｎ ｈ ａ ｌｌ ｕ ｕ ｉ ｉ ｉ ＇ ｒ ｈ ｈ ｓ ｏ
（ １ （ ｝｝ （ ＇ 一 （ Ｙ ， ｗ Ｐ 一 ｗ） ＝ ｗ丫 Ｗ
引理 ３ ．
刀 ＝Ｈ， 尺 二Ｋ． 设 Ｍ容有保平均曲率函数的非平凡等距变形， 则
ａ
（ ａ一 ｃ ｝ ４ ） 一 ｍｚ
４ ＣＩ
： ： ； ：
关 健
词： 平均曲率 ； 等距 变形； 平均曲单方向平行 文献标识码 ： Ａ
中圈分类号 ； ８．３ ０１６１
Ｚ Ａ Ｇ ｎ－ ｅｇＤｐｒ ｅｔ Ｍ ｔ ｍ ｔｓ Ｚｅａｇ ｉ ｒｔ， ｎｚｏ ３０２， ｎ） Ｈ Ｎ Ｙ ｎｚ ｎ（ｅａｔ ｎ可 ａ ｅ ａｃ， ｊ ｎ Ｕ ｖ ｓｙ Ｐａｇｈｕ ０８ Ｃ ｉ ｏ ｈ ｍ ｈ ｉ ｈｉ ｎｅｉ ｆ １ ｈａ
Ｌ 中平均 曲率方 向平行的类时 曲面的等距变形 ４
张远 征
（ 浙江大学 数学 系 ， 浙江 杭 州 ３０ ２ ） １０ ８
摘
要 ： Ｍ 为 Ｌ 中平均 曲率方向平行 的奥时曲面， 设 ＇ 容有保平均曲率的等距 变形． 文给 出了这类曲 本
面 的 一 个 分 类 结 泉．
外微分（ｏ ）（０ ） ｌｂ ， １ｃ 得
０＝ ｄ ＇ ｄ，ｗ． ａ＝ ； 故 由（ 幻 式有 工 ｄ＊ 一 ｄ， 声＝ ０ ａ ｄ ．
（６ １ ）
（５ １）
３ 平均曲率方向平行曲面的等距变形
设后是Ｌ 中另一平均曲率方向平行的曲面， ＇ 且它是Ｍ的保平均曲率函数的非平凡等距变形，
故可取曲率线标架｛ ＇ ｝． ｗ ， ｝使 ｗ
，ｅ 一－ “＊ ｛ ２ ｅ ＇
设 ａ， 由下列式子决定 ，拼 ｄ ， ＇ ａ， ａ ＝ ａ Ａ ， ａ 二ａ Ａ ｌ ＇ ａ ， ｄ ； ｄ， ０ ｅ， ｅ 一 ｅ ｎ ， Ｂ 二 ＇ ｎ ｄ＝ ＇ ＝ ２ １ ｅ
直接计算可得
可二叫 ＋ｄ ＋ ‘ Ｉ ， 卢 ｄ ｎ Ａ ｍ 二斌 一ｄ ＋ ， Ｉ ， ＂ ｄ ｎ Ａ，
Ｉ ｍ ｔｃ ｏｍ ｔ ｎ ｔ ｅ ｋ ｓｒ ｃ ｗｔ ｐｒｌｌ ｎ ｖｔｒ ｄｒ ｔ ｎ Ｌ． ｒａｏ Ｚ ｅ ｓ ｅ ｉｄｆ ａｏ ｏ ｉ ｌ ｅ ｆ ｅ ｉ ａ ｌ ｍ ａ ｃｒａ ｅ ｅ ｉ ｉ ＇ ｏ ｎｌ ｈ ｏ ｒ ｅ ｒ ｉ ｆ ｉ ｕ ａ ｓ ｈ ａ ｅ ｅ ｕ ｕ ｉ ｃｏ ｎ Ｊｕ ｍ ｆ
： ； ：
（ ） ３
称此标架 为曲率线标架． 因此 月 一ａ 结构方程 为
井
Ｋ 二 ａ ‘一 ．Ｉ
ｄ ＇ ｗ ｎ ， ｗ ＝ 。 ｎ。 ， ． ＝ ＇ ｗ ｄ ＇ ‘ ｝ ，
（４） （５） （６）
ｄ ｝ ； ｝ ： ｗ 一。 ｎ。 ＋。 ｎ。 ＝一Ｋ ＇ ， ； ｗ ｎ。，
２ 基本公 式
设 Ｌ 为４ 维 Ｌ ｒ ｔ 空间， ４ ｏ ｎｚ ｅ 我们考虑一片类时曲面二Ｍ Ｌ ： － ＂沿 Ｍ， 选取局部正交标架
收稿 日期 ２０ －３２ ０００－１ 作者简介 ： 张远征（９ ６ ， 副教授 ， １６ 一）男， 博士生 ． 主要从事徽分几何研究．现工作单位为浙江教 育学院 ， 邮编 ３０ １ １０２
ａ， ｄ ＇ ｄ＋ ＂＝ ０ ．
证明
由（７ 式存在 Ｍ 上的函数 ：ｓ ｈ 半 。 ， １） （ｉ ２ ｎ ｒ ）使
ｃ 二ｃｓ ：， ｉ ｒ＇ ｝二ｓ ｈ：， ｏｈ ， ｉ 。 ＋ｃｓ ｒ＇ ｕ ｏｈ 。 ＋ｓ ｈ ， ‘ ｎ ｒ ｃ ｎ ， ｎ ．
故
（ Ｈ 。 Ｈ ）＝ 甲 甲
ａｃ一 ２ ＿， ， － ２ Ｉ “ （
假定 ｐＨ 是非类光的。 ， ｚ６ 记 即ｕ 一。 ；０ ．
Ａ｝ Ｅｕ ｖ ） Ｅ＝ 士 Ｉ ＝ （， ＇ ， ，
引人 ０ 使
ｕ 二 二二
六二 ７
月 ＃ Ｅ＇ ｅ＋ ｅ
因此 有
万方数据
３６ ６
浙 江 大 学 学 报（ 理学版 ）
ａ ２Ｈ ＝ （ ｄ
第 ２ ８卷 （０ ） １ａ
）＇ Ｂ
ｄ （ ｌｇ ａ ｏ
‘ ）二 ａ 一 ２ ２ ， ． ， －
（ｏ ｌ ｂ）
（０） １ｃ
ｍ． ｄｌｇｍ ＝ 一 ２并 ． ｏ
从（０ ） １ａ 得到平均曲率的梯度
－ ｃ ｐ 一 －（ｅ一ｖｚ， Ｈ ａ 、 ｅ） ２ｕ
曲面的平均曲率和高斯曲率记为
Ｈ 告 ＋＋，‘ 一 （ ・ａ 。 ＋
Ｋ＝ａ ｃ＋ ｂ ＋ ａ 十 ｂ２ Ｚ ＇ ｃ ， ＇ ．
取 ： 则 现设 Ｍ 在 ４ Ｌ 中的平均曲率 Ｈ 不等于 ０且平均曲率方向平行， ｅ 为平均曲率方 向， 叫 一 ，
０选取切标架｛ ｅ？使 Ｗｅ ｇｒ ｎ变换 Ａ ， ‘ ｅ ， ， ｉ ａｔ ｎ ｅ ３ 同时对角化． Ａ 故 叫 ＝ａ ｍ ＝一ｃ， ｍ． ｚ ＇ ．， 。 一。 ， 。 ＝ｍ ３ ｝ 。， 鑫 ．，
其中。 － ＝ 。 一 明 一 。 一 叫 ＝ ０． ＝ 。 ，互 ３ ４ ｛ ｝ ｝ ＇＂ 鑫。 ＝一 叫 ，二 。 ＝一 叫，艺 ｒ ， ３４ 由 Ｃ ｒａ 。 ＝ ａ ａ＝ ，． ａｔｎ ｉ
引理 ， 外微分
阴３ 田＇
０可设 ，
叫 一ａ ＇ ｍ， 叫 ＝ｂ＇ ，， ｍ ＋ｂ｝ ． 一：ｚ 叫 ＝ａ－ ＋ｂ ＇ ｍ ＝ｈ １ ＇ ＇＇ ＇ ， １ ＇ 一ｃ ， ． ． ．
记
ｕ＝ ｋ一 ｐ ｖ＝Ｙ一 ｈ ， ， Ｂ ＝ ｕ ， ｖ ＇ Ｏ ＝ ． １ ｖ ＇ ｕ ２ ＇ ． ＋ ． ， ｚ ０ 一 ｗ ＋ ｗ， ａ ＝ ｕ ＇ ｗ ， Ｑ ＝ ． 一一 ｖ ＇ ｕ ｝ ＇ ｗ 一ｖ ｚ ｚ ａ ＇ ． ＋ ｗ，
ｄ ＝一 ２ ｍ ｍ，。， ｛
（７） （９）
其中 二是Ｈ ｄｅ ｏｇ 星算子， 其定义是
＋ ＇ 田 ， 关 ２ 田 ， 关 ＝ ｉ． ｒ ＝ ２ ｗ 田＝ ， ２ ｄ
故
ຫໍສະໝຸດ Baidu
： ： ； ：
（ ３） １ （ ４） １
ａ ＝ Ｂ ＋ ２ ＂＝ ２ 一 Ｂ 十 ２＊ ｎ ＩＡ， ｛ ｄ ｗ ｄ 外微分（Ｏ ）得 Ｉａ ， （， ２， ｝ ， Ｄ Ｂ ＝０ ａ 一 二 ； ２ ＩＡ） Ｂ ＝ ０ ａ一 。 ＋ Ｂ Ａ ＇ 或（‘ ａ ＋ ｄ Ａ ｎ ＇ ．
（ｍ ＋ ２ ｗ ）八似 ＝ ０ ｄ ｍｈ ＇ ， ， （ｍ ＋ ２ ． ） － 二 ０ ｄ －ｋ ＇ Ａ ＇ ， 故可令
ｄ ａ＝ （ 一ａ （ｗ ＋ｈ ＇， ｃ ）ｐ ＇ ｗ） （８） ｄ ＝ （ ｃ（－ ＋ ｑ ｚ ｏ ａ一 ） ＇ ｗ） ｋ ，
万方数据
第 ４期
张远征 ：＇ Ｌ 中平均曲率方向平行的类时曲面的等距变形
３ ５ ６
｛ ； ｅ， ， 使 。是类空切向量， 是类时切向量， Ｚｅ ， ３ 小 ｅｅ ： 。 ： 因此。， 是类空法向量． ，， 。 则有
ｄ ｓ＝ ｒｅ ＋ ．ｅ， ａ ＇ ＇，
ｄ，＝。ｅ ｅ ， 戈－
ｄ ； 叫 ｎ。 ， ｄ ＇ 。 ｗ＝ １ ． 二 ；八。 ， ， ｝ ｄ 一 斌 ｎ码， ｄ ＝ 码 八叫， 叫 码
其中（） ４ 式是Ｇ ｕｓ ａｓ 方程，５ 和（） （） ６ 是式 Ｃ ｄｚｉ ｏａｚ方程． 假设 ａ一 共 ， ‘ 。，护 。 设 叫 ＝ ｈ ＇ ｋ， 由（）和（） ． ． ＋ － ， Ｌ （ 式得 ＇ ４