Sz(引群与射影平面 - 360文档中心

欧几里得几何学的公理体系

欧几里得几何学的公理体系.欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是“丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译）几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中.“数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题.于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学的进一步发展，就是射影几何学.十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理.在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何.把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是“埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对于G来说不变的性质，这就是几何学.在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目.欧几里得几何学：以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心是：“第五共设”两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两条直线必在此侧相交.它等价于过不在直线L上的点P且平行于L的直线有且仅有一条.最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、合乎逻辑的几何学思想.《几何原本》已经从事建立公理、定义的工作，但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世纪后半叶，D.Hilbert（就是在1900年世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系.欧几里得《几何原本》的简单介绍——全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；第3卷：关于圆的定理；第4卷：圆的内接与外切多边形定理；第6卷：相似理论；第11、12、13卷：立体几何.《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义. 前6个定义是：（1）点没有大小；（2）线有长度没有宽度；（3）线的界是点；（4）直线上的点是同样放置的；（5）面只有长度没有宽度；（6）面的界是线.其次是5个共设：（1）从任一点到另一点可以引一直线；（2）有限直线可以无限延长；（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；（4）所有直角都相等；（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.然后是5个公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量其和相等；（3）等量减等量其差相等；（4）可重合的图形全等；（5）全体大于部分.公理之后是一些重要的命题.要强调两点——1、“第五共设”等价于“平行公理”：2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点，例如几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的著作.19世纪末，德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的《几何基础》，成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，称为著名的Hilbert公理体系.希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系.希尔伯特《几何基础》的简单介绍——希尔伯特公理体系：一、结合公理（incidence axioms ）——结合性叙述了点、线、面位置关系，叙述为 “在上”或“通过”. （1）对于两点A 、B ，存在通过A 、B 的直线L ；（2）当两点A 、B 不相同时，通过此两点的直线L 是唯一的；（3）每条直线上至少有两个点；至少存在三个点不在同一条直线上；（4）对于不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，存在通过这三点的唯一的一个平面π；（5）每个平面上至少有一个点；（6）若直线L 上有两点在平面π上，则直线L 上的每一点都在平面π上；（7）若两平面1π、2π通过一点A ，则它们必通过另一点B ；（8）至少存在4个点不在同一个平面上.二、顺序公理（order axioms ）顺序性确定了几何元素的顺序关系，叙述为 “在之间”. （1）若A 、B 、C 在同一直线L 上，且“点B 在A 与C 之间”，则“B 在C 与A 之间”；（2）对于不同的两点A 、C ，在通过它们的直线L上至少存在一点B L ∈，使得C 在A 与B 之间；（3）对于在一条直线上L 的三点A 、B 、C 中，至多有一点在另两点之间；（亦即，若B 在A 、C 之间，则A 不可能在B 、C 之间；由以上三条，由此得到： ① 在直线L 上的点可以赋予线性的序；② 在直线L 上，可以定义线段，以A 、B 为端点的线段记为AB 或BA ；定义线段AB的内部，外部）（4）设A 、B 、C 是不在同一直线上的三点， π是通过三点的平面，也记为ABC ，L 是平面ABC 上的直线，但不通过A 、B 、C 中的任何一点. 若直线L 通过线段AB 上的点，则L 或通过线段AB 上的一点，或通过线段BC 上的一点；（Pasch ，帕施公理）.B ∙ LC ∙A ∙ L三、合同公理（congruence axioms ）合同性确定了线段或角的合同关系，叙述为“合同于”或“等于”. （1）如果两点A 、B 在直线L 上，点'A 在同一条或另一条直线'L 上，则直线'L 上的点'A 的一侧存在点'B ，使得线段''A B “合同”于AB ，记为''A B AB ≡；A ∙B ∙'L L（2）线段的合同关系是一个等价关系；AB BA ≡；''A B AB ≡ ⇒ ''AB A B ≡；''A B AB ≡、''''A B AB ≡ ⇒ ''''''A B A B ≡；（3）设AB 、BC 是直线L 上的两线段，没有公共内点，又设''A B 、''B C 是直线'L （'L 与L 可同，或不同）上的两线段，也没有公共内点. 若''AB A B ≡、''BC B C ≡，则''AC A C ≡；（4）设平面π上有一个角(),h k ∠，又在平面'π（'π 与π可同，或不同）上有一条直线''L π⊂，并且指定了平面'π被直线'L 分为两侧. 取直线'L 上的一点''O L ∈，并从'O 出发、在直线'L 上引射线'h ，则在平面'π的该侧上，有且仅有一条射线'k ，使得角()','h k ∠合同与角(),h k ∠，记为 ()()',',h k h k ∠≡∠；（5）角的合同关系也是等价关系. 【注】角的定义：设平面π上通过同一点O 的两不同直线为1L 、2L . 由点O 出发，分别在1L 与2L 上引两条射线，记为k 、h .B ∙’ A ∙’A ∙h 1L (),h k ∠O k2L将这一对射线的所决定的集合称为平面π上的角，记为(),h k ∠或(),k h ∠；若A 、B 分别为射线h 与射线k 上的点，也记此角为AOB ∠. O 称为角(),h k ∠的顶点；射线h 、k 称为角(),h k ∠的边.角的合同关系用几何语言叙述为： ① 设(),h k ∠是平面π上的角，1L 是平面1π上的直线（π与1π可同、可不同）；过1L 上的一点1O ，作1L 上一射线1h . 则在1π上必存在过1O 的唯一一条射线1k ，使得 ()()',',h k h k ∠≡∠.1O ∙ 1k(),h k ∠ ()','h k ∠1h1L② 角的合同关系是一个等价关系；③ 设A 、B 、C 与1A 、1B 、1C 分别为不在一直线上的三点，如果有B ∙11AB A B ≡、11AC A C ≡、111BAC B AC ∠=∠，则必有111ABC A B C ∠=∠.四、平行公理（parallel axioms ）平行公理确定了直线的平行关系，叙述为 “平行于”. 对于任意直线L 与不在L 上的一点A ，则在L 与A 确定的平面π上，有且仅有一条直线'L 通过点A 且不与直线L 相交.五、连续公理（continuity axioms ）（1）对于任意两线段AB 、CD ，在通过线段AB 的直线L 上，存在有限多个点1A 、2A 、、 n A ，使得1AA 、12A A 、、1n n A A -都合同于线段DC ， 1121n n CD AA A A A A -====，并且使得“B 在A 与n A 之间”（阿基米德公理（Archimedes ）；或称直线的连续性公理）；（2）一直线L 上的点的集合，在保持结合公理的（2），顺序公理的（2），合同公理的（1）-（5）与连续公理的（1）的条件下，不可能再扩充；（直线的完备性公理）.由Hilbert 建立的五个公理体系可以推得欧几里得几何的全部内容.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将平行公理改为罗巴切夫斯基公理，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.仿射几何 ——（一） n 维仿射空间：设X 是一个n 维线性空间，A 是一个集合，A 中的元素称为“点”，如果A 中的两点P 、Q 对应于X 中的唯一的向量PQ ，满足：（1） PP 等于X 中的零向量；（2）任给A 中一点P ，任给X 中的向量a ，则在A 中存在唯一的点Q ，使得PQ a =；（3）对于A 中的三点P 、Q 、R ，有等式PR PQ QR =+；则称A 为一个n 维仿射空间；特别地，1n =时，称A 为仿射直线；2n =时，称A 为仿射平面；3n =时，称A 为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向量.仿射直线、仿射平面、仿射空间的实际例子：对于一维、二维、三维欧氏空间，若不使用欧氏距离，仅仅视为集合，则它们分别是一维仿射直线、二维仿射平面、三维仿射空间.（二）仿射几何学：主要研究仿射空间中的图形在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、平行性、单比，等.三维仿射空间中A 的仿射坐标系：设1e 、2e 、3e 是三维仿射空间A 中三个不共面的向量，称它们为A 中的一组基. 可以证明，空间A 中的任意向量m A ∈，可用基1e 、2e 、3e 表示123m x e y e z e =++，把有序实数(),,x y z 称为向量m 的仿射坐标. 空间A 中的一个点O 与一组基{}123,,e e e ，合在一起{}123;,,O e e e 称为空间的一个仿射坐标系（也称为仿射标架）. 也常用记号123OM m x e y e z e ==++.仿射坐标系中的1e 、2e 、3e 只需不共面，不必相互垂直. 若两两互相垂直，则仿射坐标系就是直角坐标系.仿射变换：设仿射空间A 中有两组仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 、{}123:';',','II O e e e ，点'O 在仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 中的坐标为()000,,x y z ，'j e 在{}123:;,,I O e e e 中的坐标为 ()123,,,1,2,3j j j a a a j =， ① {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的点的仿射坐标变换公式：设点P A ∈在I 、II 中的坐标分别为(),,x y z 、()',','x y z ，则111213021222303132330'''x a a a x x y a a a y y z a a a z z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ② {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的向量的仿射坐标变换公式：设向量OM 在I 、II 中的坐标分别为()123,,u u u 、 ()123',','u u u ，则111121312212223233132333'''u a a a u u a a a u u a a a u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.射影几何 ——（一）射影平面、射影空间在仿射平面、仿射空间中，引进无穷远点，则称它们为扩大了的仿射平面、扩大了的仿射空间.在扩大了的射影平面、射影空间中，若将原有的点与引进的无穷远点不加区别，得到的平面、空间就称为射影平面、射影空间.在射影空间中，任意两条直线必定相交（平行直线相交于无穷远点）、任意两个平面必定相交（平行平面相交于无穷远直线）、任意直线与平面必定相交（平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点）.（二）射影几何学在定义齐次坐标、射影坐标、射影变换之后，就可以讨论射影空间中图形在射影变换下不变的性质了.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将“欧几里得平行公理”改为“罗巴切夫斯基公理”，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.11。

第二章射影平面

第二章射影平面本章是在欧氏平面的基础上，通过引进无穷远元素的方法来建立射影平面。

然后又在欧氏平面上引进齐次坐标，并介绍了对偶原理。

§1 射影直线与射影平面1.1 中心射影与无穷远元素定义1.1 设两条直线a和a′在同一平面内，O是两直线外一点，A为直线a上任一点，A与O连线交直线a′于A′，如此得到的直线a与a′的对应叫做以O为射心的中心射影。

A′叫做A从O投射到a′上的对应点。

OA叫投射线，O叫投射中心，简称射心。

显然，A也叫A′从O投射到a上的对应点。

选取射心不同，就会得到不同的中心射影。

如果，a和a′相交于点C，则C是自对应点（二重点）。

在欧氏平面上，中心射影不是一一的。

如果a上点P使OP∥a′，则P没有对应点。

同样，在a′上也存在一点Q′，使OQ′∥a，则Q′的对应点也不存在。

点P和Q′叫影消点。

类似的，我们可以定义两平面间的中心射影。

而且，如果两平面有交线l，则交线l上的每一点都是自对应点（二重点），l叫自对应直线（二重直线）。

另外，在两平面间的中心射影下，不但存在影消点（该点与射心连线平行于另一平面），还存在影消线(影消点的轨迹)。

１为使中心射影成为一一对应，我们必须引进新的元素，从而将欧氏平面加以扩充。

于是，我们约定：约定1在平面内的一组平行直线上引进唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一条直线上，记作：P∞。

平面上原有的点称为有穷远点。

由此可知，一组平行直线有且只有一个公共点，即无穷远点。

另外，一条直线a与同它平行的平面交于无穷远点。

这是因为过直线a作与已知平面相交的平面，则交线平行于直线a，即两条直线相交于无穷远点。

约定2平面内所有无穷远点的集合叫做无穷远直线，记作：l∞。

平面内原有的直线称为有穷远直线。

可以证明，一组平行平面相交于一条无穷远直线。

约定3空间里所有无穷远点的集合叫做无穷远平面，记作：π∞。

空间中原有平面叫有穷远平面。

定义1.2无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。

基本群

同伦和基本群在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！几个概念：1。

道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。

若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为道路连通的。

若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。

2。

同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。

例：1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。

可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||；2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的；可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)；3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦；3。

空间的同伦两个空间X和Y称为是同伦等价的，如果存在一个映射f：X->Y，和g：Y->X，使得fg与IdY同伦，gf与IdX同伦，IdX表示X的恒等映射；如：圆环和圆周就是同伦等价的；注意：空间的同伦等价比同胚等价更弱一些，若X与Y同胚，则一定同伦等价，因为存在f：X->Y，且f存在反函数g,从而fg=IdY,gf=IdX。

但同伦推不出同胚，如上例。

在我们建立基本群时，我们将拓扑空间限制在道路连通空间上。

在道路连通空间X中，任去一个点a，把过点a的所有以a为基点的环道做成一个集合，我们对这个集合定义一个关系：r1与r2等价，当且仅当r1与r2同伦。

可以验证这个关系是一个等价关系，从而可以给出该集合的一个划分。

位置几何──射影几何学

位置几何一射影几何学射影几何是研讨图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然坚持不变的图形性质的几何学分支学科。

一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的位置，经过它可以把其他一些几何学联络起来。

射影几何的开展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时分，还有一门几何学同时出如古人们的面前。

这门几何学和画图有很亲密的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经惹起一些学者的留意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的发生和生长预备了充沛的条件。

这门几何学就是射影几何学。

基于绘图学和修建学的需求，古希腊几何学家就末尾研讨透视法，也就是投影和截影。

早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研讨。

在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。

在文艺复兴时期，人们在绘画和修建艺术方面十分留意和鼎力研讨如何在平面上表理想物的图形。

那时分，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描画出来。

在这个进程中，被描画上去的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却坚持不变。

这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质停止研讨，因此就逐渐发生了许多过去没有的新的概念和实际，构成了射影几何这门学科。

射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。

在17世纪初期，开普勒最早引进了无量远点概念。

稍后，为这门学科树立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时分当过陆军军官，后来研讨工程技术，成了一名工程师和修建师，他很不赞成为实际而搞实际，决计用新的方法来证明圆锥曲线的定理。

1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线战争面的相交所得结果的初稿》,书中他引入了许多几何学的新概念。

他的冤家笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至以为他是圆锥曲线实际的真正奠基人。

SS射影平面

I.两个不同的A, B点恰好在一条直线上,此直线称为的连线,记做AB.⇒ AB = BA. 若P不在直线l上,则P和l上每一点的连线构成的集合称为平面.此平面称为P和l的连面, 记作Pl或者lP.
即 : 平面Pl = lP = U{ PL | L在集合l上}
四条公理
I' .两个不同平面α , β 恰好在一条直线上,此直线称为二者的交线,记为α β . ⇒ α β = β α
相容性:从公理体系的基本公理出发,经过逻辑推理, 不能得出矛盾个的结论不能得出矛盾个的结论
独立性:公理体系中每一条公理都不能从其它公理推导出来.
完备性:在保有公理体系中所有公理的前提下,基本元素不允许有扩充.
射影几何初步
1 射影平面
线把和面把(简称把)
线把：空间中，过一点O的直线的集合面把：空间中，过一点O的平面的集合
线把中的直线称作‘点’ 面把中的平面叫作‘直线’
•
线把
•
面把
用不过O点的平面π 去截把
如பைடு நூலகம்我们不考虑把中和π 平行的直线和平面，那么π 和线把中的‘点'截出真正的点，和面把中的 ‘直线’截出真正的直线.
把(平面)中的点和线有下面四条性质.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， I ' 两个不同的线恰好在一个点上, E每一条直线上至少有三个不同的点, E ' 在每一个点上至少有三条直线.
注:对平面，性质I是有例外的。
'
射影平面：设π 是一个集合，集合中的元素称为点.如果在
π中给定一组非空的子集合称为线，并且点和线之间的关系满足下面四个条件，则π 称为射影平面.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， I ' 两个不同的线恰好在一个点上,

射影平面坐标系

射影平面坐标系
射影平面坐标系是一种用来在平面上定位点的坐标系统。

它由一个原点（又称为坐标原点）和两个坐标轴组成，分别用来代表该点的横坐标和纵坐标。

它是记录和指示空间里点位置的常用方法，也是空间几何和微分几何中非常重要的一部分。

一般来说，射影平面坐标系是从平面上的一点出发绘制的，并使用两个直角坐标轴组成，其中X轴和Y轴的方向分别是水平的和垂直的。

X轴和Y轴的方向被称为正轴方向，而另外一个轴，即反轴方向则标记为负值。

此外，Y轴也被称为实轴方向。

坐标原点是射影平面坐标系中最重要的点，它是一种特殊的坐标，表示为（0，0），它位于X轴和Y轴的交叉点处。

另外，在坐标原点
的任何方向上的点都可以通过与坐标系的坐标轴的距离来描述。

一个典型的射影平面坐标系可以采用度量系统来表示，这种坐标系的基本单位是度，其主要有三种重要的变式：十进制改正算，经纬度和弧度度量系统，分别用来表示地理位置、角度和圆形零件的角度。

除此之外，射影平面坐标系还有其他种类，比如投影坐标系、极坐标系和空间投影坐标系等。

它们都有各自的应用领域，各自都可以用来定位空间中的点。

射影平面坐标系的实际应用非常广泛，在GIS、遥感、物理学、地理学和其他学科都有一定的使用。

它可以用来描述地理空间的位置，建立和描述空间中的目标，还可以用来表示地图标记等。

因此，射影平面坐标系在构建和维护地理空间的不同方面都扮演
了重要的角色，它既可以用来记录和指示空间里的点位置，也可以用来表示不同类型地图上的特定位置或者特定区域等信息，从而帮助人们更好地理解和运用地理信息。

Ree群与射影平面

Ｒｅｑ — ｑ（。１（一１ｅ（）ｌ。ｑ＋）ｑ）一
ｑ（。ｑ＋１ｑ一１（）（）ｇ＋１＋）（ｑ＋１一）一
摘要：Ｄ是一个射影平面．果Ｇ ≤ Ａｕ（设如ｔＤ）且ＳｃＧ）＝Ｒｅ（）ｏ（ｅｑ，这里ｑ一３～，２ｎ＞０，则Ｇ不能点传递作
蜀柱Ｄｉ
关
键
词：ｅ群；射影平面；点传递；区传递；自同构群Ｒｅ
２．ＳｃｏｌｆＭａｈｍａｉａｃｅｃｓａｄＣｏｕｉｇＴｅｈｏｏｈｏｔｅｔｃｌＳｉｎｅｎｍｐｔｎｃｎｌｇｙ，ＣｎｒｌＳｕｈｏｅｔａｏｔＵｎｖｒｉｙ，Ｃａｇｈ１０５，ｉｅｓｔｈｎｓａ４０７
则Ｇ不能点传递作用在Ｄ上．
预
备
由于
Ｒｅｅ群来自于Ｌｅ型单群的无限家族，文献ｉ在［］中被定义为Ｇ７ｑ群的一个子群．Ｒｅｑ的２Ｌ（，）ｅ（）
阶为ｑ（。１（～１．。ｑ＋）ｑ）
收稿日期：０５１－２２０—２１．
中图分类号：５．；５．Ｏ１２１Ｏ１７２
文献标识码：Ａ
文章编号：。８９９（０７０ —４１４１Ｏ — ４７２０）５８ —０
ＴＡＮＧｉｎｘｏｇＪａ — ｉｎ，ＬＩＷｅ—ｕＵｉｎ，ＤＡＩＳａｕ（．ＨｕａｒｔＮｏｍａｌｅｅ，Ｃｈｎｓａ４００，Ｃｈｎ；ｊｈｏｊｎ１ｎｎＦｉｓｒｌＣｏｌｇａｇｈ１０２ｉａ

平面射影几何简介

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§2 对偶原理
既然直线也有齐次坐标,因此从齐次坐标的观点来看, 上的点与直线的地位对等。为了方便,两点A,B确定的直线用AB表示,两直线 l1 , l2 的交点用 l1l2表示。如果点P在直线l上,就说点P与直线l关联;如果直线l经过点P, 就说直线l与P关联。
设 (点,线)是上一些点和一些直线的关联关系的一个命题,那么,把命题中的点都改写成直线,把直线都改写成点,并且保持关联关系不变及其它一切表述不变,则得到的命题 (线,点)称为原命题 (点,线)的对偶命题。
实际上 x1, x2, x3 是上的点关于某一仿射标架的齐次坐标。因此, 上齐次坐标为 x1, x2, x3 的点可理解为
坐标为 x1, x2, x3 的向量，共线的非零向量在上表示
同一点。
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几何模型
取定 R3中的一个球面,不妨取中心在原点,半径为1
的单位球面S 2 ，在S 2上定义一种关系~：P~ P 当且仅当P, P是一对对径点。关系~是等价关系，S 2上关于~
a1,a2,a3 c1,c2,c3 'a1 ',a2 ',a3 ' 'c1 ',c2 ',c3 ' 2 q1,q2 ,q3 ,
b1,b2,b3 c1,c2,c3 'b1 ',b2 ',b3 ' 'c1 ',c2 ',c3 ' 3 r1, r2 , r3 .
(a1,a2,a3 ) b1,b2,b3 . 于是我们可以用直线方程的
系数 (a1 , a2 , a3 ) 来表示直线,把 (a1 , a2 , a3 )称为直线的齐次坐标。
15
方程(1.5)表示直线 (a1, a2 , a3 )上的所有点,称为直线的点方程。如果让 (a1, a2 , a3 ) 变动，(1.5)表示过固定点 x1, x2, x3 的所有直线,故又称为点的线方程。经过定点的所有直线称为线束。

射影几何三大入门定理

射影几何三大入门定理1. 定理一：射影平面的基本性质射影几何是研究投影关系的一门数学分支，它研究的对象是射影空间和射影平面。

在射影几何中，有三个重要的入门定理，这些定理对于理解和应用射影几何具有重要意义。

首先，我们来讨论第一个定理：射影平面的基本性质。

1.1 射影平面的定义在介绍定理之前，我们需要先了解什么是射影平面。

射影平面是指一个由点和直线构成的集合，满足以下条件：•任意两条直线有且只有一个交点；•任意两个不同的点确定一条直线。

1.2 定理一的表述定理一指出，在射影平面中，存在以下基本性质：•任意两个不同的直线交于唯一一点；•任意两个不同的点确定唯一一条直线。

1.3 定理一的证明第一个性质：任意两个不同的直线交于唯一一点假设在射影平面中存在两个不同的直线L1和L2，在L1上取两个不同的点A和B，在L2上取两个不同的点C和D。

我们需要证明线段AB和CD的交点是唯一的。

根据射影平面的定义，任意两个不同的点确定唯一一条直线，所以线段AB确定了一条直线L3，线段CD也确定了一条直线L4。

由于L3和L4都与L1和L2相交，所以它们一定有一个公共交点P。

假设还存在另一个不同于P的交点Q，那么根据射影平面的定义，线段PQ也应该与直线L1相交。

但是根据前面的假设，A、B、C、D四个点在射影平面中是不共面的，所以直线PQ与直线L1没有交点。

这与假设矛盾，因此我们得出结论：任意两个不同的直线在射影平面中交于唯一一点。

第二个性质：任意两个不同的点确定唯一一条直线假设在射影平面中存在两个不同的点A和B，在A上取两条不同的直线L1和L2，在B上取两条不同的直线L3和L4。

我们需要证明直线AB和CD（其中C为L1与L3的交点，D为L2与L4的交点）是唯一相交的。

根据射影平面的定义，任意两条直线有且只有一个交点，所以线段AB与L1和L2分别有唯一的交点C和D。

假设还存在另一条直线EF与A、B两点相交，并且E和F分别是直线EF与L1和L2的交点。

2.1射影平面

Ｃ
§ 1 射影直线和射影平面
定义1.5 如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点同等看待而不加区分那么这条直线就叫做射影直线
圆
墨比乌斯带
定义1.6 在仿射平面上,如果对于普通元素和无穷远元素不加区分,即可得到射影平面
§ 1 射影直线和射影平面
五、射影直线、射影平面的基本性质
１、射影直线
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理应用举例
例2 证明：三角行的三中线点共.
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
今天作业
P28 : ５
O投射中心(O l l ')
OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像因此，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格定理
德萨格(Desargues)定理
如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对边的交点在一直线上.
A
X
C
Y
C
B
A
B Z
O
A

X
C
B Z Y
C
B
A

o
L
A
l
L
A
X
C

射影平面

定义通常点和无穷远点统称拓广点, 记作P,Q,…; 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为仿射直线, 记作 l,m,…; 添加无穷远直线后的平面称为仿射平面, 记作.
定义如果将通常的点与无穷远点不加区别，通常的直线与无穷远直线不加区别，则仿射直线就叫射影直线，仿射平面就叫射影平面。在射影直线上，通常的点和拓广点都叫点。
通常直线：两点确定直线上的一条线段。
射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
射影直线与射影平面
2、射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分通常平面为两个不同的区域任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分通常平面为四个不同的区域两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域
若两个三点形对应边的交点共线, 则称这对对应三点形具有透视轴, 透视轴也称为Desargues 线.
Desargues透视定理
2、Desargues透视定理
定理 (Desargues透视定理及其逆) 对于两个对应三点形, 存在 Desargues点存在Desargues线.
或者叙述如下：
迪沙格定理如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点共线。
Desargues透视定理
（2）三点形 ABC 和 A'B'C' 共面如图，设这个平面是。
Desargues透视定理
此时，过 O 作一条异面直线 l ，然后在 l 上任取两点 S 和 S' 。
考虑三点形 SBC 和 S'B'C' ，则这两个三点形异面（否则，如果它们共面，则这个平面必须是，于是 S, S' 就在上，这与 l 为异面直线矛盾）。

21射影平面

德萨格定理的逆定理：
如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线交于一点.
定义1.11 如果两个三点形对应边的交点共线，则
这条直线叫做透视轴．如果两个三点形对应顶点的连线共点，则这个点叫做透视中心．
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
应用举例
例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别为 AD, BE, CF. 而 BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线.
约定 (２)一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做无穷远直线，记作l∞，区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)
约定 (３) 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷远平面，记作π∞，为区别起见，空间里原有平面称为非无穷远平面或普通平面．
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 1 射影直线和射影平面
理解约定 (1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.
３、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线不平行交于惟一有穷远点
§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
定义1.1 : l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
均不是一一对应
中心射影不是一一对应的原因：存在影消点、影消线存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个一一对应？

射影平面.

射影平面图形的射影性质在引进无穷远元素之后，将直线上的影消点与另一直线上的无穷远点建立点的对应. 如上图3-1所示，通过中心投影，把l 上影消点q 投影到'l 上无穷远点∞P ，将l 上无穷远点∞P 投影到'l 上影消点'q .于是中心投影建立了直线之间的一一对应，称这个中心投影为透视对应.同理可以建立平面之间的透视对应.中心投影把π上影消线l 投影到'π上无穷远直线'∞l ，同时把π上无穷远直线∞l 投影到'π上影消线'l .于是中心投影建立了平面之间的一一对应，称为平面π与'π之间的中心透视.思考题：中心投影与平行投影之间的关系如何？事实上，平行投影是特殊的中心投影，投影中心为一无穷远点.定义3.1 图形在中心投影下不变的性质(不变的量)，叫做图形的射影性质（射影不变量）.比如同素性、结合性都是射影不变性质，另外平行性质与单比不是射影性质，他们在中心投影下改变.`图3-5如果中心射影把平面π上直线l 投影成平面π'上的无穷远直线，见图3-5，那么平面π上两条相交直线，若交点在影消线l 上，它们的象是π'上的两条平行线，反过来平面π'上两条平行线，它们的原象是π上两条相交于l 上的直线．利用中心射影把一直线投影成无穷远直线，可以证明一些几何问题．BAN 1NQ P l1Q 1PM 1M图3-6例1 如图3-6所示, 设B ,A 是直线l 外两点. 在直线l 上任取两点P 与Q ,AP 交BQ 于N ,BP 交AQ 于M .则MN 通过AB 上一定点.证明设B ,A 与l 所在的平面为π,选取平面π',做到的中心射影,把B ,A 投到无穷远.设11Q ,P 是直线l 上的另外任意两点,11N ,M 是相应的交点.目的是证明MN 与11N M 相交与AB 上.设l 的象为l '，1111Q ,P ,N ,M ,Q ,P ,N ,M ''''''''是相应点的象.由于直线PM ,QN ，1111M P ,N Q 的公共交点B 投到无穷远，所以它们的象,M P ,N Q ''''1111M P ,N Q ''''是相互平行的直线.同样的道理1111N P ,M Q ,N P ,M Q ''''''''也是相互平行的直线.所以直线N M ''平行于直线11N M '',由中心射影的性质知道,原象MN 与11N M 是两条相交直线,交点在AB 上.证毕.练习3－21．求证：一直线与和它平行的平面交与一个无穷远点.2．证明: 相交于影消线上的二直线,象为二平行直线.3．设OZ ,OY ,OX 为三条定直线,B ,A 为二定点,其连线过O ,点R 为OZ 上的动点,且直线RB ,RA 分别交OY ,OX 与点Q ,P .求证:PQ 通过AB 上一定点.4．在一平面内的影消线上取定两点B ,A .C 为该平面内的任何一点,求证:角度∠ACB 投影后是一个常量.5.证明:对任意四边形可选择中心射影,将其投影为平行四边形.。

高等几何复习

［课外训练方案］部分第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念：射影直线与射影平面；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素基本定理：德萨格定理：如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。

德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共占八、、对偶原理：在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。

二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P一，平面内原有的点叫做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，弓I 入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为I::，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题：1、求直线x -1 = 0与直线x - 3y • 4 = 0上无穷远点的齐次坐标解：（1）直线x-1 =0即x =1它与y轴平行所以位y轴上的无穷远点（0,1,0）1 4 1（2）由直线x-3y，4=0 得y x •—故无穷远点为（1厂,0）或（3, 1, 0）3 3 32、求证：两直线为• x2 - x3 = 0 和2x.^ - x2 2x3 = 0 的交点C与两点A（ 3 , 1, E2 ） , （三点共线X x,屜 - x3 = 0证明：解方程组：的交点C（1,-4,-3）、2为-x2 +2x3 =01-4 —3因为行列式 3 1 2 =0 所以三点共线2 5 53、试证：两共轭复点的连线是一实直线证明.设a=(u1,u2, u3),与a =(u-\, u2,u3)是共轭复点，两点连线为丨由定理a在丨上,a在丨上，又a在丨上，所以a的共轭a也在直线丨上丨与丨重合，故叭巴旦.出卫=巨)q u2u3u2u2u2而两点确定一条直线所以，土二虫=(出)即u1与u1都为实数U3 U3 U3 U2 U3所以U i ： U2 ： U3与一组实数成比例，即直线为实直线。

射影平面

例6. 求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分线方程. 解. 设内外角平分线方程为
l1 l2 12 1
2
l1 : y 1 x 0 l2 : y 2 x 0
利用上题可得
12 x (1 2 ) xy y 0
2
x2 (1 2 ) xy y 2 0
r r (14,32) 由题设 r r 2 2r r 1 r 1 (13, 24) 1 r 1. r2 r0
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i=1,2. 1 i P 2. 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有 1 3. 同理, 对于i=2, 可求得 2 3. 于是，
AO GB AH OB GO AB OH AB GO OB AO OH 所以 GO OH GB AH . GO OH OB AO GO OH . GO OH
注：同理可证，G'O=OH'.
§ 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性
一、调和性二、应用
1、第四调和元素的作图例1 已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4. 分析：利用推论1, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的交点即为P4. 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2. (2). 过P3作直线分别交AP1, AP2于B, D.

射影平面

§ 2.1 射影平面
一、中心射影二、无穷远元素
目标：途径：要求：改造空间，使得中心射影成为双射给平行直线添加交点不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
}
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
点与直线的关联关系
§ 2.1 射影平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直约定线上原有的点. 称为无穷远点理想点无穷远点(理想点无穷远点理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同. 区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P 约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体约定无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线理想直线无穷远直线(理想直线无穷远直线理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
拓广直线、四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 1、拓广直线射影仿射直线射影仿射直线) 、拓广直线(射影仿射直线
(1) 拓广直线的封闭性欧氏直线：向两个方向无限伸展拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
§ 2.1 射影平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
§ 2.1 射影平面
(3) 射影直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。欧氏直线：一点区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。

矿产

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

矿产

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。