卡尔曼滤波(1)(1)

背景：

ln F(S,T)（FFA的对数价格）作为观测变量，S（现货运费价格）作为状态变量，T为到期时间，κ、μ、σ、λ为待估参数。

S满足：dS=κ(μ−lnS)S dt+σ dz

令X= lnS，则满足：dX=κ(α∗−X) dt+σ dz

其均值：E0[X(T)]=e−κT X(0)+(1−e−κTα∗)方差Var0[X(T)]=σ2

2κ

(1−e−2κT)

ln F(S,T)满足：ln F(S,T)=e−κT lnS+(1−e−κT)α∗+σ2

4κ

(1−e−2κT)

其中：α=μ−σ2

2κ

α∗=α−λ

每日观测到的y t为11种FFA的对数价格

量测方程： y t=d t+Z t X t+εt t=1,2, (11)

y t=[ ln F(T i)], i=1,2,……,11

d t=[ (1−e−κT i)α∗+σ2

4κ

(1−e−2κT i) ] i=1,2,……,11

Z t=[ e−κT i] i=1,2,……,11

εt为11×1列的不相关扰动项，E(εt)=0, Var(εt)=H

状态方程：

X t=c t+Q t X t−1+ηt t=1,2,……，NT

其中：c t=κα∆t，Q t=1−κ∆t；ηt是不相关的扰动项，E(ηt)=0，Var( ηt)=σ2∆t

已有数据：FFA的价格F 、现货价格S、到期期限T 的时间序列

将lnF作为观测变量，lnS作为状态变量

目标：通过python实现卡尔曼滤波

1. 参数估计：κ、μ、σ、λ

2. 对现货价格S进行拟合，并与真实值比较。对M_1、M_5、S_1、Y_1三种FFA的价格F进行拟合，并于真实值进行比较。（图像如下）

如果可以的话，通过MAE（mean absolute error）和RMSE（root-mean-square error）来说明拟合优劣。

3. 得到以下图像：

左图实线表示每个时点的实际现货价格S，而虚线表示每个时点所对应的不同期限的实际FFA价格所构成的曲线。实现和虚线均为实际数据。

右图的实线和虚线均为模型估计出的结果。

现有数据：