矩阵与行列式

第一章 矩阵与行列式

释疑解惑

1． 关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会

把用中括号或小括号所表示的矩阵如a c b

d ⎛⎫

⎪⎝⎭

写成两边各划一竖线的行列式如a c b

d

，或把

行列式写成矩阵等。还要注意，矩阵可有(1)m ≥行和(1)n ≥列，不一定m n =；但行列式只有n 行n 列。n 阶行列式是2

n 个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n 阶方

阵

111212122212n n

n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特

定的一个数值，

det A 、A 或n D ，即

111

det n

ij k

k

k A A a a

A ====

∑

（如二阶方阵

a

d A b c ⎛⎫=

⎪⎝⎭所对应的行列式是这样一个新的对象：

a

d ac bd

b c

=-）。也正

因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A 为n 阶方阵时，不可把A

λ与A

λ等同起来，

而是

n

A A

λλ

=，等等。

2．

关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数λ乘矩阵

m n

A ⨯是用数λ乘矩阵m n A

⨯中每一个元素得到的新的m n ⨯矩阵；二矩阵相乘与前述这两种

线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。

3． 关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由AB E =来定义（A 与B 互为逆阵），这是应用的基础。要记住方阵可逆的充要条件为

A ≠以及关系式

*

A A A E

=，二者有着重要与广泛的应用。要弄清A 的伴随方阵是矩阵()ij A a =的各元素

代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。要会用两种方法求逆阵，从而会用逆阵求解线性方程组及各种矩阵方程。

4． 关于矩阵的初等变换：首先要懂得矩阵的三种初等变换的算法，明白一个矩阵经过一次初等变换并非完全不变，变换前后的矩阵间只是一种特殊的所谓等价关系（如(,)~E i j A A ，而不是(,),E i j A A =等等）。还要能将行列式性质中提公因子、交换两

行（列）与用常数乘某行（列）加到另一行（列）上去后的结果弄清楚，并可与相应方阵的初等变换进行对比。重要的是知道初等变换不改变矩阵的秩。

5． 关于矩阵的秩：矩阵的秩是由解线性方程组引入的一个新概念，对它要逐步加深理解。为此，首先应弄清什么是矩阵的行阶梯形：其一个“台阶”（非零行）只有一行，即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全为零,不能把两行的首非零元素位于同一列视为一个“台阶”,而全为零的一行也是一个台阶，且要位于非零行下方。这里，要求会用矩阵的行初等变换法和计算子式法两种方法求可逆方阵的逆阵。

6． 关于矩阵分块法：对此不作过高要求。但对于特殊形式的矩阵的乘法、求逆等运算（当可能时）会用分块法计算将给我们带来许多方便。

7. 关于行列式：行列式的定义可由一阶开始记，即,

a a =从而可按行或列展开求得二阶及任意的n 阶行列式的值。教材上附注中给出的另一种定义即

121212(,,,)

12(,,,)

(1)

n n

n j j j n j j nj j j j D a a a τ=

-∑

难于理解，可参考其它线性代数教材；但对于许

多特殊行列式的某些项及值的确定用此定义会非常方便（可见下面的“例题解析”部分）。由定义与性质可得到化简与计算n 阶行列式值的常用的几种方法（可见下面的“例题解析”部分之例4）。这里，重要的是会正确地理解和使用性质及展开法计算一般的行列式，特别要注意在使用它们时有一些通常的技巧，自己应当通过作题加以领会与总结。但对于元素为数字的行列式，总可以由“交换两行（列）”与“把某行（列）的若干倍加到另一行（列）上去”二变换化为上（下）三角行列式而求得其值。对元素为字母的行列式，要多观察各行、列元素的特点，灵活应用性质，如当列（行）元素之和相等时往往各行（列）相加；裂项，提公因子，逐行（列）相减化为三角形行列式等。为便于计算，还要记住一些特殊形式的行列式（如三角行列式、范得蒙行列式等）的计算公式及某些例、习题中有一定特点的行列式的值。

8．关于克莱姆法则：首先要明白克莱姆法则仅对方程个数与未知数个数相等的线性方程组（其系数行列式不为零）适用；特别要记准公式中各行列式的构成规律，而且套公式之前一定要检查方程组是否为“标准形”--常数项全在等号右端；要注意克莱姆法则推论的实质，即n 个方程n 个未知数的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式为零。

第二章 向量组和向量空间 释疑解惑

1．关于向量的概念：应该从多个角度理解n 维向量的概念。首先，向量是一种特殊的矩阵，所以对向量可以使用矩阵的加法、数乘、转置和乘法等运算。n ⨯1矩阵

()12, , , n a a a 叫行向量，1⨯n 矩阵12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭ 叫列向量。从矩阵的角度看，除了1维向量，行向量与列向量是不相等的。若A 为n 阶方阵，那么n 维行向量可左乘A ，其结果()12, , , n a a a A 仍是n 维行向量；n 维列向量可右乘A ，其结果12n

a a A a ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭ 仍为n 维列

向量。其次，向量与矩阵比较又有自己的特殊性，某些概念或运算在通常的矩阵间是没有的，如内积、夹角等。向量还可看成平面或空间解析几何中对应概念的推广，但代数中向量概念更抽象。空间解析几何中，向量与3维有序实数组（即向量的坐标）间有一一对应关系，所以这里把n 维有序实数组定义为n 维向量。解析几何中一些与向量有关的概念、运算和性质也可进行对应推广。

在没有特别声明的情况下，本书所指的向量都是实向量，即分量都是实数的向量。 2．关于向量的内积、长度、夹角和正交：向量的内积、长度、夹角和正交等概念都是解析几何中对应概念的推广。向量的内积对应于解析几何中两向量的数量积（点积）。注意内积不满足消去律，即：若、、αβγ都是n 维向量，且[,][,]=αγβγ，那么α不一定等