数理统计试题及答案

2010--2011学年第一学期考试试卷(A)

课程名称： 数理统计A （ 卷） 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩

试卷说明：

1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 四页，共 十二 大部分，请勿漏答；

2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间；

3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；

4. 答案写在本试卷上；

5. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！ 一。填空题(每空2分，共12分)

1．已知三事件A,B,C 相互独立，概率分别为0.5, 0.6，0.7，则三者中至少有一个发生的概率为_ 。 2．若()0.8,()0.7,(|)0.8P A P B P A B ===，则事件,A B 是否独立 。 3．袋中有4个白球2个黑球，若不放回抽取，则第二次取到白球的概率为__________。 4. 设1~(1,1)X N ,2~(0,2)X N ,且相互独立，则12{124}P X X ≤-<=________。 5. 设129,,,X X X 独立，均服从)2,0(2

N 。222

126

222

7892()

X X X Y X X X +++=++服从分布________。 6．设126,,

,X X X 为来自参数1λ=泊松分布总体，X 为样本均值，则()D X = ___ _。

二。（5分）设二项分布随机变量~(2,)X B p ,~(3,)Y B p ，若4

{1}9

P X >=，求{1}P Y ≥

三。（13分）已知X 的概率密度函数为, 01

()0, ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩

其他，

求（1）常数a 的值；（2）求分布函数()F x ；（3）(0.60.7)P X <<。

四．（5分）设1DX

=，4DY =，ρ0.6XY =，求()21D X Y -+。

五．（15分）已知(,)X Y 的联合概率分布，求： （1）求X Y -的分布;（2）计算()P X Y <；

（3）写出X 与Y 各自的边缘分布，判断X 与Y 的是否相互独立？

六．（5分）某人上班时需搭乘一趟公交车，若每天上班时的候车时间服从[0,5]区间上的均匀分布

(单位：分)，问此人在300个工作日中用于上班的候车时间之和大于12小时的概率？（用标准正态分布函数表示）。

七．（5分）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅独立同分布, 都在区间[0,]θ上服从均匀分布，求θ的矩估计和极大似然估计。 八．（10分）现抽查了5mm 玻璃总体的9个体的厚度，得到如下数据（单位：mm ）：

4.8 4.1 4.4 4.4 4.0 4.5 4.1 4.9 4.2 （ 4.378, 0.3153x s ==） 设玻璃厚度服从正态分布，在显著性水平0.05α=下，

（1）能否认为 4.4μ≥？（2）在置信度0.95下，计算玻璃平均厚度μ的置信区间。

t t 0.050.1((8) 2.306,(8) 1.86)==

九．（5分）在相同条件下对两种品牌的洗涤剂分别进行去污试验，测得去污率（%）结果如下：

甲：79 80 76 82 78 76, (2

1178.5, s 5.5x ==)

乙：73 77 79 75 75 , (2

1175.8, s 5.2x ==)

假定两品牌的去污率服从正态分布且方差相同，问两品牌的去污率是否有显著差异？（0.01α=） 0.01((9) 3.25)t =

十．（5分）一农场10年前在一鱼塘中按比例20:15:40:25投放了四种鱼：鲑鱼、鲈鱼、竹夹鱼和

试取α＝0.05，检验各类鱼数量的比例较10年前是否有显著的改变。2

0.05(3)7.815χ=

ms ）:

列出方差分析表，判断不同类型的电路的响应时间是否有显著差异。（0.05(2,9) 4.26F =）

十二.（10分）一种用于生物和医学研究的物质通过航空运输给用户。1000管此物质针剂用纸箱包

装。 在5次运输中，记录了纸箱在途中的转机次数（X ）， 以及在终点时针剂被打破的数目（Y ）。 估计Y 对X 的线性回归方程

5

1

6i

i x

==∑,51

76i i y ==∑,52

1

14i

i x ==∑,521

1254i

i y ==∑,5

1

116i i i x y ==∑

2010--2011学年第一学期考试试卷(A)

参考答案

课程名称： 数理统计A （ 卷） 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩

一。填空题(每空2分，共12分)

1．已知三事件A,B,C 相互独立，概率分别为0.5, 0.6，0.7，则三者中至少有一个发生的概率为_0.94 。

2．若()0.8,()0.7,(|)0.8P A P B P A B ===，则事件,A B 是否独立 0.8 。 3．袋中有4个白球2个黑球，若不放回抽取，则第二次取到白球的概率为___2/3_______。 4. 设1~(1,1)X N ,2~(0,2)X N ,且相互独立，则

12{124}P X X ≤-<=____(1)(0)(1)0.5Φ-Φ=Φ-____。

5. 设129,,,X X X 独立，均服从)2,0(2

N 。222

126

222

7892()

X X X Y X X X +++=++服从分布__F(6,3)______。 6．设126,,

,X X X 为来自参数1λ=泊松分布总体，X 为样本均值，则()D X = __1/6_ _。

二。（5分）设二项分布随机变量~(2,)X B p ,~(3,)Y B p ，若4

{1}9

P X >=，求{1}P Y ≥ 解：因为 ~(2,)X B p ， 所以 2,

2{}(1)

(0,1,2)k k k

P X k C p p k -==⨯-=

2

20224{1}{2}(1) 2/39

P X P X C p p p p >===⨯-==∴=

因为~(3,)Y B p

所以 33,3322{}(1)(1) (0,1,2,3)33k

k

k k

k

k P Y k C p p C k --⎛⎫==⨯-=⨯-= ⎪⎝⎭

因而 {1}P Y ≥=1—{0}P Y ==1—0

0303322126(1)1(1)1332727C p p -⎛⎫⨯-=--=-=

⎪⎝⎭

三。（13分）已知X 的概率密度函数为, 01

()0, ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他

，

求（1）常数a 的值；（2）求分布函数()F x ；（3）(0.60.7)P X <<。

解：（1）21

100 ()|1, 222

x x ax a

f x dx axdx a ∞

==-∞==

===⎰⎰ （2）2

0, <0()()2, 011, 1

x x x F x f t dt tdt ax x x -∞⎧⎪⎪===≤≤⎨⎪>⎪⎩⎰⎰

（3）(0.60.7)(0.7)(0.6)0.490.360.13P X F F <<=-=-=

四．（5分）设1DX =，4DY =，ρ0.6XY =，求()21D X Y -+。

解：

(,)

, (,)120.6 1.2XY XY Cov X Y Cov X Y DX DY DX DY

ρρ=

∴=•=⨯⨯=•